M1 Parcours Jacques Hadamard - site ENS Paris-Saclay

Cours d'algèbre L3

Le cours s'articule autour des thèmes suivants:

1. Anneaux commutatifs: anneaux noetheriens, principaux, factoriels, localisation des anneaux,
2. Modules sur un anneau commutatif: classification sur un anneau principal, produit tensoriel.
3. théorie des corps: corps de rupture, corps de décomposition, éléments primitif.
4. théorie de Galois: correspondance de Galois, contruction à la règles et au compas, radicaux.

Intégration niveau L3, topologie et calcul différentiel niveau L3

Le cours s'articule autour des chpitres suivants:

1. Théorème de Baire, Théorème de Banach (théorème de Banach-Steinhaus, théorème du graphe fermé, prolongement des applications linéaires sur un sous-espace dense), convergence faible et théorème de Hahn-Banach,
2. Espaces de Hilbert: projection orthogonale, théorème de Riesz et théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints,
3. Espaces L^p, produit de convolution, dualité,
4. Distribution en dimension 1: premières propriétés et espaces de Sobolev,
5. Solutions findamentales et théorèmes de régularité,
6. Intégrale de surface, formule des sauts.

Mesure et intégration L3

1. Espace de probabilité, variables aléatoires, distribution. Théorème de classe monotone.
2. Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli.
3. Convergence presque sûre, en probabilités, Lp. Convergence en loi, Théorème de P. Levy. Théorèmes limites : Loi forte des grandes nombres et théorème de la limite centrale. Vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires. Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires.
4. Espérances conditionnelles
5. Modèles de Galton-Watson
6. Chaîne de Markov associée à temps et espace discrets. Propriété de Markov forte. Théorie du potentiel. Récurrence et transience.
7. Martingales, sur martingales (à temps discret), inégalités de Doob. Théorème d'arrêt, théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp

Analyse de Fourier, Probabilités discrètes

En 1948, Claude Shannon pose les bases d’une théorie de l’information qui est aujourd’hui l’un des piliers du monde numérique dans lequel nous évoluons. En formalisant le concept d’information et en proposant une représentation binaire des signaux, sa théorie a permis de définir des limites théoriques pour la compression et la transmission sans pertes de l’information. Ces avancées mathématiques majeures trouvent des répercussions actuelles en télécommunications et traitement du signal, mais également en compression et en cryptographie.

1. Théorie du signal
2. Théorie de l'information
3. Codage source
4. Codage canal

• Introduire les fondements de la théorie du signal et de l’information.
• Présenter les principes de l’échantillonnage, de la quantification et du codage.
• Expliquer les théorèmes fondamentaux de Shannon et leurs applications en communication numérique.

2h de cours et 2h de TD  par semaine

• Représenter et traiter des signaux analogiques et numériques.
• Utiliser les notions d’entropie, d’information mutuelle et de capacité de canal.
• Appliquer les théorèmes de Shannon au codage source et au codage canal.
• Concevoir et analyser des codes de compression et de correction d’erreurs.

• Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. The Bell system technical journal, 27(3), 379-423.
• Cover, T. M. (1999). Elements of information theory. John Wiley & Sons.
• MacKay, D. J. (2003). Information theory, inference and learning algorithms. Cambridge university press.

Calcul différentiel, analyse.

Ce cours est une introduction à l'optimisation destiné à fournir un bagage minimal (et un peu plus!) à tout futur mathématicien. Il traite à la fois des problèmes en dimension finie et infinie et couvre un certain nombre de concepts essentiels, depuis l'optimisation sans contrainte jusqu'aux problèmes à contraintes égalités et/ou inégalités ainsi que le point de vue important de la dualité pour les problèmes convexes. 

1.  Premiers éléments d'optimisation.
2. Méthodes de descentes, gradient à pas optimal.
3. Méthodes de Newton et quasi-Newton.
4. Optimisation sous contraintes d'égalité.
5. Optimisation sous contraintes mixtes.
6. Dualité pour les problèmes convexe.
7. Algorithmes proximaux.
8. Topologie faible sur les Hilbert.

