L'objectif de la formation est d'apprendre à modéliser et étudier les phénomènes aléatoires, ainsi que d'explorer les applications de ces méthodes mathématiques dans d'autres sciences : sciences des données, physique statistique, physique théorique, biologie, écologie, théorie de l'information, théorie du signal...
Les nombreux cours proposés dans ce parcours permettent aux étudiants d'avoir une grande liberté dans l'élaboration de leur cursus en concertation avec l'équipe pédagogique. Ce parcours propose un large spectre thématique couvrant les probabilités, la statistique ainsi que les algorithmes stochastiques et le machine learning permettant ainsi de visiter des problématiques tels que l'étude des graphes ou des réseaux sous des angles très différents.
Pré-requis, profil d’entrée permettant d'intégrer la formation
Master 1 (au équivalent) en mathématiques fondamentales. Excellent étudiants venant des universités, de grandes écoles d'ingénieur, des écoles normales supérieures ou de l'étranger, voulant apprendre les bases fondamentales des mathématiques de l'aléatoire (probabilités et/ou statistiques et/ou machine learning...). Notre formation débouche principalement sur la préparation d'une thèse.
Informations complémentaires
Regardez la vidéo ci-dessous pour en savoir plus sur le M2 Mathématiques de l’aléatoire.
Compétences
Maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques de haut niveau.
Concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse.
Comprendre et modéliser mathématiquement un problème afin de le résoudre.
Analyser un document de recherche en vue de sa synthèse et de son exploitation.
Maitriser des outils numériques et langages de programmation de référence.
Expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques.
Profil de sortie des étudiants ayant suivi la formation
Most of our students continue in a PhD program.
Débouchés de la formation
Phd program either in applied or theoretical probability and statistics.
Other job prospects include : Data scientist, teacher in prep school (classe prépa), finance, insurance...
Collaboration(s)
Laboratoire(s) partenaire(s) de la formation
Laboratoire de mathématiques d'Orsay
Mathématiques et Informatique pour la Complexité et les Systèmes.
Centre de recherche en économie et statistique
Laboratoire Traitement et Communication de l'Information
Centre de Mathématiques Appliquées
Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES).
Programme
Le premier semestre regroupe un ensemble de cours "fondamentaux donnant les bases des probabilités et statistiques théoriques au niveau M2.2.
La première partie du cours présentera les fondements de la théorie statistique de l’apprentissage supervisé, en classification et en régression. Nous établirons des bornes sur l’erreur de prédiction de plusieurs méthodes d’apprentissage parmi les plus classiques : moyennage local (partitions, k plus proches voisins, noyaux) et minimisation du risque empirique. Ces résultats montreront en particulier que certaines de ces méthodes sont « universellement consistantes ». En revanche, nous verrons qu’un apprentissage totalement agnostique n’est possible que dans certaines limites (« on n’a rien sans rien »), ce qui se formalise mathématiquement par plusieurs théorèmes aux énoncés plutôt contre-intuitifs.
La deuxième partie du cours se focalisera sur les méthodes de rééchantillonnage (bootstrap, sous-échantillonnage, validation croisée, etc.) et à leur application en apprentissage. Nous étudierons en particulier leurs propriétés pour l’estimation de l’erreur de prédiction d’une méthode d’apprentissage, et pour la sélection parmi une famille de méthodes d’apprentissage.
Intitulé de l’UE en anglais :
More about Markov chains
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Moulines Eric
Equipe pédagogique :
Randal Douc (Télécom).
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
L’objet de ce cours est d’introduire les outils d’analyse de chaînes de Markov sur des espaces généraux. Nous introduirons tout d’abord le formalisme de base (noyau, opérations sur les noyaux, opérateurs) puis étendrons au cas continu des résultats élémentaires (Chapman-Kolmogorov, Markov fort, problèmes de Dirichlet et Poisson). Nous étudierons ensuite l’ergodicité des chaînes et le contrôle de convergence. Nous présenterons tout d’abord l’ergodicité uniforme en variation totale (sous la condition de Doeblin uniforme), que nous étendrons à l’ergodicité non uniforme sous les conditions de Foster-Lyapounov (existence d’un petit ensemble et condition de dérive). Nous illustrerons ces théories avec de nombreux exemples, permettant de comprendre la richesse de cette méthode, mais aussi ses limites.
