M2 Analyse, Arithmétique, Géométrie (AAG)

Les étudiants devront maîtriser le contenu du cours accéléré "Variétés différentielles et formes différentielles".

L'objectif du cours est de donner une formation générale en groupes de Lie et géométrie riemannienne. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle. On abordera les sujets suivants :

• Groupes et algèbres de Lie, espaces homogènes.
• Fibrés vectoriels et principaux, connexions, torsion et courbure.
• Géométrie riemannienne : Connexion de Levi-Civita, géodésiques, théorème de Hopf-Rinow, courbures, formules de variation, champs de Jacobi, théorème de Cartan-Hadamard, théorèmes de comparaison, géométrie riemanniennes de courbure négative ou nulle
• Espaces symétriques et classification des espaces symétriques de type non compact.

The aim of the course is to provide general training in Lie groups and Riemannian geometry. Students will be assumed to have mastered the content of the accelerated course in differential geometry. The following topics will be covered:

• Lie groups and algebras, homogeneous spaces.
• Vector bundles and principal bundles, connections, torsion and curvature.
• Riemannian geometry: Levi-Civita connection, geodesics, Hopf-Rinow theorem, curvatures, variation formulas, Jacobi fields, Cartan-Hadamard theorem, comparison theorems, Riemannian geometry in non-positive curvature.
• Symmetric spaces and classification of non-compact symmetric spaces.

• S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, 1990
• W.P.A. Klingenberg : Riemannian geometry. 2nd edition. De Gruyter Studies in Mathematics 1. 1995
• J. Cheeger, D.G. Ebin : Comparison theorems in Riemannian geometry. Revised reprint of the 1975 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. 2008
• S. Helgason : Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. Academic press, 1978
• J.P. Serre : Algèbres de Lie semi-simples complexes (French). W. A. Benjamin Inc. New-York 1966
• J.P. Serre : Lie algebras and lie groups. Lectures given at Harvard University, 1964. W. A. Benjamin Inc. New-York 1965
• A.W. Knapp : Lie groups beyond an introduction. 2nd edition. Progress in mathematics, 140. Birkhauser 2002
• M.R. Bridson, A. Haefliger : Metric spaces of non-positive curvature. Grundlheren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer

The aim of this course is to give an introduction to the theory of semisimple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic 0, with an emphasis on their representations. The course will start with general facts on Lie algebras and the classification of semisimple Lie algebras. We will then study the representations of such Lie algebras, particularly the highest weight representations (Verma modules). The last part of the course will be about more advanced topics : Chevalley and Harish-Chandra isomorphisms, Kostant-Weyl character formulas, associated varieties to primitive ideals, the nilpotent cone, etc.

• J. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag, 1978.
• P. Tauvel and R. Yu, Lie algebras and algebraic groups, Springer-Verlag, 2005.
• A. Moreau, Notes de cours : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~anne.moreau/M2-cours_Algebres_Lie.pdf

M1 de Mathématiques fondamentales

Version française : Ce cours constitue une introduction à la géométrie analytique complexe. Il s'adresse en premier lieu à des étudiants et étudiantes souhaitant s'orienter vers la géométrie algébrique et la théorie des nombres (les connaissances requises concernant l'analyse sur les variétés y sont minimales), mais devrait intéresser tous les étudiants et étudiantes intéressés par la géométrie, entendue dans le sens le plus large. Le cours introduit les surfaces de Riemann, les fibrés en droites, la cohomologie de Cech, et l'objectif est de montrer le théorème de Riemann-Roch pour les courbes analytiques et de voir quelques applications.

English version: These lectures constitute an introduction to complex analytic geometry. They are aimed firstly to students aiming at studying algebraic geometry and number theory (the required background concerning analysis on manifolds is minimal), but could be interesting for any student interested in geometry in its largest sense. The lectures presents Riemann surfaces , line bundles, Cech cohomology, and one aim is to prove the Riemann-Roch theorem for analytic curves and to show some applications.