• Présenter les notions fondamentales de convexité et de conditions d’optimalité.
• Étudier et comparer les principales méthodes numériques de résolution en optimisation lisse et convexe.
• Introduire les outils théoriques pour l’optimisation sous contraintes et la dualité.
• Familiariser l’étudiant avec les méthodes proximales et leurs applications.
• Donner une compréhension des résultats d’existence et de convergence dans les espaces de Hilbert.

2h de cours par semaine 2h de TD ou TP par semaine.

• Modéliser et analyser des problèmes d’optimisation convexe.
• Appliquer et comparer les principales méthodes numériques d’optimisation.
• Utiliser les conditions d’optimalité et de dualité pour traiter des problèmes sous contraintes.
• Mettre en œuvre des algorithmes proximaux pour l’optimisation convexe avancée.

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Probabilités (L3)

La compréhension de nombreux phénomènes complexes et la prise de décision dans un nombre grandissant de domaines de la science, des politiques publiques , de l’industrie et plus généralement de la société passent par l’acquisition de données. Oui, mais que faire ensuite ? Une approche très fertile – au cœur de la statistique mathématique – est de s’appuyer sur le langage des probabilités pour décrire des propriétés structurelles des données puis de s’attaquer au difficile problème de l’estimation des modèles et/ou de la prise de décision. Ce cours se veut une introduction à cette approche autour du paradigme de la statistique classique développée autour de la figure de Ronald Fisher et reposant sur le présupposé de l’existence d’un modèle paramétrique capturant l’ensemble des dépendances stochastiques entre les variables observées qu’il s’agit d’estimer et de tester. 

• Introduction au paradigme de Fisher (exemples, modèles exponentiels)
• Méthodes d’estimation paramétrique (moments, minimisation de contraste, théorème de Wald, estimateur du maximum de vraisemblance)
• Modèles linéaires gaussiens (vecteurs gaussiens, Théorème de Cochran)
• Optimalité des estimateurs (Information de Fisher et borne de Cramer-Rao, efficacité asymptotique, cadre bayésien et estimateurs minimax)
• Tests d’hypothèses (Test d’hypothèses simples et Théorème de Neyman-Pearson, Tests d’hypothèses composites et intervalles de confiance, Tests multiples et contrôle du False Discovery Rate, Tests d’ajustement)

• Traduire des données en modèle statistique pertinent dans un cadre mathématique précis.
• Choisir, dériver, comparer des estimateurs et établir leurs propriétés en lien avec la théorie de l’information
• Concevoir et interpréter des tests d’hypothèses et de intervalles de confiance.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

• Décrire des données à l’aide de modèles paramétriques et maîtriser les concepts mathématiques sous-jacents
• Estimer et analyser l’optimalité des estimateurs
• Adopter un esprit critique (hypothèses, diagnostics, sur-ajustement).

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

• Probabilités élémentaires
• Eléments de statistique inférentielle

La compréhension de nombreux phénomènes complexes et la prise de décision dans un nombre grandissant de domaines de la science, des politiques publiques , de l’industrie et plus généralement de la société passent par l’acquisition de données. Oui, mais que faire ensuite ? Une approche très fertile – au cœur de la statistique mathématique – est de s’appuyer sur le langage des probabilités pour décrire des propriétés structurelles des données puis de s’attaquer au difficile problème de l’estimation des modèles et/ou de la prise de décision. Ce cours se veut une introduction à cette approche autour des idées de Vladimir Vapnik, qui renonce à la possibilité d’une modélisation exhaustive des données pour se focaliser sur le problème de la décision vue comme l’apprentissage d’une dépendance fonctionnelle entre deux variables à partir d’exemples et d’une classe plus ou moins riche de modèles approximatifs de cette dépendance.

• Poser un problème d’apprentissage supervisé comme un problème d’optimisation.
• Fournir des garanties théoriques à des principes d’apprentissage.

2h de cours et 2h de TD ou TP par semaine.

• Mise en place d’un cadre probabiliste pour l’étude des principes d’apprentissage
• Preuves d’optimalité et de consistance de M-estimateurs basés sur la minimisation d’une fonctionnelle
• Utilisation de techniques avancées pour établir des garanties non-asymptotiques : processus empiriques, inégalités de concentration, complexités d’apprentissage (métriques, combinatoires, géométriques).

