LDD3 Mathématiques cursus magistère

Au cours de votre première année de Magistère, vous devez effectuer un stage dans une entreprise, un laboratoire de recherche (exceptés les laboratoires de Mathématiques français) ou n’importe quel organisme scientifique, d’une durée équivalente à trois semaines à temps plein. Ce stage a différents objectifs : o vous montrer comment et pourquoi les mathématiques sont utilisées dans d’autres disciplines, o vous sensibiliser aux problèmes des milieux industriels ou de la recherche, o vous permettre de découvrir un problème concret issu de domaines variés (physique, économie, biologie, ou médecine par exemple) et de suivre les étapes de sa résolution (expériences, modélisation, résolution exacte ou numérique, simulations, confrontation entre résultats numériques et expérimentaux, etc.) Ce stage peut avoir diverses orientations : bibliographie, résolution numérique, résolution mathématique, etc., mais doit consister en une application des mathématiques utile et originale pour l’organisme d’accueil. Vous devrez rendre (au secrétariat Nathalie Carrierre) un rapport de stage (début septembre). Ce rapport doit présenter le problème sur lequel vous avez travaillé, et expliquer votre contribution et vos résultats. • Vous trouverez au secrétariat les rapports de stage des années précédentes (lieux et titres), vous pouvez aussi vous adresser au SCUIO (bât. 333), Démarche à suivre : o Trouver un stage, o Retirer une convention de stage au secrétariat, la remplir et la faire signer par l’organisme d’accueil du stage et la déposer au secrétariat. o Effectuer le stage, o Rendre un rapport d’activités au secrétariat

Ce stage a différents objectifs : o vous montrer comment et pourquoi les mathématiques sont utilisées dans d’autres disciplines, o vous sensibiliser aux problèmes des milieux industriels ou de la recherche, o vous permettre de découvrir un problème concret issu de domaines variés (physique, économie, biologie, ou médecine par exemple) et de suivre les étapes de sa résolution (expériences, modélisation, résolution exacte ou numérique, simulations, confrontation entre résultats numériques et expérimentaux, etc.)

L’objet de ce cours est la théorie élémentaire des séries de Fourier, concernant notamment les énoncés classiques de convergence des séries de Fourier des fonctions périodiques continues ou C^1 par morceaux (qui ne font pas appel à la théorie de l’intégrale de Lebesgue). Le cours commencera par des préliminaires de nature algébrique et géométrique, concernant les espaces vectoriels hermitiens.

Cet enseignement ne donnera lieu ni à des travaux dirigés, ni à un examen, mais à un contrôle de la présence au cours. Les notions introduites dans ce cours jouent un rôle central dans de nombreuses applications des mathématiques, notamment en physique et en théorie du signal, ainsi qu’en théorie des nombres. Elles constituent aussi des illustrations importantes de divers thèmes qui seront abordés dans les cours d’analyse de L3.

Optimisation convexe lisse sans contrainte / Optimisation convexe non-lisse par régularisation /Optimisation avec contrainte : Algorithme de gradient projeté /Dualité convexe/ Algorithme proximal pour la somme de fonctionnelles convexes /Algorithme de Dykstra (projection sur une intersection de convexes) / Algorithmes primaux-duaux

Maîtriser les outils mathématiques permettant de traiter un grand nombre de problèmes du domaine de l’Optimisation convexe en dimension finie (sans ou sous contrainte). Programmer en python les algorithmes fondamentaux pour approcher la solution d’un problème d’optimisation.