R. Narasimhan, Compact Riemann surfaces, Lect. in Math. ETH, Springer 1992 J. Jost, Compact Riemann surfaces, Universitext, Springer 2006 E. Reyssat, Quelques aspects des surfaces de Riemann, Birkhaüser 1989

Version française: Vocabulaire (transformations préservant une mesure, équivalence, ensembles invariants, errance mesurée, conservativité) et exemples de base (rotations et décalage de Bernoulli). Théorème de récurrence de Poincaré, théorème de Kac, temps de retour. Ergodicité. Théorèmes ergodiques en moyenne et ponctuel. Théorème ergodique sub-additif de Kingman et théorème ergodique multiplicatif d'Oseledets. Mélange et mélange exponentiel. Opérateur de Koopman. Dynamique linéaire mesurée des tores. Entropie d'une mesure invariante. Théorie de l'information de Shannon. Décalages de Markov.

English version: Vocabulary (measure preserving transformations, invariant subsets, measured wandering, conservativity) and basic examples (rotations and Bernoulli shifts). Poincaré recurrence theorem, return time, Kac theorem. Ergodicity. Mean and Birkhoff ergodic theorems. Kingman's subadditive ergodic theorem and Oseledets multiplicative ergodic theorem. Mixing and exponential mixing. Koopman operator. Measured linear dynamics of tori. Entropy of an invariant measure. Shannon's information theory. Markov shifts.

F. Paulin, Introduction à la théorie ergodique et aux systèmes dynamiques topologiques et différentiables, Notes de cours Université Paris-Saclay, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~frederic.paulin/notescours/liste_notescours.html

I. P. Cornfeld, S. V. Fomin et Ya. G. Sinai. Ergodic theory. Grund. Math. Wiss. 245, Springer-Verlag, 1982.

A. Katok et B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Ency. Math. App. 54, Cambridge University Press, 1995.

K. Petersen : Ergodic Theory, Cambridge Univ. Press, 3rd ed. 1995.

Version française : Ce cours fondamental aborde des sujets qui prolongent la formation en analyse (analyse harmonique, analyse des EDP linéaires et non-linéaires, analyse et géométrie…) et qui peut déboucher sur beaucoup de sujets pour une poursuite en doctorat. Les prérequis sont ceux d’un master de mathématiques fondamentales avec notamment la théorie de la mesure, calcul différentiel et topologie, analyse de Fourier, distributions et éléments de théorie des opérateurs.

Dans la première partie du cours, on s’intéressera à des techniques issues de l’analyse harmonique et qui peuvent se décliner dans nombre de thématiques actuelles où l’analyse intervient dans un cadre euclidien, Riemannien, voire métrique. On commencera par les lemmes de recouvrement par des boules dans un cadre aussi bien euclidien que métrique et par des cubes dyadiques. Les principales applications en sont les théorèmes d’extension de Whitney et aussi le théorème de Hardy-Littlewood pour le contrôle de la fonction maximal éponyme. On démontrera le type faible et le type fort sur les espaces L^p. On introduira la notion d’espace de nature homogène qui est un cadre utile où peut se développer cette théorie. On démontrera aussi le théorème d’interpolation réelle de Marcinkiewicz. On traitera ensuite la théorie de Calder\’on-Zygmund des intégrales singulières pour démontrer le théorème d’extrapolation. On appliquera cela pour démontrer le théorème de Mikhlin sur les multiplicateurs et la théorie de Littlewood-Paley. Ceci permettra d’aborder les espaces de potentiel de type Sobolev au dessus des L^p. On introduira aussi les espaces de Hardy et BMO.

Dans la deuxième partie du cours, on s'intéresse à l'équation de la chaleur sur l'espace euclidien. On abordera la notion de noyau de la chaleur et l'on étudiera le comportement en temps longs d'une telle équation. L'unicité des solutions sous certaines contraintes à l'infini sera également traitée et sera le prétexte pour établir des principes du maximum scalaires puis sur les tenseurs symétriques : on verra ses conséquences à travers les inégalités de Li-Yau et d'Hamilton et, si le temps le permet, la classification des solutions dites antiques due à Souplet-Zhang. La notion d'inégalités de Harnack paraboliques sera centrale ici. Enfin, nous établirons les liens entre bornes ponctuelles sur le noyau de la chaleur et l'existence d'inégalités fonctionnelles (inégalité de Sobolev, de log-Sobolev et de Nash entre autres). Cette partie du cours est une initiation à des techniques d'analyse globale qui ne sont pas sensibles à la structure euclidienne et qui permettent de s'appliquer à des objets non linéaires telles que les variétés riemanniennes.

