LDD2 Mathématiques, Physique et Applications

Le contenu dépend du choix de l’UE

UE de culture à choisir parmi une liste de thèmes proposés, ou LV2 ou Sport ou Engagement étudiant
Le compétences dépendent du choix de l’UE

Généralités sur les ondes

Propagation d'une onde mécanique, équation de propagation
Application à différents types d'ondes : onde de compression dans un ressort, onde transversale le long d'une corde, corde vibrante, ondes acoustiques, ondes électromagnétiques

Solutions de l'équation de propagation, relation de dispersion
Ondes en notation complexe 

Ondes planes et sphériques
Ondes stationnaires et progressives

Effet Doppler

 ....

Comprendre les différentes ondes présentes dans la nature. Mettre en équation la propagation d'une onde mécanique (corde, ressort...) et trouver l'expression mathématique solution de cette équation. Comprendre la relation entre les grandeurs spatiales (longueur d'onde) et temporelles (fréquence) de l'onde

 Caractériser une onde progressive dans le cas d’une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive.

Cours en amphi, TDs, TPs

Un choix de problèmes, issus de la physique considérée comme acquise en L2, seront proposés, avec ou sans solution exacte analytique connue et l'on cherchera à les résoudre numériquement par exemple en faisant appel à des bibliothèques ou des méthodes numériques abordées au semestre 3. La programmation se fera sous langage Python.

Résoudre numériquement des problèmes physique donnés
Utiliser les méthodes numériques acquises au semestre précédent

Ralisation d'un petit film sur une expérience ou un sujet scientifique

Etre capable d'exposer de façon claire et synthétique une expérience ou un sujet scientifique en une durée limitée

Bases de données

–Introduction

• Modèle Entité-Association

–Modèle et algèbre relationnelle

• Le langage SQL

Applications Web

–Introduction au Web et à la conception d’un site web

–Le langage HTML

–Le langage PHP

Maîtrise de modèles pour les bases de données
Apprentissage des langages nécessaires pour la création de sites WEB

Ensemble de 6 conférences données par des intervenants extérieurs, par des chercheurs des équipes de recherche associées, ou par des enseignants chercheurs. Les sujets abordés seront variés et émargeront parmi les thèmes suivants:

Changement climatique et GIEC

Energie

Transition énergétique

Evènements extrêmes

Pollution & qualité de l’air

Biodiversité

Deux séances de TD de présentation d'outils numériques ou/et en ligne en lien avec le climat.

Un projet en trinôme sera conduit sur un sujet choisi dans une liste. Les groupes qui le souhaitent peuvent aussi choisir un sujet personnel à soumettre aux enseignants responsables pour approbation. Le projet s'appuiera sur un ou des outils présentés en TD. Le projet sera évalué à travers d'un rapport écrit et d'une présentation orale.

Donner un panorama de questions liées au climat et au changement climatique à travers des cours/conférences

• Conduire et soutenir un projet sur une problématique liée au climat dans un groupe de 3 étudiants en utilisant des outils numériques présentés en TD

  Comprendre la pluridisciplinarité des questions liées au climat et au changement climatique

  Savoir aborder un problème lié au climat en s'appuyant sur différents outils et connaissances

  Travailler en groupe

  Faire une synthèse orale et écrite

  Discuter et argumenter clairement sur diverses questions liées au climat et au changement climatique

  Utiliser à bon escient des outils numériques en lien avec des données climatiques

  Présenter à l'écrit et à l'oral les résultats d'un projet

Avoir suivi les Ue de Analyse 1 et Algèbre 1.
L’Ue Mathématiques fondamentales est vivement recommandée.

I - Analyse (7,5 semaines)

• Séries numériques (2 semaines) :

• Définition, convergence, divergence, somme,
• Séries à termes positifs et critères de convergence : critères de comparaison, critères de d'Alembert, de Cauchy, séries de Riemann, comparaison série/intégrale
• Convergence absolue
• Séries alternées

• Intégrales généralisées (1,5 semaines)

• Définition, convergence, convergence absolue
• Critères de convergence pour les fonctions positives

• Calcul différentiel pour les fonctions à plusieurs variables (2,5 semaines)

• Continuité
• Dérivées partielles d'ordre 1, différentiabilité, classe C1 , opérations sur les fonctions différentiables (dont la composition)
• Matrice jacobienne, gradient
• Dérivées partielles d'ordre 2, théorème de Schwarz, classe C2, matrices hessiennes
• Formule de Taylor à l'ordre 1 et 2 pour des fonctions de 2 variables
• Extrema locaux de fonctions de deux variables : condition nécessaire d'ordre 1, condition suffisante d'ordre 2

• Intégrales surfaciques et volumiques de fonctions (1,5 semaines)

II - Algèbre linéaire (4,5 semaines)

• Déterminant d’une matrice, d’un endomorphisme :