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Topologie, Espaces de Hilbert, Intégration

Ce cours est une introduction à l'analyse fonctionnelle, et présentera un certain nombre de résultats fondateurs : théorèmes de point fixe (Picard, Brouwer) et autres conséquences classiques de la complétude et de la compacité, dualité et topologie faible, espaces de Sobolev. Une sélection d'exemples illustrent leurs applications. Le cours se conçoit comme une base solide pour ceux qui se destinent à étudier l'analyse ou l'analyse numérique, et pourra également intéresser les candidats à l'agrégation.

• Présenter et appliquer les grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle (Baire, Banach–Steinhaus, Hahn–Banach, compacité, points fixes).
• Relier ces outils aux espaces de Sobolev et à la formulation faible des équations aux dérivées partielles.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

• Manipuler les concepts de continuité, complétude, compacité et convexité.
• Utiliser les principaux théorèmes fonctionnels pour l’étude des opérateurs entre espaces de Banach ou de Fréchet.
• Mettre en œuvre les espaces de Sobolev et les injections associées pour formuler et analyser des problèmes d’EDP, en particulier le problème de Poisson.

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Calcul différentiel, Algèbre linéaire, EDO

Le cours est en 2 partie : la première partie porte sur les courbes et surfaces, et la
deuxième sur la géométrie riemannienne générale. Les leçons sont aussi indépendantes
que possible, et dans chaque leçon on annonce et on démontre un résultat célèbre.

C’est un cours de géométrie différentielle guidée par les méthodes variationnelles. Tout
commence par la définition de la droite comme la trajectoire la plus courte entre deux
points. En écrivant la longueur de la trajectoire comme une intégrale, on voit apparaître la
courbure comme la première variation de cette intégrale. Au cours des séances, d’autres
notions géométriques sont introduites par des critères variationnels, jusqu’à la dernière
séance, où l’on retrouve l’équation de gravitation d’Einstein par minimisation de l’action
de Hilbert.

1. Courbes et surfaces
2. Géométrie intrinsèque des surfaces
3. Variétés, champs, et formes différentielles
4. Géométrie riemannienne
5. EDP géométriques

• Introduire les méthodes variationnelles comme outil central en géométrie et en phy-
  sique théorique.
• Montrer comment des notions fondamentales (géodésiques, courbure, équations dif-
  férentielles) émergent naturellement de principes de minimisation.
• Développer la compréhension du lien entre structures géométriques et phénomènes
  physiques.
• Conduire progressivement à la formulation variationnelle de la relativité générale et
  à la dérivation de l’équation de gravitation d’Einstein

• Maîtriser les méthodes variationnelles appliquées à la géométrie et à la physique.
• Caractériser les géodésiques et relier la notion de courbure à des principes variationnels.
• Utiliser les outils géométriques nécessaires à la modélisation de l’espace-temps.
• Expliquer et dériver l’équation de la gravitation d’Einstein à partir de l’action de
  Hilbert.

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Python, EDO, Algèbre linéaire

Ce cours présente un panorama des outils classiques pour la conception et l'étude des schémas de discrétisation servant à la résolution numériques des équations aux dérivées partielles.

Problèmes statiques ou d'évolution, linéaires ou non-linéaires, utilisation d'une grille cartésienne ou d'un maillage non-structuré, analyse via un principe de monotonie ou une formulation variationnelle. Ces différentes alternatives seront illustrées par des exemples simples, issus de la théorie mathématique du traitement de l'image, du contrôle optimal, ou de la simulation de systèmes physiques. Le temps d'enseignement sera divisé à part égales entre des cours théoriques et des séances de travaux pratiques dédiées à l'implémentation informatique des schémas numériques étudiés.

1. L'équation de Poisson et ses versions discrètes.
2. Le semigroupe gaussien et son générateur infinitésimal.
3. L'équation eikonale.
4. Maillages non-structurés.
5. Formulations variationnelles et optimisation.

• Présenter les principales méthodes de discrétisation pour la résolution numérique d’EDP.
• Comparer différentes approches numériques
• Relier la théorie mathématique à des applications concrètes (traitement d’image, simulation physique, contrôle optimal,… ).
• Développer des compétences pratiques en implémentation de schémas numériques.