Nous spécialiserons ensuite ces résultats à des espaces topologiques, en introduisant tout d’abord des résultats généraux sur les chaînes Felleriennes et fortement Felleriennes puis en présentant des méthodes permettant d’obtenir des résultats de convergence plus quantitifs (convergence en distance de Wasserstein, étude des systèmes itératifs). Nous présenterons succinctement les extensions non géométriques.
Bibliographie :
Références Bibliographiques :
Topics on Markov Chains, R. Douc, E. Moulines, P. Priouret, P. Soulier (Springer, à paraître)
Markov Chains and Stochastic stability, S. Meyn et R. Tweedie, 2009, Cambridge University Press
Convergence of Markov Processes (notes de cours), M. Hairer.
Intitulé de l’UE en anglais :
Concentration of measures
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Massart Pascal
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
L’expression des pénalités tout autant que l’analyse des performances de ces procédures pénalisées en terme de risque de manière essentielle d’inégalités dites de concentration dont le prototype est l’inégalité de Talagrand pour les processus empiriques. Ces nouveaux outils de calcul des probabilités seront également étudiés pour eux-mêmes. Nous développerons en particulier la méthode entropique initiée par Michel Ledoux il y a une dizaine d’années. Cette méthode permet en effet d’accéder à des résultats fins avec une économie de moyens remarquable.
Bibliographie :
Références Bibliographiques :
Ledoux, Talagrand, Probability in Banach spaces
Dudley, Central Limit Theorems
Ledoux, Cours de Saint Flour 1994
Pascal Massart, Cours de Saint Flour 2003.
La sélection de modèles est un sujet classique en statistique. L’idée de choisir un modèle à partir d’un critère de type log-vraisemblance pénalisée remonte aux travaux séminaux de Mallows et Akaike au début des années 70. On peut trouver dans la littérature de nombreuses variantes de ces critères ainsi que des résultats asymptotiques précisant les propriétés de ces critères lorsque la liste de modèles est considérée comme fixée et le nombre d’observations tend vers l’inifini. Un des deux buts poursuivis dans ce cours est de donner un aperçu de la théorie non asymptotique pour la sélection de modèles qui s’est construite au cours de ces dix dernières années. Dans différents contextes d’estimation fonctionnelle, il est possible de construire des critères de type log-vraisemblance pénalisée où la pénalité dépend non seulement du nombre de paramètres définissant des modèles comme dans les critères classiques, mais aussi de la « complexité » de la liste de modèles. Dans cette approche, les dimensions des modèles ainsi que la liste de modèles elle-même sont autorisés à dépendre du nombre d’observations. L’expression des pénalités tout autant que l’analyse des performances de ces procédures pénalisées en terme de risque de manière essentielle d’inégalités dites de concentration dont le prototype est l’inégalité de Talagrand pour les processus empiriques.
Bibliographie :
Références Bibliographiques :
Ledoux, Talagrand, Probability in Banach spaces
Dudley, Central Limit Theorems
Ledoux, Cours de Saint Flour 1994
Pascal Massart, Cours de Saint Flour 2003.
Intitulé de l’UE en anglais :
Random walks and random graphs
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Cours :25
Travaux dirigés :12
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Curien nicolas
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Voici une liste des thèmes que nous aborderons :
Théorie du potentiel, réseaux électriques sur graphes généraux
Critère de récurrence/transience et applications
Marches aléatoires sur $\mathbbZ$, décomposition de Wiener-Hopf, lemme cyclique
Arbres aléatoires de Galton—Watson
Marches aléatoires sur $\mathbbZ^d$, théorème local limite, intersection.
Graphes aléatoires : transition de phase dans le modèle d’Erdos-Renyi.
Bibliographie :
Polycopié disponible sur la page web de N. Curien.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Septembre - Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
Intitulé de l’UE en anglais :
Brownian motion and stochastic calculus
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Cours :28
Travaux dirigés :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Le Gall Jean-François
Equipe pédagogique :
Maxime Février (Orsay).
