LDD3 Mathématiques

Premières notions : relation d'équivalence, Groupes, Anneaux, Groupes finis.

• I.1 . -Arithmétique sur Z, Z/nZ et groupes abéliens
• I.2 . -Groupes, actions de groupes et théorèmes de Sylows
• I.3 . -Groupe symétrique, déterminants
• I.4 . -Théorèmes de structure des groupes abéliens de type fini

Fonctions différentiables dans Rn, extrema, fonctions implicites

- Introduction: géométrie des courbes différentiables. - Calcul différentiel dans les espaces vectoriels normés: différentielles, dérivées directionnelles, dérivées partielles, fonctions de classe C^1; théorème des accroissements finis; exemples. - Espaces complets: exemples; le théorème du point fixes pour les applications contractantes. - Le théorème d’inversion local et le théorème des fonctions implicites. - Calcul différentiel d’ordre supérieur. - Sous-variétés de R^n.

Topologie des espaces métriques : outils de base, compacts, connexes. Espaces complets.

- Espaces métriques, distances, ouverts d’un espace métrique, topologie d’un espace métrique. - Espaces topologiques : topologie, ouverts, fermés adhérence, intérieur, voisinages. Distances équivalents dans un espace métrique. Exemples d’espaces topologiques : espaces vectoriels normés, produit fini et dénombrable d’espaces métriques, topologie induite, topologie quotient - suites dans un espace topologique, limite d’une suite, valeur d’adhérence, espaces séparés. Les suites dans un espace métrique. - Applications continues, caractérisation séquentielle de la continuité dans un espace métrique, limite uniforme d’applications continues, homéomorphismes - Connexité : Image continue d’un connexe est connexe. Connexes de R, connexité par arcs, composantes connexes, composantes connexes par arcs. -Compacité : compacité par recouvrement Borel-Lebesgue, compacité et applications continues, espaces métriques compacts : Bolzano-Weierstrass, partie compacte vs fermée. Produit fini et dénombrable de compacts est compact; les compatcs de R et de R^n. Image continue d’un compact, bijection continue entre compacts ; uniforme continuité. - Complétude : suites de Cauchy, R (admis) et R^n sont complets ; fermés d’un complet, espaces fonctionnelles (par exemple Cb(X,Y)) - Espaces vectoriels normés. Normes équivalentes. Exemples : Rn, divers espaces fonctionnels. Applications linéaires continues ; norme sur Lc(E,F). En dimension finie : normes équivalentes, applications linéaires continues ; théorème de compacité de Riesz. - Espaces de Banach. Exemples : espaces fonctionnels (Lc(E,F), espaces lp …), dualité - Espaces de Hilbert. Produit scalaires, Théorème de projection, exemples : L2, l2 Espaces de Hilbert abstraits : densité ; séparabilité ; totalité ; familles orthonormées ; bases hilbertiennes. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; meilleure approximation. Inégalité de Bessel ; convergence commutative ; décomposition selon une base hilbertienne ; identité de Plancherel ; identité de Parseval ; théorème d’isomorphie (non canonique) à l2 (Riesz-Fischer). Projection orthogonale sur un convexe fermé ; hyperplan de support ; supplémentaire orthogonal ; théorème de représentation de Riesz.

Topologie et Analyse, G. Skandalis Polycopié : Topologie et Calcul différentiel, Dominque Hulin

Intégrale de Riemann. Intégrale de Lebesgue. Théorie élémentaire des séries de Fourier.

I. Espaces de fonctions classiques dans Rn : (1h30mn) Fonctions C 0(Rn), C 1(Rn), C k(Rn), C ?(Rn). Continuité uniforme. Espaces de fonctions höldériennes Ck,a(Rn). Anticipation de liens avec le cours de calcul différentiel (e.g. énoncé sans démonstration du théorème des fonctions implicites restreint à R2).

II. Intégrale de Riemann : (3h) Définition, propriétés, cas des fonctions continues par morceaux. Caractérisation des fonctions intégrables au sens de Riemann. Théorèmes de dérivation des intégrales à paramètres. Intégrale généralisée de Cauchy.

III. Mesure dans Rn : (5h) Sous-ensembles de Rn. Dénombrabilité et non-dénombrabilité. Mesure extérieure. Ensembles mesurables. Mesure de Lebesgue. Fonctions mesurables.