2h de cours et 2h de TP par semaine

• Modéliser un phénomène complexe
• Concevoir et analyser mathématiquement des schémas numériques adaptés
• Illustrer les principes fondamentaux des EDPs
• Utiliser des outils numériques de simulation et de visualisation

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Avril - Mai - Juin - Juillet.

• Participer à un projet de recherche en mathématiques. 
• Découvrir l'activité de recherche.
• Produire un travail personnel et original éventuellement modeste sans se limiter à la seule lecture d'articles ou la seule résolution d'exercices.

13 semaines : 1 soutenance sur place, 1 mémoire, 1 soutenance pré-enregistrée de 12 minutes

• Se documenter et résumer l'état des connaissances actuelles concernant un problème mathématique.
• Développer son intuition mathématique, formuler des conjectures, en vérifier la pertinence et les confronter à l'état des connaissances actuelles. 
• Concevoir et construire de façon autonome une preuve mathématique rigoureuse.
• Maîtriser des outils numériques et langages de programmation de référence
• Communiquer ses résultats de recherche. Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline. Structurer un exposé oral mettant en avant l'état de l'art, le travail original produit, les techniques mathématiques utilisées.

Il est requis des connaissances en programmation sous python ou matlab ou scilab ou R.

Dans ce cours, nous étudierons des exemples de systèmes dynamiques multi-échelles dont l'évolution en temps et les domaines de stabilité - instabilité gouvernent les propriétés qualitatives des solutions. Ces exemples seront pris dans de nombreux domaines d'application comme la combustion, la mécanique des fluides, la dynamique des populations, la dynamique chimique non-linéaire ou le génie biomédical, que l'on rassemble sous le vocable de « milieux réactifs ».

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont fournis sur la page web du cours.

Les étudiants ont la possibilité de choisir une UE d'un M1 ou d'un M2 de la mention mathématiques et applications ou d'un M1 d'une autre mention de l'Université Paris-Saclay sous réserve qu'elle ne soit pas proposée dans le M1, qu'elle soit cohérente avec le cursus doctoral envisagé et qu'elle soit acceptée dans le contrat pédagogique par le responsable pédagogique.

Analyse de Fourier, Probabilités discrètes

En 1948, Claude Shannon pose les bases d’une théorie de l’information qui est aujourd’hui l’un des piliers du monde numérique dans lequel nous évoluons. En formalisant le concept d’information et en proposant une représentation binaire des signaux, sa théorie a permis de définir des limites théoriques pour la compression et la transmission sans pertes de l’information. Ces avancées mathématiques majeures trouvent des répercussions actuelles en télécommunications et traitement du signal, mais également en compression et en cryptographie.

1. Théorie du signal
2. Théorie de l'information
3. Codage source
4. Codage canal

• Introduire les fondements de la théorie du signal et de l’information.
• Présenter les principes de l’échantillonnage, de la quantification et du codage.
• Expliquer les théorèmes fondamentaux de Shannon et leurs applications en communication numérique.

2h de cours et 2h de TD  par semaine

• Représenter et traiter des signaux analogiques et numériques.
• Utiliser les notions d’entropie, d’information mutuelle et de capacité de canal.
• Appliquer les théorèmes de Shannon au codage source et au codage canal.
• Concevoir et analyser des codes de compression et de correction d’erreurs.

• Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. The Bell system technical journal, 27(3), 379-423.
• Cover, T. M. (1999). Elements of information theory. John Wiley & Sons.
• MacKay, D. J. (2003). Information theory, inference and learning algorithms. Cambridge university press.

Calcul différentiel, analyse.

Ce cours est une introduction à l'optimisation destiné à fournir un bagage minimal (et un peu plus!) à tout futur mathématicien. Il traite à la fois des problèmes en dimension finie et infinie et couvre un certain nombre de concepts essentiels, depuis l'optimisation sans contrainte jusqu'aux problèmes à contraintes égalités et/ou inégalités ainsi que le point de vue important de la dualité pour les problèmes convexes. 

