Les objectifs du master sont :
- Développer et maitriser les outils et méthodes mathématiques du haut niveau,
- Etre capable de comprendre et expliquer précisément une théorie mathématique et des résultats mathématiques,
- Maitriser les outils et les langages fondamentaux de programmation.
Le programme concerne tous les champs des mathématiques.
Il prépare tout particulièrement aux carrières de recherche/développement en mathématiques dans le milieu académique ou industriel.
Pré-requis, profil d’entrée permettant d'intégrer la formation
Le programme de M1 J. Hadamard vise les étudiants du meilleur niveau en mathématiques.
L'objectif premier est de développer leur formation dans un cadre de tout premier plan.
Débouchés de la formation
Le master J. Hadamard prépare tout particulièrement aux carrières de recherche/développement en mathématiques dans le milieu académique ou industriel.
1) Théorie spectrale des opérateurs bornés des espaces de Hilbert
2) Analyse harmonique des ouverts du plan
3) Spectre du laplacien des ouverts bornés euclidiens
4) Introduction à l’analyse harmonique des sphères : harmoniques sphériques et décomposition spectrale du laplacien sphérique.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation, unique des éléments comme produits d’éléments premiers. Quelques notions abordées : loi de réciprocité quadratique, géométrie des nombres de Minkowski, formes quadratiques binaires arithmétique des anneaux, corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d’idéaux, fonctions L, formules du nombre de classes et du nombre de genre.
Prérequis :
Groupes et anneaux.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
Réseaux de communication, probabilités et algorithmes
Langues d’enseignement :
FR/AN
Intitulé de l’UE en anglais :
Communication networks, probabilities and algorithms
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :40
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contrôle distribué d’accès à un canal : protocoles randomisés de type Aloha et leur stabilité.
Politiques d’ordonnancement stabilisantes pour les routeurs et les réseaux sans fils.
Modèle de switch généralisé, et stabilité optimale de la politique de poids maximal. Politique de « back-pressure » pour les réseaux multi-bonds.
Allocation de ressources en réseaux : critères d’équité pour le contrôle de congestion. Algorithmes de gradient comme méthode de contrôle distribué. Interprétation du protocole TCP comme un tel algorithme. Outils : systèmes dynamiques, stabilité par méthode de Lyapunov, dualité Lagrangienne.
Phénomènes épidémiques : modèle SI de propagation. Processus de branchement de Galton-Watson et transition de phase associée. Epidémie SIR, lien avec les graphes aléatoires d’Erdös-Rényi, et émergence du composant géant. Outils : inégalité de Chernoff.
Détection de communautés. Modèle de graphe « stochastique par blocs ». Méthodes spectrales pour la reconstruction des communautés.
Topologies de réseaux particulières : modèle de Barabasi-Albert d’attachement préférentiel et graphes en loi de puissance. Réseaux dits « navigables » et phénomène de petit monde.
Systèmes de files d’attente à temps continu. Outils : processus de Poisson et ses propriétés fondamentales. Processus Markoviens de sauts (ergodicité et réversibilité). Le modèle d’Erlang de réseau à pertes.
réseaux de files d'attente: réseaux de Jackson, transferts dans Internet, réseaux à priorités.
Modèles épidémiques SI et SIS.
Cours/TD suivant un rythme standard tout le long du semestre.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours couvre les éléments de plusieurs domaines mathématiques fondamentaux utilisés pour l’apprentissage automatisé. La première partie du cours Mathématiques pour l’Intelligence Artificielle couvrira une introduction aux méthodes d’apprentissage statistique et à leur analyse mathématique. Les thèmes traités seront :
Introduction à la théorie de la décision : fonction de perte, risque, fonction de prédiction, erreur optimale, prédiction optimale. Aperçu des méthodes de classification linéaire. Introduction à la théorie de l’apprentissage statistique : estimation de l’erreur de généralisation, méthode de Chernoff, borne de Hoeffding, échantillon hold-out. Analyse statistique de la méthode des plus proches voisins. Méthodes à noyau : espaces à noyau autoreproduisants et applications. Théorie de l’apprentissage statistique : inégalité d’Azuma-Mcdiarmid, complexité de Rademacher, applications, dimension de Vapnik-Chervonenkis.
Prérequis :
Il est indispensable d'avoir suivi un cours de probabilités de base.
Un familiarité avec des notions élémentaires de statistiques (modèle statistique, intervalle de confiance, régression linéaire) peut aider, mais n'est pas indispensable.
Equipe pédagogique : Sophie Lemaire et Nathanael Enriquez.
Déroulement et organisation pratique :
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
E=examen, P=partiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu :
Espace de probabilité, variables aléatoires, distribution. Théorème de classe monotone.
Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli.
Convergence presque sûre, en probabilités, Lp. Convergence en loi, Théorème de P. Levy. Théorèmes limites : Loi forte des grandes nombres et théorème de la limite centrale. Vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires. Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires.
Espérances conditionnelles
Modèles de Galton-Watson
Chaîne de Markov associée à temps et espace discrets. Propriété de Markov forte. Théorie du potentiel. Récurrence et transience.
