M2 Analysis, Modeling, Simulation

Bonnes connaissances en analyse fonctionnelle, connaissances de base sur les équations aux dérivées partielles.

• Rappels d’analyse fonctionnelle (opérateurs, théorie spectrale, semi-groupes)
• Problèmes linéaires mal posés et régularisation par moindres carrés (notion de problème mal posé, régularisation de Tikhonov, principe de Morozov) ;
• Problèmes de complétion de données : exemples (problèmes de Cauchy du Laplacien, équation d’évolution avec données de Cauchy latérales, équation de la chaleur rétrograde, reconstruction d’une condition initiale pour l’équation des ondes) ;
• Prolongement unique et questions d’unicité/observabilité (théorème de Holmgren et inégalité de Carleman, méthode des multiplicateurs) ;
• Problèmes de complétion de données : méthodes de résolution (approches type quasiréversibilité, contrôle optimal et variante Kohn-Vogelius, estimation variationnelle pour les problèmes d’évolution et applications á l’équation des ondes et de la chaleur) ;
• Problèmes d’identification non linéaires : exemples, questions d’unicité (problème inverse de Robin, problèmes inverses géométriques)
• Problèmes d’identification non linéaires : méthode de résolution (contrôle optimal, initiation aux lignes de niveau et à la dérivée de forme).

Ce cours est une introduction aux problèmes inverses gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Les problèmes inverses surviennent dans de nombreux secteurs de l’industrie (contrôle non destructif, propection pétrolière, détection RADAR/SONAR,...) ou de la médecine (imagerie médicale, détection de tumeurs ou d’infarctus, assimilation de données des patients,...) ou des sciences environnementales (estimation météorologique ou climatique). Il s’agit de reconstruire des conditions aux limites (en espace et en temps) manquantes (problème de complétion de données) ou des caractéristiques du modèle (problème d’identification) dans une première zone géométrique (en général inaccessible) à partir de données surabondantes dans une seconde (accessible à la mesure). Ces problèmes inverses sont mal posés en général, les problèmes de complétion de données étant linéaires, les problèmes d’identification non-linéaires, d’où une distinction que nous faisons entre ces deux types de problème. Nous avons choisi pour décrire les problèmes inverses des outils communs avec ceux de la théorie du contrôle. Par ailleurs, on étudie principalement les aspects mathématiques, mais les méthodes proposées sont particulièrement adaptées à la résolution numérique, nécessaire à l’application concrète des méthodes de reconstruction.

A. Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer, 1996. J.-L. Lions, Contrôlabilité exacte Pertubations et Stabilité de systèmes distribués, Masson, 1988.

Le but de ce cours est de présenter quelques outils de base de l’analyse numérique des équations aux dérivés partielles. Nous aborderons la discrétisation des équations aux dérivés partielles par les méthodes des différences finies, des éléments finis et des volumes finis en dimension 2 d’espace, la mise en oeuvre de ces méthodes en Python et en Matlab, et certains aspects liés à cette mise en oeuvre, tels que la résolution de systèmes linéaires, le calcul de valeurs propres... Nous aborderons aussi quelques propriétés des solutions discrètes et des méthodes numériques : stabilité, consistance, ordre et convergence.

Intégration, calcul différentiel.

• Panorama des espaces de fonctions (C^k,L^p,L^{p,loc},L^{p,comp},S,C^∞(K)...) et de leurs topologies (espaces de Hilbert, de Banach, de Fréchet...)
• Espaces L^p (comme exemples d’espaces de Banach, théorèmes de Banach, dualité, réflexivité...)
• Distributions (espaces D′, E′, S′, dérivation, convolution...)
• Transformée de Fourier (sur S,S′,L^2, utilisation pour la résolution d’EDP)
• Espaces de Sobolev (espaces W^{k,p}(R^n), Hs(R^n), W^{k,p}(Ω), injections de Sobolev dans C^m et dans L^q, compacité, inégalité de Poincaré, théorèmes de trace, formule de Green-Stokes, résolution du problème de Dirichlet).