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Le cours sera consacrée à la théorie du calcul stochastique. On présentera d’abord le mouvement brownien et certaines de ses propriétés les plus importantes. On discutera ensuite les martingales continues, processus aléatoires qui généralisent le mouvement brownien, et on introduira les semi-martingales continues, qui peuvent s’écrire comme somme d’une martingale continue et d’un processus à variation finie. On développera dans ce cadre la théorie du calcul stochastique d’Itô, et on donnera en particulier une forme générale de la formule d’Itô, puis on développera plusieurs applications, dont le célèbre théorème de Girsanov ou le théorème de Dubins-Schwarz qui affirme que toute martingale continue peut s’écrire comme un mouvement brownien changé de temps. On terminera en utilisant le calcul stochastique pour traiter l’exemple fondamental des processus de diffusion, qui sont obtenus comme solutions d’équations différentielles stochastiques dirigées par un mouvement brownien multidimensionnel.
Bibliographie :
Références bibliographiques :
I. Karatzas, S. Shreve : Brownian motion and stochastic calculus. Springer
J.F. Le Gall : Brownian motion, martingales and stochastic calculus. Springer 2016
D. Revuz, M. Yor : Continuous martingales and Brownian motion. Springer
L.C.G. Rogers, D. Williams : Diffusions, Markov processes and martingales, vol. II. Wiley.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Septembre - Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
Intitulé de l’UE en anglais :
Statistics in high dimension
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :30
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Giraud/Lerasle Christophe/Matthieu
Equipe pédagogique :
Christophe Giraud, Tristan Mary-Huart.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Objectifs principaux :
comprendre les problèmes posés par la grande dimension ;
fournir des bases conceptuelles et méthodologiques solides, indispensables pour développer des analyses statistiques pertinentes et performantes ;
acquérir des techniques mathématiques fondamentales en vue d’une thèse.
La principale difficulté du statisticien face aux données du XXIe siècle est de vaincre le fléau de la grande dimension. Ce fléau oppose aux statisticiens deux difficultés : d’une part il rend les méthodes statistiques classiques totalement inopérantes par manque de précision, d’autre part il oblige à développer des approches gardant sous contrôle la complexité algorithmique des procédures d’estimation.
Nous verrons comment vaincre ce fléau dans un contexte général, puis comment rendre opérationnels ces concepts, avec une attention sur les frontières du possible. Les différentes situations sont illustrées à l’aide d’exemples issus des sciences du vivant (cours commun avec MathSV et Proba/Stat).
website : http://www.cmap.polytechnique.fr/ giraud/MSV/stats.html.
Intitulé de l’UE en anglais :
Projet Machine Learning pour la prévision
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Cours :36
Projet :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Goude Yannig
Déroulement et organisation pratique :
Volume Horaire : 36h présentielle + projet long
Modalités de contrôle : Soutenance orale et rapport écrit. Il y a une seule session d’évaluation de projet.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Page web du cours : https://www.math.u-psud.fr/ goude/Materials/ProjetMLF/intro.html
L’objectif du projet est d’acquérir une expérience de modélisation statistique, de la préparation des données à la réponse au problème posé. Il s’agit de comparer différents modèles et méthodes statistiques pour analyser un jeu de données associé à une problématique de prévision. Nous travaillerons sur des données liées à l’énergie (consommation électrique, production PV et éolien…). Nous étudierons différentes méthodes de régression non-linéaire issues de récents développements en statistiques et machine learning et ayant faits leurs preuves dans ce contexte : generalized additive model, random forest, gradient boosting machine, curve linear regression, agrégation d’experts.
L’objectif du projet est d’aboutir à une modélisation performante des données (réalisant une faible erreur de prévision et pouvant raisonnablement être mise en œuvre). Le cours propose une démarche fréquente dans l’industrie ou lors de la conduite d’un projet de recherche en statistique appliquée. Plusieurs étapes seront menées : data mining exploratoire (analyse descriptive, visualisation, recherche bibliographique sur les données et le phénomène à modéliser), la modélisation proprement dite (choix de modèle, prétraitements/transformation des données, construction d’un code, validation) puis enfin l’évaluation des performances et la restitution des résultats (présentation et rédaction d’un rapport).
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Septembre - Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
Intitulé de l’UE en anglais :
Convergence of measure and Lévy processes
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :20
Travaux dirigés :10
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :I. Kortchemski
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
La première partie du cours est consacrée à l’étude de la notion de convergence en loi, dans un cadre assez général où les objets aléatoires considérés prennent leurs valeurs dans un espace métrique complet (éventuellement infini-dimensionnel). On démontre en particulier le théorème de Prohorov qui caractérise les familles de mesures de probabilité relativement compactes pour la topologie en loi. Cette théorie est ensuite appliquée pour établir le théorème de Donsker, selon lequel une marche aléatoire à pas indépendants et de même loi converge après renormalisation vers un mouvement brownien.