Théorie de la complexité : Machines de Turing, déterministes ou non, variantes, Indécidabilité, semi-décidabilité

Classes de complexité, P, NP, NP-complétude, conjecture P <> NP ? Introduction à quelques notions avancées (Hiérarchies, Savitch, (N)L, PSPACE)

• Apprentissage du logiciel de calcul formel SAGE
• Algorithme d'Euclide et restes chinois
• Initiation à la cryptographie et aux codes correcteurs
• Corps finis

Stage dans un établissmeent scolaire

• Analyse numérique des EDOs : notions de consistance, stabilité et convergence d'un schéma d'ordre 1. Implémentation en TP des schémas d'Euler /point milieu/RK4. Application à l'étude du pendule simple oscillant puis d'un pendule double.
• Méthode de Newton : énoncé local de convergence dans R^n. Implémentation de la méthode de Newton et observation de la sensibilité de la convergence par rapport à la condition initiale, dans R puis dans le plan complexe C.
• Méthode de gradient en optimisation , exemple d'application en traitement d'images

•  Principes de la modélisations de phénomènes aléatoires
  

•  Simulation de variables aléatoires discrètes
  

• Méthode d'inversion de la fonction de répartition et représentation de la fonction de répartition empirique

•  Méthode du rejet
  

•  Introduction à la simulation de chaînes de Markov
  

Graphes et modélisation
Les nouvelles formes de communications entre individus suscitent actuellement un nombre considérable de travaux de modélisation : on représente les individus comme les sommets d’un graphe, dont chaque arête, orientée, représente l’influence exercée par une personne sur une autre.
Ce cours est construit sur l’élaboration et l’étude de modèles de propagation d’opinion construits sur ce principe, le coeur du modèle résidant dans la manière dont chacun est influencé par l’opinion affichée des autres. Sous certaines hypothèses, on montrera qu’il est possible de répondre aux questions les plus naturelles : l’opinion des agents converge-t-elle vers un consensus ? Si oui, cette opinion limite est-elle stable par rapport aux paramètres du modèle ?
Peut on estimer l’importance relative de tel ou tel « influenceur » sur une population ? …
Cette démarche permettra de revisiter et interpréter dans un contexte application particulier des notions vues dans les cours fondamentaux, algèbre linéaire, topologie, calcul différentiel géométrie …, ainsi que d’établir des connections avec des notions plus classiques en modélisation physique : équation de la chaleur, équation de transport, équation des ondes, flots de gradient, thermodynamique…
Au delà de l’analyse mathématique de certains modèles, pour l’essentiel cantonnée à une vision positive et consensuelle de l’influence (une personne tend à rapprocher son opinion des personnes qu’elle écoute), une partie du cours, plus exploratoire, pourra être consacrée à la recherche de mécanismes et modèles permettant d’expliquer l’apparition spontanée de plusieurs communautés de pensée au sein d’une population (clivage).

Prérequis : ce cours, assez largement auto-contenu, s’appuie sur certaines notions de base en algèbre linéaire (réduction d’endomorphisme), ainsi qu'en calcul différentiel / topologie (différentielle d’une fonction de plusieurs variable à valeurs vectorielles, équations différentielle, stabilité des points d’équilibre, suites dans un espace métrique, théorème de point fixe).

Statistique descriptive avec R.
Estimation d’une densité, d’une fonction de distribution, graphes quantile-quantile
Régression linéaire : estimateurs des moindres carrés, erreur de prévision, validation de modèles
Classification supervisée : méthode des plus proches voisins, analyse discriminante, erreur de classification et courbe ROC.

L'enseignement alterne cours et TD sur ordinateur, et inclut des études d'articles.

Savoir mener une analyse de données avec le logiciel R : ajustement de lois paramétriques, pratique de la régression linéaire, de la classification supervisée.
Savoir reproduire des études statistiques présentées dans des articles.

• Construction de mesures (mesures extérieures, théorème de représentation de Riesz et dualité avec les fonctions continues, classe monotone et critère d'unicité de mesures)
• Mesure de Lebesgue (construction géométrique par mesures extérieures, construction par dualité par l'intégrale de Riemann, points de Lebesgue)
• Sous-variétés de l'espace Euclidien (caractérisations par carte locale, fonction implicite, paramétrisation et graphe, espace tangent et ses différentes caractérisation, extrema liés)
• Mesure de Hausdorff (construction par mesures extérieures, inégalité isodiamétrique, formule de l'aire et intégration sur des sous-variétés)
• Formule de Gauss-Green et applications

Ce cours présente les arbres, et leurs utilisation pour la réalisation de structures de données variées, ainsi que les graphes et leurs algorithmes de parcours. On y aborde les techniques générales de conception et d’analyse d’algorithmes.