• Introduction des déterminants dans R3 par le produit mixte
• Forme multilinéaire alternée
• Définition par récurrence sur la dimension : développement selon une ligne ou une colonne.
• Méthodes de calcul
• Applications : déterminant d'une matrice inversible, calculs de l'inverse d'une matrice

• Diagonalisation des endomorphismes :

• Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres, polynôme caractéristique
• CNS de diagonalisation
• Applications à la puissance de matrices, aux systèmes différentiels, aux équations différentielles d'ordre n, aux suites récurrentes linéaires d'ordre 2 (et éventuellement d'ordre n), Intérêt géométrique (rotations, symétries, projections)
• Notion de trigonalisation d’une matrice sur des exemples

• Approfondir les notions d’analyse, en particulier se familiariser avec les séries numériques et les intégrales généralisées, être capable de trouver les extrema locaux de fonctions de 2 ou 3 variables, être capable de trouver la régularité d’une fonction de plusieurs variables.
• Approfondir les notions d’algèbre linéaire, et en particulier être capable de reconnaître si une matrice est diagonalisable ou pas et le cas échéant être capable de la diagonaliser.

1/3 CM en amphi
2/3 Td par groupe de 32 étudiants
contrôle continu et examen final

• Analyse 1ère année, Analyse 2ème année, algèbre 1ère année, algèbre et géométrie 2ème année, F. Liret, D.Martinais, aux éditions Dunod.
• Mathématiques, tout-en-un pour la licence (niveau L1 et L2) sous la direction de J.P. Ramis et André Warusfel, éditions Dunod.

Analyse 1 ;
Mathématiques Générales EN10433

Notions de base sur les systèmes d'équations différentielles
Géométrie différentielle,
Intégrales doubles et triples.

Notions de base sur les systèmes d'équations différentielles
Géométrie différentielle,
Intégrales doubles et triples.

1/3 cours, 2/3 TD, contrôle continu et examen final

Notes de cours de Christophe Chalons : https://chalons.perso.math.cnrs.fr/ (onglet lectures notes, puis "aspects différentiels)

Analyse 1, Mathématiques Générales de semestre 3;
Mathématiques Fondamentales est recommandé.

Suites et séries de fonctions :

Convergence simple, uniforme et normale ;

Critère de continuité, dérivabilité, de passage à la limite sous le signe intégral

Théorème de Weierstass sur l’approximation par des polynômes 

Séries entières : application à la résolution d'équations différentielles

Critère de continuité et dérivabilité

Séries de Fourier :Théorème d’unicité, Théorème de convergence de Dirichlet, Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques.

Savoir manipuler, dériver, intégrer des fonctions définies par des suites, séries ou intégrales
comprendre et manipuler la convergence uniforme et la convergence simple
maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques
concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse
expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques

1/3 cours, 2/3 TD, contrôle continu et examen final

Le contenu du cours est classique et traité dans tous les ouvrages de L2 Mathématiques. On pourra aussi consulter les ouvrages destinés aux classes préparatoires (MP ou PC-PSI). Par exemple :

• Daniel Guinin, Bernard Joppin, Précis d’Analyse PC, Bréal.
• Jean-Pierre Marco, PhilippeThieullen, Jacques-Arthur Weil (avec la collaboration de Joël Benoist, Has-san Boualem, Robert Brouzet, Alexandre Cabot, Marie-Line Chabanol, Jacques Féjoz, Laurent Lazzarini, Roger Manguy, Laurent Mesnager, Silhem Mesnager, Denis Pennequin, Pierre Wassef, Alain Yger, Mohammed Zarrabi) : Mathématiques L2, Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés, Pearson Education, 2010, ISBN 978-2-7440-7225-3.

Algèbre 1, Mathématiques Générales du semestre 3

Éléments sur les groupes. Étude des groupes abéliens finis. Éléments d’algèbre bilinéaire en dimension finie. Réduction des endomorphismes.

Contenu :

• Structure de groupe
• Sous-groupe engendré
• Groupes cycliques
• L’anneau Z/nZ
• Quotient d’un groupe abélien par un sous-groupe
• Décomposition des groupes abéliens finis en facteurs invariants
• Décomposition des groupes abéliens finis en composantes primaires
• Dualité en dimension finie
• Formes bilinéaires
• Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
• Noyau et rang d’une forme quadratique
• Algorithme de Gauss pour les formes quadratiques
• Signature d’une forme quadratique réelle
• Polynômes d’endomorphismes
• Sous-espaces caractéristiques d’un endomorphisme
• Décomposition D+N lorsque le polynôme caractéristique est scindé

Comprendre et savoir utiliser des concepts algébriques
maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques
concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse
expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques

1/3 CM, 2/3 TD, contrôle continu et examen final.