1.  Premiers éléments d'optimisation.
2. Méthodes de descentes, gradient à pas optimal.
3. Méthodes de Newton et quasi-Newton.
4. Optimisation sous contraintes d'égalité.
5. Optimisation sous contraintes mixtes.
6. Dualité pour les problèmes convexe.
7. Algorithmes proximaux.
8. Topologie faible sur les Hilbert.

• Présenter les notions fondamentales de convexité et de conditions d’optimalité.
• Étudier et comparer les principales méthodes numériques de résolution en optimisation lisse et convexe.
• Introduire les outils théoriques pour l’optimisation sous contraintes et la dualité.
• Familiariser l’étudiant avec les méthodes proximales et leurs applications.
• Donner une compréhension des résultats d’existence et de convergence dans les espaces de Hilbert.

2h de cours par semaine 2h de TD ou TP par semaine.

• Modéliser et analyser des problèmes d’optimisation convexe.
• Appliquer et comparer les principales méthodes numériques d’optimisation.
• Utiliser les conditions d’optimalité et de dualité pour traiter des problèmes sous contraintes.
• Mettre en œuvre des algorithmes proximaux pour l’optimisation convexe avancée.

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Les étudiants auront la possibilité de choisir une UE d'un M1 ou d'un M2 de la mention mathématiques et applications ou d'un M1 d'une autre mention de l'Université Paris-Saclay sous réserve qu'elle ne soit pas proposée dans le M1, qu'elle soit cohérente avec le cursus doctoral envisagé et qu'elle soit acceptée dans le contrat pédagogique par le responsable pédagogique.

Topologie, équivalence d'homotopie, homologie simpliciale et singulière, groupe fondamental, théorie des catégories

Etudier des invariants des espaces topologiques, en particulier l'homologie

2h de cours et
2h de TD par semestre

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Probabilités (L3)

La compréhension de nombreux phénomènes complexes et la prise de décision dans un nombre grandissant de domaines de la science, des politiques publiques , de l’industrie et plus généralement de la société passent par l’acquisition de données. Oui, mais que faire ensuite ? Une approche très fertile – au cœur de la statistique mathématique – est de s’appuyer sur le langage des probabilités pour décrire des propriétés structurelles des données puis de s’attaquer au difficile problème de l’estimation des modèles et/ou de la prise de décision. Ce cours se veut une introduction à cette approche autour du paradigme de la statistique classique développée autour de la figure de Ronald Fisher et reposant sur le présupposé de l’existence d’un modèle paramétrique capturant l’ensemble des dépendances stochastiques entre les variables observées qu’il s’agit d’estimer et de tester. 

• Introduction au paradigme de Fisher (exemples, modèles exponentiels)
• Méthodes d’estimation paramétrique (moments, minimisation de contraste, théorème de Wald, estimateur du maximum de vraisemblance)
• Modèles linéaires gaussiens (vecteurs gaussiens, Théorème de Cochran)
• Optimalité des estimateurs (Information de Fisher et borne de Cramer-Rao, efficacité asymptotique, cadre bayésien et estimateurs minimax)
• Tests d’hypothèses (Test d’hypothèses simples et Théorème de Neyman-Pearson, Tests d’hypothèses composites et intervalles de confiance, Tests multiples et contrôle du False Discovery Rate, Tests d’ajustement)

• Traduire des données en modèle statistique pertinent dans un cadre mathématique précis.
• Choisir, dériver, comparer des estimateurs et établir leurs propriétés en lien avec la théorie de l’information
• Concevoir et interpréter des tests d’hypothèses et de intervalles de confiance.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

• Décrire des données à l’aide de modèles paramétriques et maîtriser les concepts mathématiques sous-jacents
• Estimer et analyser l’optimalité des estimateurs
• Adopter un esprit critique (hypothèses, diagnostics, sur-ajustement).

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

• Probabilités élémentaires
• Eléments de statistique inférentielle

La compréhension de nombreux phénomènes complexes et la prise de décision dans un nombre grandissant de domaines de la science, des politiques publiques , de l’industrie et plus généralement de la société passent par l’acquisition de données. Oui, mais que faire ensuite ? Une approche très fertile – au cœur de la statistique mathématique – est de s’appuyer sur le langage des probabilités pour décrire des propriétés structurelles des données puis de s’attaquer au difficile problème de l’estimation des modèles et/ou de la prise de décision. Ce cours se veut une introduction à cette approche autour des idées de Vladimir Vapnik, qui renonce à la possibilité d’une modélisation exhaustive des données pour se focaliser sur le problème de la décision vue comme l’apprentissage d’une dépendance fonctionnelle entre deux variables à partir d’exemples et d’une classe plus ou moins riche de modèles approximatifs de cette dépendance.