English version: This foundational course covers topics that extend the training in analysis (harmonic analysis, linear and nonlinear PDE analysis, analysis and geometry...) and can lead to many subjects for further doctoral study. The prerequisites are those of a master's degree in fundamental mathematics, including measure theory, differential calculus and topology, Fourier analysis, distributions, and elements of operator theory.

In the first part of the course, we will focus on techniques stemming from harmonic analysis that can be applied to various current themes where analysis plays a role in a Euclidean, Riemannian, or even metric setting. We will start with covering lemmas using both Euclidean and metric frameworks, as well as dyadic cubes. The main applications include Whitney's extension theorems and also the Hardy-Littlewood theorem for controlling the maximal function. We will prove weak and strong type results on 𝐿𝑝Lp spaces. The notion of spaces of homogeneous type will be introduced, providing a useful framework for the development of this theory. We will also prove Marcinkiewicz's real interpolation theorem.

Next, we will delve into Calderón-Zygmund theory of singular integrals to prove the extrapolation theorem. This will be applied to prove Mikhlin's theorem on multipliers and Littlewood-Paley theory. This will enable us to address Sobolev-type potential spaces above 𝐿𝑝Lp. We will also introduce Hardy and BMO spaces

In the second part of the course, we focus on the heat equation on Euclidean space. We will discuss the concept of the heat kernel and study the long-time behavior of such an equation. The uniqueness of solutions under certain constraints at infinity will also be addressed and will serve as a pretext to establish scalar maximum principles and then on symmetric tensors: we will see its consequences through the Li-Yau and Hamilton inequalities, and if time permits, the classification of so-called ancient solutions due to Souplet-Zhang. The notion of parabolic Harnack inequalities will be central here. Finally, we will establish connections between pointwise bounds on the heat kernel and the existence of functional inequalities (such as Sobolev, log-Sobolev, and Nash inequalities among others). This part of the course serves as an initiation to global analysis techniques that are not sensitive to Euclidean structure and can be applied to nonlinear objects such as Riemannian manifolds.

Analyse fonctionnelle de base (Topologie, Calcul différentiel, Théorie de la mesure). Connaissances rudimentaire en géométrie différentielle.

Vocabulaire de base. Dynamique des homéomorphismes du cercle. Dynamique sur les espaces homogènes et théorème de Howe-Moore. Systèmes dynamiques hyperboliques (endomorphismes linéaires hyperboliques, théorème de Grobman-Hartman, stabilité structurelle des automorphismes du tore, fer à cheval de Smale, expansivité, lemme de pistage, variétés stables et instables). Entropie topologique, principe variationnel et mesure d'entropie maximale. Entropie topologique des systèmes dynamiques symboliques. Codage. Equidistribution.

A. Katok et B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Ency. Math. App. 54, Cambridge University Press, 1995.

F. Paulin, Introduction à la théorie ergodique et aux systèmes dynamiques topologiques et différentiables, Notes de cours Université Paris-Saclay https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~frederic.paulin/notescours/liste_notescours.html

Ce cours sera consacré aux notions fondamentales de la théorie algébrique des nombres. On y présentera aussi divers résultats de base de la théorie des corps valués et des corps locaux et de la théorie analytique des nombres. Ce cours a pour objectifs les résultats classiques concernant les fonctions zêta et les fonctions L et leurs prolongements analytiques, et le théorème de Cebotarev sur la densité des automorphismes de Frobenius.

G. J. Janusz, Algebraic Number Fields K. Kato, N. Kurokawa, T. Saito, Number Theory 1 and 2 J. Neukirch, Algebraic Number Theory

Cours accéléré : Algèbre commutative, éléments de théorie de faisceaux et d'algèbre homologique

1. Propriétés de base des schémas, schémas affines et projectives, espace tangent, régularité
2. Faisceaux et cohomologie, dualité de Serre, platitude et changement de base, diviseurs

R. Hartshorne, Algebraic geometry, 1977 Q. Liu, Algebraic geometry and arithmetic curves, 2002 R. Vakil, Online notes, ''The rising sea'', http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf D. Mumford, Lectures on curves on an algebraic surface, 1964

Algèbre de M1

Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but :

Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert, dimension et correspondance algèbre/géométrie).