Contenu :

• Structures chaînées et arbres : description à base de pointeurs et caractérisation récursive
• Opérations sur les arbres : parcours, recherche
• Dictionnaires : tables de hachage, arbres de recherche, arbres préfixes, et leurs opérations
• Diviser pour régner, algorithme de tri fusion
• Borne de complexité sur les tris par comparaison
• Structure de graphe
• Algorithmes de parcours : en profondeur, en largeur, tri topologique, composantes connexes

Connaissance des structures de données arborescentes et des graphes, et des techniques algorithmiques associées. Maîtrise des outils permettant de justifier la validité d’un algorithme et d’analyser ses propriétés de complexité.

Cours accompagnés de TD. Évaluation par épreuves écrites.

• Apprentissage du logiciel de calcul formel SAGE
• Algorithme d'Euclide et restes chinois
• Initiation à la cryptographie et aux codes correcteurs
• Corps finis

• Analyse numérique des EDOs : notions de consistance, stabilité et convergence d'un schéma d'ordre 1. Implémentation en TP des schémas d'Euler /point milieu/RK4. Application à l'étude du pendule simple oscillant puis d'un pendule double.
• Méthode de Newton : énoncé local de convergence dans R^n. Implémentation de la méthode de Newton et observation de la sensibilité de la convergence par rapport à la condition initiale, dans R puis dans le plan complexe C.
• Méthode de gradient en optimisation , exemple d'application en traitement d'images

•  Principes de la modélisations de phénomènes aléatoires
  

•  Simulation de variables aléatoires discrètes
  

• Méthode d'inversion de la fonction de répartition et représentation de la fonction de répartition empirique

•  Méthode du rejet
  

•  Introduction à la simulation de chaînes de Markov
  

Équations de Cauchy-Riemann. Intégrale curviligne, formule de Cauchy.
Développement en série entière, inégalités de Cauchy, lemme de Schwarz.
Zéros, structure locale, singularités isolées d'une fonction holomorphe, fonctions méromorphes.
Indice d'un circuit, théorème des résidus, généralisation de la formule de Cauchy, notion de domaine simplement connexe. Calculs d'intégrale par la méthode des résidus.
Suites et séries de fonctions holomorphes.
Produits infinis de fonctions holomorphes.

Intégrale curviligne, formule de Cauchy, séries entières et de Laurent, inégalités de Cauchy, résidus et calcul d'intégrales, série et produit infini de fonctions holomorphes

I.1 . -Arithmétique sur Z, Z/nZ et groupes abéliens
I.2 . -Groupes, actions de groupes et théorèmes de Sylows
I.3 . -Groupe symétrique, déterminants
I.4 . -Théorèmes de structure des groupes abéliens de type fini

Premières notions : relation d'équivalence, Groupes, Anneaux, Groupes finis.

Introduction: géométrie des courbes différentiables.

• Calcul différentiel dans les espaces vectoriels normés: différentielles, dérivées directionnelles, dérivées partielles, fonctions de classe C^1; théorème des accroissements finis; exemples.
• Espaces complets: exemples; le théorème du point fixes pour les applications contractantes.
• Le théorème d’inversion local et le théorème des fonctions implicites.
• Calcul différentiel d’ordre supérieur.
• Sous-variétés de R^n.

Fonctions différentiables dans Rn, extrema, fonctions implicites

Espaces métriques, distances, ouverts d’un espace métrique, topologie d’un espace métrique.