• Poser un problème d’apprentissage supervisé comme un problème d’optimisation.
• Fournir des garanties théoriques à des principes d’apprentissage.

2h de cours et 2h de TD ou TP par semaine.

• Mise en place d’un cadre probabiliste pour l’étude des principes d’apprentissage
• Preuves d’optimalité et de consistance de M-estimateurs basés sur la minimisation d’une fonctionnelle
• Utilisation de techniques avancées pour établir des garanties non-asymptotiques : processus empiriques, inégalités de concentration, complexités d’apprentissage (métriques, combinatoires, géométriques).

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Notions de base de la topologie.

-Théorie ergodique
-Dynamique topologique
-Théorie des nombre
-Dynamique des homéomorphismes du cercle
-Dynamique des automorphismes hyperboliques linéaires du tore.

L’ambition de ce cours est de présenter les notions de bases de la théorie moderne des systèmes dynamiques en lien avec quelques questions de géométrie et de théorie des nombres.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Connaissances en probabilités.

Il s'agit de proposer :
-des modèles des systèmes et des phénomènes d'intérêt,
-des méthodes algorithmiques pour leur contrôle (idéalement décentralisé),
-des outils mathématiques pour l’analyse du comportement et de la performance de ces systèmes.

Ce cours a pour but de fournir des outils pour mieux appréhender les réseaux au sens large, allant des réseaux de communications qui sous-tendent l'Internet aux réseaux sociaux (en ligne ou non).

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées au fur et à mesure des thèmes abordés.

Groupes et anneaux

Quelques notions abordées : loi de réciprocité quadratique, géométrie des nombres de Minkowski, formes quadratiques binaires arithmétique des anneaux, corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d’idéaux, fonctions L, formules du nombre de classes et du nombre de genre.

La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation, unique des éléments comme produits d’éléments premiers.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Eléments d'analyse de Fourier et de la théorie des distributions.

• auto-adjonction, exemples et contre-exemples
• spectre
• théorie de Rellich-Kato et de Weyl
• formes quadratiques, théorèmes de Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs
• théorème spectral et calcul fonctionnel
• équation de Schrödinger
• opérateurs de Schrödinger pour une particule, oscillateur harmonique, atome d'hydrogène
• propriétés spectrales des opérateurs décrivant plusieurs particules, atomes et molécules.

Dans ce cours, nous verrons les bases de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie, et nous donnerons quelques applications choisies à la mécanique quantique, avec une attention particulière aux opérateurs décrivant les atomes et les molécules.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Topologie, Espaces de Hilbert, Intégration

Ce cours est une introduction à l'analyse fonctionnelle, et présentera un certain nombre de résultats fondateurs : théorèmes de point fixe (Picard, Brouwer) et autres conséquences classiques de la complétude et de la compacité, dualité et topologie faible, espaces de Sobolev. Une sélection d'exemples illustrent leurs applications. Le cours se conçoit comme une base solide pour ceux qui se destinent à étudier l'analyse ou l'analyse numérique, et pourra également intéresser les candidats à l'agrégation.

• Présenter et appliquer les grands théorèmes de l’analyse fonctionnelle (Baire, Banach–Steinhaus, Hahn–Banach, compacité, points fixes).
• Relier ces outils aux espaces de Sobolev et à la formulation faible des équations aux dérivées partielles.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

• Manipuler les concepts de continuité, complétude, compacité et convexité.
• Utiliser les principaux théorèmes fonctionnels pour l’étude des opérateurs entre espaces de Banach ou de Fréchet.
• Mettre en œuvre les espaces de Sobolev et les injections associées pour formuler et analyser des problèmes d’EDP, en particulier le problème de Poisson.

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Groupes, anneaux, modules et représentations.