Martingales, sur martingales (à temps discret), inégalités de Doob. Théorème d’arrêt, théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp.
Distributions et équations aux dérivées Partielles
Langues d’enseignement :
FR/AN
Intitulé de l’UE en anglais :
Distributions and PDE's
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Cours :50
Travaux dirigés :60
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
P. Gerard
K. Pankrashkin.
Déroulement et organisation pratique :
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu :
Fonctions d’essai, régularisation, théorèmes de densité. Distributions : définition, dérivation, multiplication par une fonction, restriction et support, convergence, régularisation. Développement en série de Fourier d’une distribution périodique.
Mesure superficielle sur une hypersurface fermée de l’espace euclidien ; formule des sauts à plusieurs variables ; formule d’intégration par tranches.
Convolution de distributions. Solutions élémentaires du laplacien. Applications à la théorie des fonctions harmoniques : principe du maximum, théorème de Liouville.
Transformation de Fourier des distributions tempérées, applications à la recherche de solutions tempérée d’équations aux dérivées partielles. Théorème de régularité elliptique.
Espaces de Sobolev à une et plusieurs variables. Application à la résolution du problème de Dirichlet : existence et régula.
Groupes finis : groupes cycliques, p-groupes, simplicité.
Anneaux et modules :
Généralités. Modules libres et déterminants.
Anneaux de polynômes et noethérianité.
Diviseurs élémentaires et modules sur les anneaux principaux.
Théorie des corps :
Extensions finies et algébriques.
La correspondance de Galois.
Corps algébriquement clos.
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
E=examen, P=partiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu : En probabilité, on s’intéresse au comportement d’un processus aléatoire dont on connait la loi. En statistique, on considère donné (ou observé) un processus (ou une variable aléatoire), et l’on cherche à en déduire quelque chose de sa loi.
L’objectif du cours est de donner les fondements de la théorie mathématique statistique.
Théorie de la décision : formalisme général de la Statistique, fonction de perte, risque, décisions admissibles, bayésiennes, minimax... Modèle dominé, vraisemblance, exhaustivité, modèle exponentiel. Modèle gaussien.
Estimation ; Estimateur bayésien, estimateur du maximum de vraisemblance, inégalité de Cramer-Rao, information de Fisher, consistance.
Tests : Erreurs de première et seconde espèce, régions de confiance. Hypothèses simples et Lemme de Neyman-Pearson. Familles à rapport de vraisemblance monotone, tests UPP et UPPB. Tests non paramétriques. Analyse de la variance, régression.
Alain Trouvé, Laure Quivy, Xavier Fontaine, Valentin de Bortoli, Miguel Colom, Argyris kalogeratos.
Déroulement et organisation pratique :
3h de cours par semaine
3h de TD ou TP (+1h) par semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
L'optimisation est une branche importante des mathématiques au regard des outils théoriques qu’elle propose mais aussi bien sûr du son rôle clé pour les applications des mathématiques dans un grand nombre de secteurs scientifique et technologique. Ce cours est une introduction à l'optimisation destiné à fournir un bagage minimal (et un peu plus !) à tout futur mathématicien. Il traite essentiellement des problèmes en dimension finie mais couvre un certain nombre de concepts essentiels, depuis l'optimisation sans contrainte jusqu'aux problèmes à contraintes égalités et/ou inégalités ainsi que le point de vue important de la dualité pour les problèmes convexes. L'accent sera mis aussi sur les algorithmes d'optimisation numérique. Quelques séances de travaux pratiques permettront à l'étudiant de mettre en pratique ces algorithmes.
Intitulé de l’UE en anglais :
Mathematics for artificial intelligence
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :48
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
G. Blanchard
C. Giraud.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours couvre les éléments de plusieurs domaines mathématiques fondamentaux utilisés pour l’apprentissage automatisé.
Cette UE correspondant à la deuxième partie de ce cours comporte deux sous-parties.
La première sous-partie traite de l'analyse mathématique de problèmes d'apprentissage séquentiel dans différents cadres. On y introduit les thèmes communs à ceux-ci: apprentissage en environnement inconnu, compromis exploration/exploitation, apprentissage basé sur des experts, bornes inférieures utilisant des outils de la théorie de l'information.
La deuxième partie se concentrera sur des aspects théoriques de l'apprentissage utilisant des outils d'analyse et d'algèbre linéaire, avec des applications à la détection de motifs ou de structures dans les données.
Prérequis :
Les pré-requis:
Bases en probabilités, analyse convexe, algèbre linéaire.
Il est recommandé, mais pas indispensable, d'avoir suivi la première partie du cours Mathématiques pour l'intelligence artificielle (cette partie traitant de thèmes différents).
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
E=examen, P=partiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu : Le but du module est d’utiliser un système de calcul formel (Sage), pour approfondir certaines notions d’algèbre et d’arithmétique. Les thèmes principaux du cours sont :
Exponentiation rapide
Algorithme d’Euclide
Corps finis
Factorisation dans Z/pZ[X]
Factorisation dans Z[X]
Résultants et applications géométriques
Tests de primalité
Factorisation d’entiers et introduction au cryptosystème RSA.