Tout livre de premier cycle universitaire sur le sujet, par exemple la première et la dernière référence ci-dessous.

• Guy Auliac, Jean Delcourt, Rémy Goblot : Mathématiques. Algèbre et géométrie, éditions Ediscience
• Serge Lang : Algebra, éditions Addison Wesley. Une référence générale pour l’algèbre, trop complète pour le cadre de cette U.E.
• Lionel Schwartz : Mathématiques pour la licence. Algèbre, éditions Dunod

Potentiel électrostatique charge ponctuelle, distribution de charges

Théorème de Gauss, Théorème de Coulomb

Définition du champ magnétique, force de Lorentz, force de Laplce

Loi de Laplace, loi de Biot et Savart, théorème d'Ampère

Etude des phénomènes électrostatiques à travers l'étude des charges électriques ponctuelles, des distributions continues de charge et par l'utilisation du théorème de Gauss.

Etude des phénomènes magnétostatiques, par l'étude de la force de Laplace, par la loi de Biot et Savart et par l'application du théorème d'Ampère

Cours en amphi, TDs, TPs

Induction
Equations de maxwell
Notion de polarisation électrique, définition des courant liés à la polarisation électrique et des courants liés aux charges libres d'un milieu
Equation de propagation dans le vide et dans un milieu matériel (conducteur ou diélectrique)
Résolution de l'équation de propagation
Expression du champ électrique dans le vide et dans un milieu matériel
Relation de dispersion
Définition la constante diélectrique et de l'indice d'un milieu

Comprendre la propagation d'une onde électromagnétique dans le vide et dans un milieu matériel (diélectrique, conducteur...). Trouver l'équation de propagation d'une onde à partir des équations de Maxwell et retrouver la forme du champ électrique dans le vide ou dans le milieu matériel. Savoir trouver la relation de dispersion du milieu. Définir l'indice d'un milieu.

Déterminer l'équation de propagation d'une onde à partir des équations de Maxwell en fonction des caractéristiques du milieu de propagation. De déduire l'expression du champ électrique et les caractéristiques de la propagation (vitesse de l'onde, absorption...) dans ce milieu. Savoir déterminer les champs électromoteurs d’induction pour calculer la force électromotrice et le courant induit dans un circuit et savoir les retrouver par la loi de Faraday. Savoir interpréter le sens du courant induit par la loi de Lenz.

cours en amphi, TDs, TPs

Mécanique du point dans un référentiel Galiléen

mécanique céleste (problèmes à 2 corps)
référentiels non-galiléens : forces d'inertie d'entrainement, de Coriolis
cinématique sphérique
notions de relativité

Analyser le mouvement d'un point matériel dans un référentiel en mouvement et/ou non Galiléen. Comprendre la notion de relativité du mouvement. Comprendre la notion de force d'inertie.

Définir un référentiel non galiléen Décrire le mouvement d'un point matériel dans un référentiel en mouvement par rapport à un autre et dans un référentiel non Galiléen Calculer la vitesse et l'accélération d'un point dans divers types de référentiels Exprimer les forces d'entrainement et de Coriolis.

Cours en amphi, TDs, TPs

Liaisons
Cinématique des points et des vecteurs, cinématique des solides, composition des mouvements
Cinétique: géométrie des masses
Torseurs (statique, cinématique, cinétique, dynamique)
Principe fondamental de la dynamique
Energie, puissance, travail
Théorème de l'énergie cinétique

Pouvoir mettre en équation un problème de dynamique des solides, dynamique des systèmes multi-corps.
L'accent sera mis sur le lien entre les différents torseurs présentés ainsi que leur utilisation (e.g. calcul de l'énergie cinétique d'un système)
Savoir appliquer différents principes pour établir les équations de la dynamique.

Cours en amphi, TDs, TPs

Rappels d’électrocinétique et nouvelles notions

Les composants de base (R, L et C).
Régime harmonique et impédances complexes.
Les filtres RC, RL et les diagrammes de Bode.
Etude du régime transitoire et du régime permanent d’un montage électronique.
Puissance apparente et puissance complexe en régime harmonique
Adaptation en puissance
Analyse des quadripôles à l’aide des paramètres impédance

L’électronique par blocs fonctionnels

Introduction aux différents blocs fonctionnels : Convertir l’énergie – Alimenter – Amplifier – Interfacer – Numériser - Filtrer.
Exemples de montages et étude des blocs fonctionnels.
L’amplification comme un bloc fonctionnel
Le filtrage comme un bloc fonctionnel : filtres passe-bande / coupe-bande / passe-bas et passe-haut.

Composants non linéaires – Exemple de la diode (2h)

Introduction sur la non-linéarité.
La diode à jonction PN.
Caractéristique Courant / Tension de la diode – Formule de Shockley.
Modélisation d’une diode – Linéarisation par morceaux.
La diode en régime dynamique – Linéarisation pour les petits signaux.
Application des diodes en régime de commutation - Conversion du courant alternatif en continu – Le redressement simple et double alternance.