IV. Intégration dans Rn : (7h) Intégrale de Lebesgue. Théorèmes de convergence dominée, de Fatou et de Beppo-Levi. Théorèmes de continuité et dérivabilité des intégrales à paramètre. Espaces L1(Rn), L2(Rn), Lp(Rn), L? (Rn). Inégalités de Minkowski, Cauchy-Schwarz, Hölder. Complétude de L1(Rn) et des espaces Lp(Rn) (Riesz-Fischer) et extraction de sous-suites convergeant presque partout. Mesure produit. Théorème de Fubini.

V. Différentiation dans Rn : (3h) Formule de changement de variables. Retour sur la dimension n = 1. Cas de la dimension n = 2. Géométrie des bi-vecteurs et des surfaces infinitésimales orientées. Cas de la dimension n = 3. Cas général.Théorème de différentiation de Lebesgue. Première approche des noyaux régularisants et de la convolution.Fonction maximale de Hardy-Littlewood (optionnel).

VI. Géométrie des espaces de Hilbert : (6h) Espace l2(C) : structure hermitienne ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; complétude. Espaces de Hilbert abstraits : densité ; séparabilité ; totalité ; familles orthonormées ; bases hilbertiennes. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie ; meilleure approximation. Inégalité de Bessel ; convergence commutative ; décomposition selon une base hilbertienne ; identité de Plancherel ; identité de Parseval ; théorème d’isomorphie (non canonique) à l2 (Riesz-Fischer). Projection orthogonale sur un convexe fermé ; hyperplan de support ; supplémentaire orthogonal ; théorème de représentation de Riesz.

VII. Séries de Fourier : (6h) Fonctions 2-périodiques sur T = R/2 ?Z. Retour sur la hiérarchie d’espaces fonctionnels C 1(T) ,C 0(T) , L? (T) , Lq(T) , Lp(T) , L1(T). Coefficients de Fourier des fonctions L1(T) ; série de Fourier ; lemme de Riemann-Lebesgue ; théorème de Dirichlet ; test de Dini ; théorème de Jordan. Convergence en norme L2 des séries de Fourier ; Bessel-Parseval-Plancherel.Produit de convolution sur T; noyau de Dirichlet ; noyau de Fejér ; théorème de Fejér pour les fonctions continues sur T; totalité de la famille des exponentielles exp(ik ?). Principe de localisation ; constantes de Lebesgue. Convergence normale de séries de Fourier ; théorème de Bernstein. Contre-exemple de du Bois-Reymond : fonction continue dont la série de Fourier diverge en un point.

VIII. Convolution et régularisation dans Rn : (5h) Retour sur les espaces Lp : inégalités de Minkowski et de Hölder. Continuité des translations dans Lp. Produit de convolution . Support. Résultats fondamentaux : L1* L1 dans L1 ; L1* Lp dans Lp ; Lp * Lp' dans C0unift ; inégalité deYoung (optionnel). Non-existence d’une unité pour * ; approximations de l’unité ; convergence en norme C0et en norme Lp vers l’identité. Fonctions C? à support compact ; fonctions plateau ; densité de Cc?dans Lp(Rd).

Probabilités : Fondements mathématiques : indépendance, lois de probabilités, loi des grands nombres, convergence en loi. Introduction à la modélisation et aux statistiques

1. Espace mesurable. Mesure positive. Fonction mesurable. Intégration par rapport à une mesure. Convergence dominée. Intégrale dépendant d’un paramètre. 2. Tribu engendrée. Lemme de classe monotone. Caractérisation des mesures. Cas de la mesure de Lebesgue. Théorème de représentation de Riesz. Espaces produits. Théorème de Fubini. 3. Espaces Lp. Inégalité de Hölder. Théorème de Riesz. Théorème de Radon Nikodym. 4. Espace probabilisé. Variable aléatoire. Loi de probabilité. Jeu de pile ou face.Lois discrètes. Densité de probabilité. Exemples de lois : loi binomiale, loi de Poisson, loi exponentielle, loi normale.Espérance. Formule de transfert. Variance, inégalité de Bienaymé-Tchebycheff. 5. Indépendance.Probabilité conditionnelle. Formule des probabilités composées. Indépendance d’événements, de variables aléatoires. Produit tensoriel de lois de probabilité, de densités de probabilité. Somme de variables aléatoires indépendantes. Produit de convolution de lois de probabilité de densités de probabilité. 6. Convergence.Convergence en probabilité. Convergence presque sûre. Lemme de Borel-Cantelli. Lois des grands nombres. Convergence en loi. Caractérisation. Cas des lois discrètes et des lois sur R. 7. Fonction caractéristique. Transformée de Fourier d’une loi de probabilité et fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Injectivité de la transformée de Fourier. Formule d’inversion dans le cas où la transformée de Fourier est intégrable. Théorème de Paul-Lévy. Théorème central limite. 8. Vecteurs gaussiens. Définition par dualité. Transformation linéaire d’un vecteur gaussien. Construction des lois gaussiennes, caractérisation de leurs transformées de Fourier. Cas où la matrice de covariance est inversible. Loi du chi-deux, théorème de Cochran. Théorème central limite vectoriel. 9. Eléments de statistique. Estimation d’un paramètre. Estimation empirique. Maximum de vraisemblance. Notion d’intervalle de confiance, d’intervalle de confiance asymptotique. Utilisation du théorème central limite. Test du chi-deux. 10. Chaines de Markov (espace d’état fini)Définition. Exemples. Matrice de transition. Irréductibilité, périodicité. Loi stationnaire. Théorème d’unicité. Théorie de Perron-Froebenius