Dans la seconde partie du cours, on étudie les mesures aléatoires de Poisson, puis les processus de Lévy : ce sont des processus aléatoires généralisant le mouvement brownien et admettant possiblement des sauts, et ils sont classifiés par le théorème de Lévy-Khintchine. La première partie du cours permet d’en donner une construction à la Donsker.
Bibliographie :
Références :
un polycopié disponible sur la page web de P.-L. Méliot.
pour la topologie de la convergence en loi et le théorème de Donsker : P. Billingsley, Convergence of probability measures.
pour les mesures aléatoires de Poisson : J. F. C. Kingman, Poisson Processes.
pour les processus de Lévy : K.-I. Sato, Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions.
Un séminaire hebdomadaire pour présenter les champs de rechercher actuels en probabilités et statistiques.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Septembre - Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
Lieu(x) :
ORSAY
Le second semestre regroupe des cours plus spécialisées qui ouvrent sur des thématiques de recherche actuelles.
Il est complété par un stage/mémoire obligatoire.
Intitulé de l’UE en anglais :
Topological analysis of data
ECTS :
4
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Chazal Frédéric
Equipe pédagogique :
Quentin Mérigot (UPSay).
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
L’estimation des propriétés de nature topologique et géométrique de données souvent représentées par des ensembles de points dans des espaces euclidiens de grande dimension (ou plus généralement des variétés riemanniennes ou des espaces métriques) connait un développement important depuis quelques années.
L’analyse topologique des données est motivée par l’observation que généralement les données, qui ne sont pas distribuées uniformément dans l’espace ambiant mais se concentrent autour de structures géométriques de plus petite dimension qu’il est important de comprendre.
L’objectif de ce cours est de donner une introduction à ce sujet en pleine expansion.
Les notions nécessaires de topologie et de géométrie seront introduite ou rappelée au fil du cours.
Plan du cours :
1. Introduction et rappels
2. Fonctions distance et reconstruction d’ensembles compacts.
3. Application à l’estimation de l’homologie de de sous-variétés à partir d’échantillon i.i.d. Aspects algorithmiques et statistiques.
4. Homologie persistente : définition, stabilité et applications (clustering, signatures topologiques,...).
5. Propriétés statistiques de l’homologie persistente.
6. Inférence géométrique pour les mesures de probabilité.
Intitulé de l’UE en anglais :
Machine learning and sequential optimization
ECTS :
4
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Stoltz Gilles
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1.
Multi-armed bandit problems
We consider finitely many arms, each associated with an unknown distribution, or even a continuum of arms, associated with a function f : [0,1] -> R and some noise structure. When pulling an arm we get a reward drawn at random according to the associated distribution. The aim is to maximize the obtained rewards but to do so a tradeoff between exploring the arms (to have an idea of the best arms) and exploiting the obtained information (to pull those best arms) must be performed. On the optimization side, this problem has strong ties with the identification of the maximum of f.
2.
Aggregation of expert advice
At each round, some base forecasters (experts) provide forecasts for a sequential and quantitative phenomenon (height of an ozone peak, exchange rate, electricity consumption). Instead of selecting one such forecast we will combine and aggregate their values, based on past performance. The aim is to obtain meta-forecasts that are almost as good as the best global convex or linear combination. The latter can only be determined in hindsight while we are subject to a constraint of sequential prediction. This is where the optimization bottleneck lies : performing online almost as well as we would have done in hindsight.
Intitulé de l’UE en anglais :
Non parametric bayesian statistics
ECTS :
4
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Rivoirard Vincent
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Un grand nombre de domaines scientifiques tels que la biostatistique ou l’apprentissage emploie naturellement le paradigme bayésien (où l’on suppose que le paramètre à inférer est une variable aléatoire). En particulier, en autorisant une grande flexibilité sur la modélisation des paramètres, l’approche non-paramétrique de la statistique bayésienne a connu un essor considérable ces dernières années. L’objectif de ce cours est de proposer un large panorama des méthodes et des résultats théoriques spécifiques à la statistique bayésienne non-paramétrique.