Étude d’un composant actif : l’amplificateur opérationnel

Caractéristiques d’un amplificateur opérationnel.
L’amplificateur opérationnel parfait en régime linéaire et contre-réaction.
Utilisation de l’entrée non inverseuse.
Utilisation de l’entrée inverseuse.
L’amplificateur opérationnel en régime de saturation

Filtres actifs.

Générateur de fonctions

L'objectif est d'introduire un certain nombre de fonctions de bases de l'électronique pour que l’étudiant dépasse l’approche par composants. Le cours sera illustré par des exemples d'utilisation de l'électronique de la vie courante

 Analyser un montage électronique par blocs fonctionnels, Analyser les blocs fonctionnels par une approche « composants ».

COurs en amphi, TDs, TPs

Communication par oral et par écrit, de manière rigoureuse et adaptée en anglais
Documentation en anglais
Ecrire et parler à un niveau B.

Compréhension écrite et orale de l’anglais scientifique

Capacité à communiquer par oral et par écrit, de manière rigoureuse et adaptée en anglais.
Une aptitude à se documenter dans au moins une langue étrangère, prioritairement anglaise et une capacité à l’écrire et à la parler à un niveau B.

L1 de mathématiques
Compétences de base en informatique (ouvrir une session de travail, enregistrer des fichiers, etc.)

Le but de ce module est d’apprendre à utiliser l’ordinateur pour résoudre certains problèmes mathématiques. Cette UE se concentre sur le calcul scientifique (approché), qui permet de résoudre un certain nombre de problèmes abstraits ou concrets. On s'intéresse en particulier à la résolution approchée d'équations non linéaires, au calcul approché d'intégrales ou encore à la résolution numérique des équations différentielles.
Ce travail se fait grâce à un logiciel/langage de calcul scientifique (scilab, octave ou python)
Pendant le semestre, on présentera l’intérêt et l’efficacité des Mathématiques Assistées par Ordinateur mais aussi ses limites et ses pièges.

Programmation de méthodes de résolution d'équations non linéaires (méthodes de dichotomie, sécante, Newton)
Programmation de méthodes de calcul d'intégrales (rectangles, Simpson, ...)
Programmation de méthodes de résolution de systèmes d'équations différentielles (Euler, Runge-Kutta, ...)
Capacité à choisir les paramètres d'entrée des fonctions et à les ajuster aux besoins
Capacité à pouvoir critiquer / commenter la qualité du résultat obtenu, en maitrisant les limites des différentes méthodes.
Compétences de base de programmation en calcul scientifique (Python ou Scilab/Octave)

Cours/TP d'informatique, contrôle continu et examen final.

De nombreurx ouvrages sont disponibles à la bibliothèque universitaire sur l’ensemble des notions enseignées. On peut conseiller par exemple : -

• Analyse 1ère année, Analyse 2ème année, algèbre 1ère année, algèbre et géométrie 2ème année, F. Liret, D.Martinais, aux éditions Dunod.Mathématiques, tout-en-un pour la licence (niveau L1 et L2) sous la direction de J.P. Ramis et André Wa-rusfel, éditions Dunod.

Présentation du langage informatique utilisé dans le module (Python3 préconisé). Introduction des types numériques (flottant, entier et types associés) ainsi que les opérateurs, fonctions et/ou méthodes associés. Introduction aux tests et aux boucles Introduction aux structures de données complexes (qui seront utilisés dans le module) ainsi que les opérateurs, fonctions et/ou méthodes associés. (A priori, il faudra au minimum, introduire une structure du type liste/tableau ou équivalents ainsi que les chaînes de caractères.) Notion de fonction Introduction (par l'intermédiaire des travaux pratiques) de modules/bibliothèques qui pourront être utilisées pour les méthodes numériques

Dans un premier temps, présentation d'un langage et de ses spécificités (cours) et apprentissage du langage par l’intermédiaire d'exercices simples (TD).
Dans un second temps, initiation à la programmation (TP) par l'intermédiaire de problèmes plus longs traitant de sujets d'algorithmique/méthodes numériques variés (pouvant aller de la représentation des nombres, au calcul de surfaces en passant par le tri de listes).

 Lire un programme simple et comprendre ce qu'il fait. Pouvoir écrire un programme simple à partir d'un algorithme fourni. Comprendre un message d'erreur (compilateur/interpréteur). Retrouver une erreur dans un programme. Compléter/modifier un programme simple pour réaliser une tache prédéfinie. Se familiariser à la notion d'algorithme. Décomposer une tache en opérations élémentaires réalisables par un ordinateur. A partir d'un problème numérique simple, comprendre les taches que l'ordinateur devra réaliser pour trouver une solution à ce problème.