• théorie générale des représentations des groupes compacts ;
• classification précise des représentations irréductibles de deux groupes compacts non abéliens ;
• applications à la théorie des représentations des groupes non compacts ;
• théorie des groupes et des algèbres de Lie vus comme outil pour la théorie des représentations ;
• groupes de Lie compacts.

L’étude des groupes de matrices compacts permet à la fois d’illustrer la théorie générale mais également de la raffiner en obtenant une classification complète des représentations irréductibles. Cette théorie est centrale aussi bien en arithmétique (via les représentations automorphes et le programme de Langlands) qu’en physique.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Il est requis des connaissances en programmation sous python ou matlab ou scilab ou R.

L'objectif de ce cours est de présenter des méthodes mathématiques permettant de modéliser, de caractériser et d'analyser les incertitudes dans des simulations numériques.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées au fur et à mesure des thèmes abordés.

Calcul différentiel, Algèbre linéaire, EDO

Le cours est en 2 partie : la première partie porte sur les courbes et surfaces, et la
deuxième sur la géométrie riemannienne générale. Les leçons sont aussi indépendantes
que possible, et dans chaque leçon on annonce et on démontre un résultat célèbre.

C’est un cours de géométrie différentielle guidée par les méthodes variationnelles. Tout
commence par la définition de la droite comme la trajectoire la plus courte entre deux
points. En écrivant la longueur de la trajectoire comme une intégrale, on voit apparaître la
courbure comme la première variation de cette intégrale. Au cours des séances, d’autres
notions géométriques sont introduites par des critères variationnels, jusqu’à la dernière
séance, où l’on retrouve l’équation de gravitation d’Einstein par minimisation de l’action
de Hilbert.

1. Courbes et surfaces
2. Géométrie intrinsèque des surfaces
3. Variétés, champs, et formes différentielles
4. Géométrie riemannienne
5. EDP géométriques

• Introduire les méthodes variationnelles comme outil central en géométrie et en phy-
  sique théorique.
• Montrer comment des notions fondamentales (géodésiques, courbure, équations dif-
  férentielles) émergent naturellement de principes de minimisation.
• Développer la compréhension du lien entre structures géométriques et phénomènes
  physiques.
• Conduire progressivement à la formulation variationnelle de la relativité générale et
  à la dérivation de l’équation de gravitation d’Einstein

• Maîtriser les méthodes variationnelles appliquées à la géométrie et à la physique.
• Caractériser les géodésiques et relier la notion de courbure à des principes variationnels.
• Utiliser les outils géométriques nécessaires à la modélisation de l’espace-temps.
• Expliquer et dériver l’équation de la gravitation d’Einstein à partir de l’action de
  Hilbert.

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Python, EDO, Algèbre linéaire

Ce cours présente un panorama des outils classiques pour la conception et l'étude des schémas de discrétisation servant à la résolution numériques des équations aux dérivées partielles.

Problèmes statiques ou d'évolution, linéaires ou non-linéaires, utilisation d'une grille cartésienne ou d'un maillage non-structuré, analyse via un principe de monotonie ou une formulation variationnelle. Ces différentes alternatives seront illustrées par des exemples simples, issus de la théorie mathématique du traitement de l'image, du contrôle optimal, ou de la simulation de systèmes physiques. Le temps d'enseignement sera divisé à part égales entre des cours théoriques et des séances de travaux pratiques dédiées à l'implémentation informatique des schémas numériques étudiés.

1. L'équation de Poisson et ses versions discrètes.
2. Le semigroupe gaussien et son générateur infinitésimal.
3. L'équation eikonale.
4. Maillages non-structurés.
5. Formulations variationnelles et optimisation.

• Présenter les principales méthodes de discrétisation pour la résolution numérique d’EDP.
• Comparer différentes approches numériques
• Relier la théorie mathématique à des applications concrètes (traitement d’image, simulation physique, contrôle optimal,… ).
• Développer des compétences pratiques en implémentation de schémas numériques.