• Espaces topologiques : topologie, ouverts, fermés adhérence, intérieur, voisinages. Distances équivalents dans un espace métrique. Exemples d’espaces topologiques : espaces vectoriels normés, produit fini et dénombrable d’espaces métriques, topologie induite, topologie quotient
• suites dans un espace topologique, limite d’une suite, valeur d’adhérence, espaces séparés. Les suites dans un espace métrique.
• Applications continues, caractérisation séquentielle de la continuité dans un espace métrique, limite uniforme d’applications continues, homéomorphismes
• Connexité : Image continue d’un connexe est connexe. Connexes de R, connexité par arcs, composantes connexes, composantes connexes par arcs.

-Compacité : compacité par recouvrement Borel-Lebesgue, compacité et applications continues, espaces métriques compacts : Bolzano-Weierstrass, partie compacte vs fermée. Produit fini et dénombrable de compacts est compact; les compatcs de R et de R^n. Image continue d’un compact, bijection continue entre compacts ; uniforme continuité.

• Complétude : suites de Cauchy, R (admis) et R^n sont complets ; fermés d’un complet, espaces fonctionnelles (par exemple Cb(X,Y))
• Espaces vectoriels normés. Normes équivalentes. Exemples : Rn, divers espaces fonctionnels. Applications linéaires continues ; norme sur Lc(E,F). En dimension finie : normes équivalentes, applications linéaires continues ; théorème de compacité de Riesz.
• Espaces de Banach. Exemples : espaces fonctionnels (Lc(E,F), espaces lp …), dualité
• Espaces de Hilbert. Produit scalaires, Théorème de projection, exemples : L2, l2
  Espaces de Hilbert abstraits : densité ; séparabilité ; totalité ; familles orthonormées ; bases hilbertiennes. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; meilleure approximation. Inégalité de Bessel ; convergence commutative ; décomposition selon une base hilbertienne ; identité de Plancherel ; identité de Parseval ; théorème d’isomorphie (non canonique) à l2 (Riesz-Fischer). Projection orthogonale sur un convexe fermé ; hyperplan de support ; supplémentaire orthogonal ; théorème de représentation de Riesz.

Topologie des espaces métriques : outils de base, compacts, connexes. Espaces complets.

Topologie et Analyse, G. Skandalis
Polycopié : Topologie et Calcul différentiel, Dominque Hulin

1. Espace mesurable. Mesure positive. Fonction mesurable. Intégration par rapport à une mesure. Convergence dominée. Intégrale dépendant d’un paramètre.
2. Tribu engendrée. Lemme de classe monotone. Caractérisation des mesures. Cas de la mesure de Lebesgue. Théorème de représentation de Riesz. Espaces produits. Théorème de Fubini.
3. Espaces Lp. Inégalité de Hölder. Théorème de Riesz. Théorème de Radon Nikodym.
4. Espace probabilisé. Variable aléatoire. Loi de probabilité. Jeu de pile ou face.Lois discrètes. Densité de probabilité. Exemples de lois : loi binomiale, loi de Poisson, loi exponentielle, loi normale.Espérance. Formule de transfert. Variance, inégalité de Bienaymé-Tchebycheff.
5. Indépendance.Probabilité conditionnelle. Formule des probabilités composées. Indépendance d’événements, de variables aléatoires. Produit tensoriel de lois de probabilité, de densités de probabilité. Somme de variables aléatoires indépendantes. Produit de convolution de lois de probabilité de densités de probabilité.
6. Convergence.Convergence en probabilité. Convergence presque sûre. Lemme de Borel-Cantelli. Lois des grands nombres. Convergence en loi. Caractérisation. Cas des lois discrètes et des lois sur R.
7. Fonction caractéristique. Transformée de Fourier d’une loi de probabilité et fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Injectivité de la transformée de Fourier. Formule d’inversion dans le cas où la transformée de Fourier est intégrable. Théorème de Paul-Lévy. Théorème central limite.
8. Vecteurs gaussiens. Définition par dualité. Transformation linéaire d’un vecteur gaussien. Construction des lois gaussiennes, caractérisation de leurs transformées de Fourier. Cas où la matrice de covariance est inversible. Loi du chi-deux, théorème de Cochran. Théorème central limite vectoriel.
9. Eléments de statistique. Estimation d’un paramètre. Estimation empirique. Maximum de vraisemblance. Notion d’intervalle de confiance, d’intervalle de confiance asymptotique. Utilisation du théorème central limite. Test du chi-deux.
10. Chaines de Markov (espace d’état fini)Définition. Exemples. Matrice de transition. Irréductibilité, périodicité. Loi stationnaire. Théorème d’unicité. Théorie de Perron-Froebenius