Intégrale curviligne, formule de Cauchy, séries entières et de Laurent, inégalités de Cauchy, résidus et calcul d'intégrales, série et produit infini de fonctions holomorphes

Équations de Cauchy-Riemann. Intégrale curviligne, formule de Cauchy. Développement en série entière, inégalités de Cauchy, lemme de Schwarz. Zéros, structure locale, singularités isolées d'une fonction holomorphe, fonctions méromorphes. Indice d'un circuit, théorème des résidus, généralisation de la formule de Cauchy, notion de domaine simplement connexe. Calculs d'intégrale par la méthode des résidus. Suites et séries de fonctions holomorphes. Produits infinis de fonctions holomorphes.

Algèbre linéaire et bilinéaire. Réduction des endomorphismes

• -Anneaux de polynômes
• -Polynôme minimal, polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton
• -Réduction de Frobenius, décomposition de Dunford, réduction de Jordan
• -Dualité pour les espaces vectoriels
• -Formes bilinéaires et sesquilinéaires
• -Réduction des endomorphismes symétriques et hermitiens

Théorie des équations différentielles ordinaires : EDO linéaires, non-linéaires : Cauchy-Lipschitz, Gronwall, régularité du flot. Stabilité. Etudes qualitatives.

Problème de Cauchy, solutions globales, solutions maximales ; équations d’ordre n, équations autonomes ; se ramener à ordre 1/autonome Théorème de Cauchy-Lipschitz. Caractérisation des solutions maximales Lemme de Gronwall. Applications : solutions globales pour les équations linéaires, ou à croissance sous-linéaire, dépendance continue des solutions par rapport à la condition initiale. Étude qualitative des équations scalaires. Régionnement. Comparaison avec une sur ou une sous-solution. Existence de solutions dans un (anti)-entonnoir. Équations différentielles linéaires. Rappel sur les équations autonomes ; portraits de phase en dimension 2. Méthode de variation de la constante ; résolvante. Étude qualitative des équations autonomes. Orbites, points stationnaires, portrait de phase, isoclines. Étude au voisinage d’un point singulier : linéarisé, théorème de Lyapunov. Étude en dimension 2 au voisinage d’un col. Étude au voisinage d’un point régulier (admis). Méthode d’Euler.

Attendus de l'UE Langue-Anglais4 : Niveau B2+/C1 dans les 5 compétences linguistiques.

ANGLAIS DE SPÉCIALITÉ. Cette UE s'inscrit dans la continuité de l'UE Langue-Anglais3 et le travail sur la langue de spécialité (scientifique et/ou à visée professionnelle) : on prolongera l'approche actionnelle dans les 5 compétences et on s'attachera à la préparation de l'étudiant aux différentes tâches liées à son activité scientifique telles que la rédaction d'un compte rendu d'expérience, le commentaire d'un graphique, la desciption d'un processus mais aussi à son insertion dans le monde professionnel : rédaction d'un CV ou d'une lettre de motivation en vue d'un stage... On proposera une initiation au débat ainsi qu'un entraînement à la certification CLES 2. Le travail se fera par groupes de niveau.

Lecture de texte mathématiques. Travail personnel encadré en mathématique.

Le Travail personnel encadré en mathématique permet d'aborder et d'approfondir un thème de Mathématiques du niveau de la licence. Ce travail est encadré par un enseignant chercheur ou un chercheur du Département de Mathématiques. Le projet doit mener à une compréhension du thème proposé, compréhension attestée par la rédaction d'un mémoire et une courte soutenance orale.