2h de cours et 2h de TP par semaine

• Modéliser un phénomène complexe
• Concevoir et analyser mathématiquement des schémas numériques adaptés
• Illustrer les principes fondamentaux des EDPs
• Utiliser des outils numériques de simulation et de visualisation

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Le cours se divise en 2 parties : 1) Contrôle Optimal, 2) Assimilation de données. Les thèmes abordés sont

• Principe du Maximum de Pontryagyn, méthode de tir
• Programmation dynamique, Equations de Hamilton-Jacobi-Bellman (solutions de viscosité, méthodes numériques);
• Applications: Optimisation des trajectoires (véhicules autonomes, aérospatiale), biologie;
• Méthodes variationnelles et séquentielles vues du contrôle optimal;
• Ouverture vers le filtrage bayésien, l’estimation statistique;
• Applications: Monitorage en santé, écologie;

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

La  théorie des jeux vise à analyser des situations d'interactions stratégiques où plusieurs entités (agents, populations, entreprises, automates) sont porteuses de caractéristiques (actions, gènes, prix, codes) qui les affectent mutuellement : les caractéristiques et les choix des uns influencent les résultats de tous.

Le cours s'organise autour de résultats mathématiques fondamentaux et abstraits sur lesquels reposent la théorie des jeux. Nous étudierons plusieurs modèles pour introduire différentes situations d'interactions stratégiques ainsi que pour mettre en avant leur lien avec les résultats abstraits que nous aurons vus.

Le but du cours est de présenter certains outils mathématiques et résultats fondamentaux de la théorie des jeux avec des applications notamment en économie, learning, recherche opérationnelle ou encore en biologie.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

La modélisation des systèmes biologiques et écologiques est au coeur de nombreux enjeux scientifiques majeurs : biodiversité et évolution, santé, environnement et développement durable, propagation d’épidémies... 

Marches aléatoires, mouvement brownien et diffusions. Processus de Poisson, processus de naissance et mort,  processus de branchement. Modèles de Wright-Fisher, coalescent de Kingman.

Les systèmes vivants évoluent fondamentalement de manière aléatoire : déplacements, reproductions, prédations, mutations, contaminations....  Le cours développera les principaux modèles probabilistes en dynamique et génétique des populations : équations différentielles stochastiques, processus de sauts, coalescents. Il donnera les clefs de l’analyse en temps long de ces modèles  pour établir par exemple  la persistance, la coexistence  ou l’extinction de populations, et des phénomènes d’invasion ou de fixation. Il mettra aussi en évidence les différents changements d’échelles de temps et de taille  qui permettent de lier ces modèles ou de les approcher par des modèles plus simples à étudier, en particulier des équations différentielles déterministes.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique et à la géométrie arithmétique à travers l'exemple des courbes elliptiques, c'est-à-dire des courbes projectives planes non singulières définies par une équation de degré 3. Une propriété remarquable de ces courbes elliptiques est que leurs ensembles de points peuvent être munis d'une loi de groupe

La première partie du cours sera consacrée à la présentation du langage des variétés algébriques, plus précisément au théorème des zéros de Hilbert et à la géométrie projective. Quelques exemples du théorème d'intersection de Bezout seront étudiés. La seconde partie sera consacrée aux propriétés des courbes algébriques planes et plus particulièrement des courbes elliptiques.

2h de cours et 2h de TD par semaine.

Numerus clausus

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Topologie et Calcul différentiel L3

Voir l'onglet programme sur https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/fr/etudiants/masters/mathematiques-et-applications/m1/mathematiques-fondamentales/

M. do Carmo, « Differential Geometry of Curves & Surfaces », Dover, 2016.
C. Godbillon, « Éléments de topologie algébrique », Hermann, 1971.
J. Lafontaine, « Introduction aux variétés différentielles », Press. Univ. Grenoble, 1996.
J. W. Milnor, « Topology from the differentiable viewpoint », Univ. Press Virginia, 1965.
F. Paulin, « Introduction topologique à la géométrie », Cours de première année de
master (M1 MF+ VH), Université Paris-Saclay, 294 pages, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~frederic.paulin/notescours/liste_notescours.html

Les étudiants ont la possibilité de choisir une UE d'un M1 ou d'un M2 de la mention mathématiques et applications ou d'un M1 d'une autre mention de l'Université Paris-Saclay sous réserve qu'elle ne soit pas proposée dans le M1, qu'elle soit cohérente avec le cursus doctoral envisagé et qu'elle soit acceptée dans le contrat pédagogique par le responsable pédagogique.