Proposer une brève introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, cohomologies, résolutions injectives et projectives, foncteurs dérivés).

Développer les rudiments de théorie des faisceaux.

Atiyah-Macdonald - Introduction to commutative algebra, Manin - Introduction to the theory of schemes, Eisenbud - Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Matsumura - Commutative Ring Theory, Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Weibel, An introduction to homological algebra

Version en français :

• Rappel d'analyse fonctionnelle (les théorèmes sans les démonstrations): Dualité, théorèmes de Hahn-Banach, de Baire, de Banach-Steinhaus, du graphe fermé.
• Topologie faible et faible-étoilée, théorème de compacité faible. Applications.
• Théorie spectrale dans les espaces de Banach, dont l'alternative de Fredhohlm.
• Interpolation complexe: au moins le théorème de Riesz-Thorin.

English version

• Overview of basic functional analysis (theorems without proofs): Duality, Ascoli, Hahn-Banach, Baire, Banach-Steinhaus, closed graph theorems.
• Weak and weak-* topology, weak compactness theorem. Applications.
• Spectral theory in Banach spaces, Fredhohm alternative.
• Complex interpolation: at least the Riesz-Thorin theorem.

• H. Brezis Analyse fonctionnelle, Masson, 1983.
• J. van Neerven, Functional Analysis, Cambridge University Press, disponible sur https://arxiv.org/abs/2112.11166.
• J. Bergh, J. Lofstrom, Interpolation spaces, Grund. math Wiss. 223, Springer Verlag 1976.
• G. Weiss, E. Stein., Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, 1971.
• F. Albiac, N. Kalton, Topics in Banach space theory (Chapters I, III), Grad Text Math 233, Springer Verlag 2016.

Les techniques de base de calcul différentiel dans les espaces vectoriels réels de dimension finie ; les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.

Le but de ce cours est de couvrir les bases de la géométrie différentielle en s'appuyant sur la connaissance du calcul différentiel, avec pour objectif final la cohomologie de de Rham des variétés. Pour cela nous introduirons donc les variétés, leurs fibrés tangents et cotangents, les champs de vecteurs et leurs flots, et les formes différentielles. Nous verrons alors comment intégrer ces dernières sur les variétés, ce qui nous mènera naturellement à la cohomologie de de Rham et sa célèbre dualité, la dualité de Poincaré.

Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré. Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan.

J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, Press. Univ. Grenoble, 1996. F. Paulin, Géométrie différentielle élémentaire, Notes de cours, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf M. Postnikov, Leçons de géométrie : Variétés différentiables, Mir, Moscou, 1990. M. Spivak, Differential geometry I, Publish or Perish, Wilmington, 1979.