La première partie du cours présentera les principes de l’estimation fonctionnelle propre à l’approche bayésienne. On s’attardera notamment sur la construction des distributions a priori les plus classiques fondées sur les processus gaussiens et de Dirichlet. Dans un second temps, on analysera le comportement asymptotique des distributions a posteriori (consistance et vitesse de convergence). Bien que l’estimation de densité constituera le fil rouge de ce cours, on proposera également quelques extensions dans le cadre de la grande dimension ou pour d’autres modèles statistiques moins classiques.
Prérequis :
Des pré-requis sur l’approche bayésienne classique seront utiles mais pas indispensables (une remise à niveau est prévue lors du premier cours).
Contenu : A la différence du calcul stochastique d’Itô qui utilise la structure
temporelle des processus à travers la notion de martingale, le calcul
de Malliavin exploite les propriétés des processus gaussiens, à
l’instar du mouvement brownien, pour définir le cadre d’une analyse en
dimension infinie. L’objet principal en est le gradient de
Stroock-Malliavin et la divergence associée qui généralise l’intégrale
d’It\^o à des processus non adaptés. Ce cours est
une introduction à ces concepts ainsi qu’à leurs applications :
théorème de Girsanov généralisé, critère d’absolue continuité pour les solutions d’EDS, formule explicite d’Itô-Clark,
calcul anticipatif, délit d’initié, calcul des grecques, transport
optimal, etc.
Les éléments d’analyse fonctionnelle nécessaires (produits tensoriels
d’espace de Hilbert, opérateurs Hilbert-Schmidt et opérateurs à trace,
etc) seront introduits au fur et à mesure du cours.
La validation de cet enseignement se fait par analyse d’un article scientifique.
Rappels sur les processus gaussiens
Espace de Wiener abstrait, gradient.
Divergence
Processus d’Ornstein-Uhlenbeck
Formule d’Itô-Clark
Mouvement brownien fractionnaire
Processus de Poisson
Méthode de Stein-Malliavin.
Dans de nombreuses applications telles que l’assurance ou, plus généralement, la gestion des risques, on s’intéresse au comportement d’une variable « du côté de ses valeurs extrêmes ». L’inférence statistique est rendu possible si l’on admet que le comportement extrême peut être déduit d’une façon raisonnable à partir du comportement observé, qui lui n’est pas extrême. Nous aborderons les approches principales proposées pour répondre à ce problème de modélisation : comportement des maxima, des excès de seuil ou du processus ponctuel associé. Les aspects probabilistes de ces approches reposent sur les domaines d’attraction des lois max-stables et les mesures à variations régulières. Les cas univariés et multivariés seront abordés ainsi que des applications statistiques telles que le théorème central limite en variance infinie.
Intitulé de l’UE en anglais :
Statistic on large random graphs
ECTS :
4
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Massoulié Laurent
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours traite de problèmes d’inférence génériques aux applications nombreuses (en biologie, traitement de la parole, moteurs de recommandation, étude de réseaux sociaux,…) posés dans le contexte de graphes. Il traitera notamment : la détection de communautés (identification de groupes de sommets semblables d’un graphe), l’alignement de graphes (mise en correspondance des sommets de plusieurs graphes), et la reconstruction d’arbres (identification de caractéristiques de « l’ancêtre » d’un arbre généalogique d’après les traits de ses descendants).
Des modèles probabilistes de graphes seront introduits, ainsi que l’analyse d’algorithmes efficaces pour des données échantillonnées selon ces modèles. On s’intéressera notamment à des algorithmes spectraux, dont la compréhension repose sur l’étude de spectres de matrices aléatoires associées aux graphes considérés. On abordera aussi des algorithmes basés sur la programmation semi-définie.