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
E=examen, P=partiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu : Le but de ce cours introductif est de présenter un panorama des différentes branches de la logique.
Calcul des prédicats. Logique du premier ordre, formules, théories, modèles.
Théorie des ensembles. Axiomes de Zermelo-Fraenkel. Axiome du choix. Ordinaux. Cardinaux.
Théorie des modèles.Théorème de complétude. Théorème de compacité et applications. Ultra-produits.
Récursivité. Fonctions primitives récursives, récursives. Machines de Turing.
Arithmétique. Axiomes de Péano. Théorème d’incomplétude de Gödel.
J. Duval
Kevin Destagnol et Ramanujan Santharoubane.
Déroulement et organisation pratique :
Modalités de contrôle : au cours du semestre, les étudiants devront rédiger deux devoirs faits en temps libre chez eux. La note finale est donnée par sup (E, (E+P+(D1+D2)/2)/3)
E=examen, P=partiel, D1, D2 =devoir.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu :
Revêtements et groupe fondamental. Théorème de van Kampen.
Calcul différentiel. Applications à la topologie générale : théorème de Brouwer, invariance du domaine,
variétés topologiques.
Sous-variétés et variétés. Théorème de Whitney et de Sard.
Intitulé de l’UE en anglais :
Partial Differential Equations
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Cours :50
Travaux dirigés :60
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
S. Nonnenmacher
R. Rodiac.
Déroulement et organisation pratique :
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
E=examen, P=partiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu : L’objectif de ce cours est de présenter un panorama des méthodes d’étude des équations aux dérivées partielles dites d’évolution, c’est-à-dire décrivant les phénomènes hors équilibre, en se limitant aux problèmes linéaires. Il s’agit donc d’un cours d’analyse, faisant suite au cours « Distributions et équations aux dérivées partielles ».
Théorie des semi-groupes linéaires. Théorème de Hille-Yosida. Exemples d’applications : équations de la chaleur et des ondes dans un domaine, opérateurs autoadjoints et mécanique quantique.
Méthode des caractéristiques pour les équations d’advection. Applications à l’équation des cordes vibrantes (formule de d’Alembert) et aux systèmes hyperboliques à une dimension et à coefficients constants.Usage de l’analyse de Fourier dans la résolution de problèmes d’évolution à coefficients constants. Exemples :équations de la chaleur, de Schrödinger, des ondes dans tout l’espace.
Equations de transport, méthode des caractéristiques.
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
E=examen, P=partiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu :
Etude approfondie de Z/nZ,
Fonctions arithmétiques classiques, convolution,
Séries de Dirichlet, fonction zéta, fonctions L, applications aux nombres premiers,
Fractions continues, équation de Pell,
Formes quadratiques binaires, nombres de classes,
Groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres, lien avec les formes quadratiques.
Intitulé de l’UE en anglais :
Advanced Algorithmics
ECTS :
3.8
Détail du volume horaire :
Cours TD :70
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
L. Rosaz.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Paquet 1 (45h)
Rappels de notions de complexité
Structure de données avancées de graphes + structures de données
permettant des algorithmes efficaces optimaux (union-find)
Parcours (notions avancées)
Flots (Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp)
Arbre couvrant de poids Min, Plus Court Chemin
Paquet 2 (9h)
Base de théorie de la complexité (P, NP, NPC, réduction
polynomiale). A priori sans introduire les machines de Turing et en
admettant SAT comme NP-complet.
Paquet 3 (13.5h)
Programmation Linéaire : Simplexe/Dualité
Programmation Dynamique : Problème du Sac à dos (??)
Paquet 4 (3h)
Crypto (sensibilisation aux méthodes de chiffrement ??, les
aspects protocoles sont vus en cours de sécurité, en L, M et en
réseau).
A la fin du projet, l’étudiant doit avoir rédigé un petit texte de 10 à 15 pages (en LaTeX) et faire un exposé résumant ce qu’il a appris. Il faut une note au moins égale à 10 pour valider son travail. Les points pris en compte pour l’évaluation sont — qualité de la soutenance orale (choix et organisation du matériel, exemples, arguments clefs, existence d’un but à l’exposé, aisance d’expression, ...) — quantité de travail (régularité, progression, automonie, profondeur de la compréhension, originalité des arguments, recul, développement d’exemples, recherches bibliographiques, ...) — qualité de la rédaction (mathématique, linguistique et typographique).
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Le projet est l’occasion d’approfondir sa culture mathématique et d’effectuer une initiation à la recherche. L’objectif est d’apprendre un sujet accessible ou même original, via la lecture d’articles ou de chapitres de livres, sous la direction d’un enseignant-chercheur. Le travail (qui s’effectuera suivant les années en binôme) a lieu du début à la fin du second semestre, en rencontrant régulièrement l’encadrant. Une liste de projets sera disponible sur DOKEOS en fin de premier semestre, mais il est possible de contacter le responsable de l’UE Projet pour des suggestions d’encadrants dans une thématique spécifique.