Probabilités : Fondements mathématiques : indépendance, lois de probabilités, loi des grands nombres, convergence en loi. Introduction à la modélisation et aux statistiques

I. Espaces de fonctions classiques dans Rn : (1h30mn)
Fonctions C 0(Rn), C 1(Rn), C k(Rn), C ?(Rn). Continuité uniforme. Espaces de fonctions höldériennes Ck,a(Rn). Anticipation de liens avec le cours de calcul différentiel (e.g. énoncé sans démonstration du théorème des fonctions implicites restreint à R2).

II. Intégrale de Riemann : (3h)
Définition, propriétés, cas des fonctions continues par morceaux. Caractérisation des fonctions intégrables au sens de Riemann. Théorèmes de dérivation des intégrales à paramètres. Intégrale généralisée de Cauchy.

III. Mesure dans Rn : (5h)
Sous-ensembles de Rn. Dénombrabilité et non-dénombrabilité. Mesure extérieure. Ensembles mesurables. Mesure de Lebesgue. Fonctions mesurables.

IV. Intégration dans Rn : (7h)
Intégrale de Lebesgue. Théorèmes de convergence dominée, de Fatou et de Beppo-Levi. Théorèmes de continuité et dérivabilité des intégrales à paramètre. Espaces L1(Rn), L2(Rn), Lp(Rn), L? (Rn). Inégalités de Minkowski, Cauchy-Schwarz, Hölder. Complétude de L1(Rn) et des espaces Lp(Rn) (Riesz-Fischer) et extraction de sous-suites convergeant presque partout. Mesure produit. Théorème de Fubini.

V. Différentiation dans Rn : (3h)
Formule de changement de variables. Retour sur la dimension n = 1. Cas de la dimension n = 2. Géométrie des bi-vecteurs et des surfaces infinitésimales orientées. Cas de la dimension n = 3. Cas général.Théorème de différentiation de Lebesgue. Première approche des noyaux régularisants et de la convolution.Fonction maximale de Hardy-Littlewood (optionnel).

VI. Géométrie des espaces de Hilbert : (6h)
Espace l2(C) : structure hermitienne ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; complétude. Espaces de Hilbert abstraits : densité ; séparabilité ; totalité ; familles orthonormées ; bases hilbertiennes. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; meilleure approximation. Inégalité de Bessel ; convergence commutative ; décomposition selon une base hilbertienne ; identité de Plancherel ; identité de Parseval ; théorème d’isomorphie (non canonique) à l2 (Riesz-Fischer). Projection orthogonale sur un convexe fermé ; hyperplan de support ; supplémentaire orthogonal ; théorème de représentation de Riesz.

VII. Séries de Fourier : (6h)
Fonctions 2-périodiques sur T = R/2 ?Z. Retour sur la hiérarchie d’espaces fonctionnels C 1(T) ,C 0(T) , L? (T) , Lq(T) , Lp(T) , L1(T). Coefficients de Fourier des fonctions L1(T) ; série de Fourier ; lemme de Riemann-Lebesgue ; théorème de Dirichlet ; test de Dini ; théorème de Jordan. Convergence en norme L2 des séries de Fourier ; Bessel-Parseval-Plancherel.Produit de convolution sur T; noyau de Dirichlet ; noyau de Fejér ; théorème de Fejér pour les fonctions continues sur T; totalité de la famille des exponentielles exp(ik ?). Principe de localisation ; constantes de Lebesgue. Convergence normale de séries de Fourier ; théorème de Bernstein. Contre-exemple de du Bois-Reymond : fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point.