Il s’agit de présenter divers modèles solubles en probabilités. L’objectif est de donner un panorama vivant (mais de loin non exhaustif !) de la recherche actuelle en probabilités sans aller dans les avancées les plus récentes de chaque modèle. Cela inclut les marches aléatoires en milieu aléatoire sur $\mathbbZ$ dont la vitesse asymptotique peut se calculer explicitement, l’asymptotique explicite de la longueur de la plus longue sous-suite croissante d’une permutation aléatoire, la formule de Hardy-Ramanujan sur l’asymptotique du nombre de partitions d’un entier, des calculs de formes limites de divers objets, la distribution limite de la mesure spectrale de matrices de Wigner... Chaque calcul peut être présenté en 3 ou 4 heures, et est le fruit d’un « miracle » de calcul, ou de la découverte d’une mesure invariante explicite dans un grand système markovien, de la correspondance avec un système de particules, de l’introduction d’un modèle statistique... qui aiguisent la curiosité et peuvent donner envie aux élèves d’approfondir l’un de ces sujets dans le cadre d’une thèse.
Intitulé de l’UE en anglais :
Optimization and statistics
ECTS :
4
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Bach Francis
Déroulement et organisation pratique :
Volume Horaire : 20h. Validation du cours
(a) Prise de notes manuscrites en Latex pour chacune des seances
(b) Lecture d’articles.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
De nombreux problèmes d’estimation en apprentissage statistique sont formulés comme des problèmes d’optimisation. Ces formulations ont permis une separation entre l’analyse des performances de l’estimateur et le développement d’algorithmes de résolution du problème. Face aux grands volumes de données, une telle séparation n’est plus efficace et l’analyse doit mêler statistique et optimisation. Dans ce cours, seront présentés de manière unifiée les résultats statistiques classiques sur la M-estimation et l’optimisation convexe, en montrant les liens entre statistique et optimisation. Un accent sera mis sur l’analyse non-asymptotique de l’approximation stochastique.
Processus de branchement et populations structurées
Langues d’enseignement :
FR/AN
Intitulé de l’UE en anglais :
Branching processes and models of population
ECTS :
4
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Bansaye Vincent
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
This course concerns the stochastic modeling of population dynamics. In the first part, we focus on monotype populations described by one-dimensional stochastic differential equations with jumps. We consider their scaling limits for large populations and study the long time behavior of the limiting processes. It is achieved, thanks to martingale properties, Poisson measure representations, and stochastic calculus. These tools and results will be used and extended to measure-valued processes in the second part. The latter is dedicated to structured populations, where individuals are characterized by a trait belonging to a continuum.
Si on se place à l’échelle atomique, un gaz ne présente pas de structure cohérente, pourtant à l’échelle macroscopique, on le caractérise par quelques paramètres simples comme sa densité et sa pression qui peuvent évoluer au cours du temps. Mathématiquement le passage du microscopique au macroscopique se formalise en assimilant les atomes à un ensemble de variables aléatoires en interaction et en étudiant leur comportement limite qui est alors décrit par une EDP : la limite hydrodynamique. Ce cours est une introduction à différents systèmes de particules en interaction et à leurs dynamiques quand le nombre de particules tend vers l’infini.
Intitulé de l’UE en anglais :
Local times and excursion theory
ECTS :
4
Détail du volume horaire :
Cours :16
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Le Gall Jean-François
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Dans une première partie nous utiliserons le calcul stochastique pour donner une construction simple des temps locaux des semimartingales continues. Nous étudierons ensuite les temps locaux du mouvement brownien, et notamment les liens entre le processus des temps locaux browniens et certains processus de branchement. Dans un second temps, nous développerons la théorie des excursions, qui est un outil puissant d’étude du mouvement brownien.
« Local times and excursion theory »
In a first part, we will use stochastic calculus to give a simple approach to local times of continuous semimartingales. We will then study local times of Brownian motion, and in particular the connections between Brownian local times and certain branching processes. In a second part, we will present excursion theory, which is a powerful tool for studying linear Brownian motion.
Fiche de choix de M2 (obligatoire pour les candidats inscrits en M1 à l'Université Paris-Saclay) à télécharger sur https://urlz.fr/i3Lo.
Document justificatif des candidats exilés ayant un statut de réfugié, protection subsidiaire ou protection temporaire en France ou à l’étranger (facultatif mais recommandé, un seul document à fournir) :
- Carte de séjour mention réfugié du pays du premier asile
- OU récépissé mention réfugié du pays du premier asile
- OU document du Haut Commissariat des Nations unies pour les réfugiés reconnaissant le statut de réfugié
- OU récépissé mention réfugié délivré en France
- OU carte de séjour avec mention réfugié délivré en France
- OU document faisant état du statut de bénéficiaire de la protection subsidiaire en France ou à l’étranger.