Ce cours spécialisé donne une introduction aux problèmes asymptotiques et aux méthodes analytiques en géométrie complexe. Le but principal est de démontrer le théorème de développement asymptotique du noyau de Bergman d’après Tian, Zelditch... et sa généralisation dans le cadre du théorème d’Ohsawa-Takegoshi, en parcourant quelques résultats fondamentaux de la géométrie complexe : le théorème de phongement de Kodaira, des théorèmes d’annulations, etc. Le noyau de Bergman est un outil analytique qui permet d’étudier l’ensemble des sections holomorphes d’un fibré vectoriel hermitien. Il est défini comme le noyau de Schwartz de la projection orthogonale de l’espace de sections carré intégrables sur le sous-espace de sections holomorphes. L’étude asymptotique de cet opérateur pour des grandes puissances d’un fibré en droites ample a eu une influence remarquable sur des domaines mathématiques très divers. Parmi les applications les plus frappantes, on a l’étude de Donaldson des métriques à courbure scalaire constante, le théorème de régularisation de fonctions plurisousharmoniques de Demailly, l’analyse asymptotique des opérateurs de Toeplitz etc. Le programme de cours est suivant. D’abord, on parlera des différentes notions de positivité pour des fibrés en droites. On discutera en particulier de la notion de volume et de la définition de dimension de Kodaira. On démontrera la formule de Bochner-Kodaira-Nakano pour le laplacien de Kodaira, qui nous permettra de démontrer à la fois les théorèmes d’annulation et l’écart spectral du laplacien de Kodaira associé aux grandes puissances d’un fibré en droites ample. On utilisera ces résultats dans la suite pour démontrer le théorème de plongement de Kodaira. Avec tous ses outils, on pourra démontrer que le noyau de Bergman d’une variété projective polarisée par des grandes puissances d’un fibre en droites ample admet une asymptotique. Comme corollaire, on va déduire le théorème de Tian concernant la densité des métriques induites par des plongements de Kodaira. On discutera ensuite le théorème d’extension d’Ohsawa-Takegoshi qui donne des conditions pour pouvoir étendre des sections holomorphes définies sur des sous-variétés. Finalement, on va généralisera l’asymptotique du noyau de Bergman dans le cadre de théorème d’extension. Contenu: • Différentes notions de positivité pour des fibrés en droites • Volume d’un fibré en droites et lemme de Serre-Siegel • Théorème d’annulation de Nakano • Théorème de plongement de Kodaira • L’asymptotique du noyau de Bergman • Densité de métriques induites par des plongements projectifs • Théorème d’extension d’Ohsawa-Takegoshi

J.-P. Demailly: Analytic Methods in Algebraic Geometry, Surveys of Modern Mathematics, 2012. X. Ma and G. Marinescu: Holomorphic Morse Inequalities and Bergman Kernels, Progress in Mathematics 254, Birkhaüser 2007. G. Tian: On a set of polarized Kähler metrics on algebraic manifolds. J. Differ. Geom. 32, No. 1, 99-130, 1990. T. Ohsawa and K. Takegoshi: On the extension of L2 holomorphic functions. Math. Z. 195, 197-204, 1987. S. Finski: Semiclassical Ohsawa-Takegoshi extension theorem and asymptotics of the orthogonal Bergman kernel, arXiv:2109.06851, 72 p., to appear in J. Differ. Geom.

Il est recommandé d'avoir suivi le cours d'Anne Moreau de Théorie des représentations au premier semestre.

The subject of this course is the theory of representations of an algebraic group and of its Lie algebra. We will use methods from algebraic geometry and D-modules to construct and understand categories of representations. Here is a list of specific topics to be covered.

1. Finite dimensional representations of algebraic groups in the cohomology of Flag varieties, and the Borel-Weil-Bott theorem.
2. The BGG category O, Verma modules and twisted Verma modules in the local cohomology of Flag varieties.
3. D-modules and the Beilinson-Bernstein Localization.
4. Translation functors.
5. Description of category O à la Soergel : Struktursatz.

1. Beilinson A. and Bernstein J., Localisation de g-modules, CRAS 292, pp. 10-18.
2. Beilinson A. and Bernstein J., A Generalisation of a Theorem of Casselman, Report on Utah Conference on representation Theory, April, 1982.
3. A. Beilinson, V. Ginzburg, Wall-crossing functors and D-modules, Represent. Theory 3 (1999), 131
4. Roman Bezrukavnikov, Canonical Bases and representation categories, lecture notes.
5. Dennis Gaitsgory, Geometric Representation Theory, lecture notes.
6. Dragan Milicic, Localization and representation theory of reductive Lie groups. https://www.math.utah.edu/~milicic/

Cours intensif d'Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux

The abstract theory of sheaves on categories, i.e., of topoi, has various applications in modern mathematics - for example to analytic spaces, étale/crystalline cohomology, condensed sets, and many more. We will introduce these general examples of topoi shortly and then move to the main example of condensed sets, i.e., sheaves on profinite sets. Here we will see how abstract topoi theory efficiently helps to obtain powerful new foundations of topological algebra, i.e., algebra in the category of topological spaces.

Prerequisites for this course are basic category theory (for example the notions of a category, a functor, a natural transformation, limits/colimits and of an adjunction) and point set topology. For some examples it will be helpful to know the definition of a scheme.