VIII. Convolution et régularisation dans Rn : (5h)
Retour sur les espaces Lp : inégalités de Minkowski et de Hölder. Continuité des translations dans Lp. Produit de convolution . Support. Résultats fondamentaux : L1* L1 dans L1 ; L1* Lp dans Lp ; Lp * Lp' dans C0unift ; inégalité deYoung (optionnel). Non-existence d’une unité pour * ; approximations de l’unité ; convergence en norme C0et en norme Lp vers l’identité. Fonctions Cinfini à support compact ; fonctions plateau ; densité de Ccinfini dans Lp(Rd).

Intégrale de Riemann. Intégrale de Lebesgue. Théorie élémentaire des séries de Fourier.

Anneaux de polynômes
-Polynôme minimal, polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton
-Réduction de Frobenius, décomposition de Dunford, réduction de Jordan
-Dualité pour les espaces vectoriels
-Formes bilinéaires et sesquilinéaires
-Réduction des endomorphismes symétriques et hermitiens

Algèbre linéaire et bilinéaire. Réduction des endomorphismes

Problème de Cauchy, solutions globales, solutions maximales ; équations d’ordre n, équations autonomes ; se ramener à ordre 1/autonome
Théorème de Cauchy-Lipschitz. Caractérisation des solutions maximales
Lemme de Gronwall. Applications : solutions globales pour les équations linéaires, ou à croissance sous-linéaire, dépendance continue des solutions par rapport à la condition initiale.
Étude qualitative des équations scalaires. Régionnement. Comparaison avec une sur ou une sous-solution. Existence de solutions dans un (anti)-entonnoir.
Équations différentielles linéaires. Rappel sur les équations autonomes ; portraits de phase en dimension 2. Méthode de variation de la constante ; résolvante.
Étude qualitative des équations autonomes. Orbites, points stationnaires, portrait de phase, isoclines. Étude au voisinage d’un point singulier : linéarisé, théorème de Lyapunov.
Étude en dimension 2 au voisinage d’un col.
Étude au voisinage d’un point régulier (admis).
Méthode d’Euler.

Théorie des équations différentielles ordinaires : EDO linéaires, non-linéaires : Cauchy-Lipschitz, Gronwall, régularité du flot. Stabilité. Etudes qualitatives.

Attendus de l'UE Langue-Anglais4 : Niveau B2+/C1 dans les 5 compétences linguistiques.

ANGLAIS DE SPÉCIALITÉ. Cette UE s'inscrit dans la continuité de l'UE Langue-Anglais3 et le travail sur la langue de spécialité (scientifique et/ou à visée professionnelle) : on prolongera l'approche actionnelle dans les 5 compétences et on s'attachera à la préparation de l'étudiant aux différentes tâches liées à son activité scientifique telles que la rédaction d'un compte rendu d'expérience, le commentaire d'un graphique, la desciption d'un processus mais aussi à son insertion dans le monde professionnel : rédaction d'un CV ou d'une lettre de motivation en vue d'un stage... On proposera une initiation au débat ainsi qu'un entraînement à la certification CLES 2.

Le travail se fera par groupes de niveau.

Le Travail personnel encadré en mathématique permet d'aborder et d'approfondir un thème de Mathématiques du niveau de la licence. Ce travail est encadré par un enseignant chercheur ou un chercheur du Département de Mathématiques. Le projet doit mener à une compréhension du thème proposé, compréhension attestée par la rédaction d'un mémoire et une courte soutenance orale.

Lecture de texte mathématiques. Travail personnel encadré en mathématique.