• Michael Artin, Alexandre Grothendieck et Jean-Louis Verdier, Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 : Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4), vol. 1, Springer-Verlag, Lecture Notes in Math. 269, 1972. http://fabrice.orgogozo.perso.math.cnrs.fr/SGA4/index.html
• Dustin Clausen, Peter Scholze, "Condensed Mathematics and Complex Geometry", lecture notes, https://people.mpim-bonn.mpg.de/scholze/Complex.pdf

Néant

Les configurations équiangulaires de droites sont des objets géométriques dont l’intérêt vient de l’informatique. Le but de ce cours sera d’introduire des outils qui permettent de construire de telles configurations. L’outil de base est la transformation de Fourier sur les groupes abéliens finis, outil qui se combinera à des théories plus avancées: homologie de Floer, corps de classe, 12ième problème de Hilbert, variétés abéliennes, formes modulaires... Nul besoin de les connaı̂tre pour suivre ce cours. Nous les utiliserons comme “boı̂tes noires”.

• Vecteurs biunimodulaires : Matrices de Hadamard complexes. Transformation de Fourier finie. Théorème de finitude de Haagerup. Construction de vecteurs biunimodulaires via la géométrie symplectique.
• Droites équiangles : Droites équiangles dans C^d . La borne de Gerzon. Les cas d ≤ 3. Le groupe de Heisenberg. Le cas d = 4. La configuration d’Hoggar. Le flot de gradient. Le cas d = 5. Le groupe métaplectique. La matrice de Zauner. Comprendre les angles via la dualité d’Artin et les unités de Stark.
• Valeurs critiques sur les groupes cycliques : Convolution et carré sur les groupes cycliques. Fonctions thetas et groupe modulaire.

[1] M. Appleby, S. Flammia, G. McConnell, J. Yard. Generating ray class fields of real quadratic fields via complex equiangular lines. Acta Arith. 192 p.211–233, 2020. [2] Y. Benoist. Convolution and square in abelian groups I. Experimental Mathematics, p.1-11, 2023. [3] U. Haagerup. Cyclic p-roots of prime lengths p and related complex Hadamard matrices. arXiv:0803.2629. [4] G. Zauner. Quantum designs: foundations of a noncommutative design theory. Int. J. Quantum Inf. 9 p.445–507, 2011.

Les prérequis du cours sont la géométrie algébrique et la théorie des groupes algébriques et leurs algèbres de Lie.

Le but de ce cours est l’étude des variétés munies de l'action d’un groupe linéaire, le plus souvent réductif et en particulier des variétés sphériques. Les variétés sphériques sont une généralisations des variétés toriques et des variétés de drapeaux généralisées. Elles peuvent être classées par des données combinatoires et forment une large classe d’exemples très intéressants que ce soit pour tester des conjectures ou pour construire des variétés spéciales (de Fano ou hyperkähler par exemple).

Le contenu prévisionnel est le suivant :

• action de groupes sur les variétés (linéarisation des fibrés en droites, quotients, complexité…) ;
• exemples : variétés toriques, variétés homogènes projectives ;
• nouveaux invariants d’une action (rang, groupe des poids d’une variété…) ;
• variétés sphériques (définitions, cas affine, structure locale…) ;
• vers la classification et la géométrie des variétés sphériques.

Aucun

The Banach-Tarski paradox asserts that a Euclidean ball can be split into five pieces that can be moved to build two balls isometric to the original one. Starting from this paradox, we will introduce and study amenability of topological groups such as Lie groups or transformation groups.

This notion will be related to other notions such as topological dynamics, metric spaces of non-positive curvature and harmonic functions.

Lecture notes will be at the disposal of the students.

Ce cours est une introduction à la théorie de l'indice. Nous introduirons les concepts nécessaires à l'énoncé du célèbre théorème de l'indice d'Atiyah-Singer, et nous montrerons comment il implique des résultats tels que le théorème de Gauss-Bonnet-Chern, le théorème de la signature de Hirzebruch et le théorème de Hirzebruch-Riemann-Roch. Nous verrons enfin la démonstration du théorème de l'indice par la méthode du noyau de la chaleur.

Berline-Getzler-Vergne : Heat kernels and Dirac operators, Lawson-Michelsohn : Spin geometry, Zhang : Lectures on Chern-Weil theory and Witten deformations.