Le but de ce cours est de rappeler des bases d’analyse fonctionnelle (en se rattachant toujours à des exemples concrets) et d’outils pour les EDP. On conclura par une étude des espaces de Sobolev et de certaines de leurs propriétés importantes.

Bases d’analyse fonctionnelle, théorie des distributions, transformée de Fourier.

Ce cours présente la quantification semiclassique sur l’espace euclidien, qui débouche sur la construction d’une classe d’opérateurs linéaires différentiels ou pseudo-différentiels, dépendant d’un petit paramètre (le paramètre de Planck 0

Bases d'analyse fonctionnelle.

• Régularité pour les équations elliptiques linéaires : régularité L^p, régularité holdérienne, régularité pour les équations à coefficients L^∞.
• Point fixe de Schauder, applications aux équations elliptiques semi-linéaires. Lien avec le calcul des variations.
• Eléments de théorie des bifurcations
• Méthodes de monotonie, applications aux p-Laplacien.
• Introduction aux solutions de viscosité

• Modélisation de l’hydrodynamique : Modélisation des équations de l’hydrodynamique. Cas d’un fluide incompressible, newtonien, isotrope et homogène.
• Solutions classiques : Détermination des potentiels hydrostatique de Lorentz et hydrodynamique d’Oseen. Existence de solutions classiques des équations de Navier-Stokes (méthode des séries).
• Solutions mild : Existence de solutions au sens des distributions : méthode des itérations de Picard (théorie de Kato et Fujita).
• Solutions faibles : Existence de solutions au sens des distributions : inégalités d’énergie et méthodes de compacité (théorie de Leray).
• Critères de régularité (Serrin): On présentera les théorèmes classiques de Serrin : unicité fort-faible, régularité locale, critères de non-explosion.
• Discussion des cas stationnaires et auto-similaires.
• Théorème de Koch Tataru (données BMO−1).

Le cours propose une introduction au problème de Navier-Stokes sur l’espace tout entier. Il s’agit de trouver u définie sur [0, T] × R^3 à valeurs dans R^3 telle que — u est à divergence nulle ∇·u=0, — u vérifie l’équation aux dérivées partielles, ∂tu + (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f avec ν positif constant et f une force extérieure donnée. — u est solution du problème de Cauchy u(0, x) = u0(x)

Bases d’analyse fonctionnelle, de distributions et d’analyse de Fourier.

1. Rappels et compléments d’analyse harmonique
2. Etude des équations linéaires : existence, description en Fourier, estimations de Strichartz
3. Equations non linéaires via l’injection de Sobolev
4. Equations non linéaires via les estimations de Strichartz
5. Existence globale : utilisation des lois de conservation
6. Théorie de la diffusion pour l’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante
7. Existence d’ondes solitaires, stabilité, instabilité, blow-up pour l’équation de Schrödinger non linéaire focalisante

L’objectif de ce cours est d’introduire les étudiants aux Equations aux Dérivées Partielles Dispersives linéaires ou non-linéaires, et d’exhiber quelques comportements typiques des solutions : existence locale ou globale, dispersion, diffusion ou explosion. L’essentiel du cours sera consacré à un modèle simple, l’équation de Schrödinger.

Bases d'analyse fonctionnelle.

Le but de ce cours est de présenter les outils principaux de l’analyse spectrale des opérateurs autoadjoints non-bornés avec applications aux opérateurs différentiels. On introduira un calcul fonctionnel de tels opérateurs et une classification de leurs spectres, et on présentera des techniques permettant d’étudier les propriétés spectrales des opérateurs différentiels en fonctions de leurs coefficients : analyse des opérateurs compacts, principe variationnel, notions de la théorie des perturbations. Ensuite on appliquera ces techniques à l’étude des valeurs propres associées à certains problèmes aux limites.

Connaissances de mathématiques générales et d’équations aux dérivées partielles.

• Hyperbolicité des systèmes linéaires et non linéaires, motivation et exemples
• Analyse des équations scalaires non linéaires, entropies, théorème de Krushkov
• Analyse numérique des équations scalaires : schémas monotones
• Ondes simples pour les systèmes : ondes de détente et invariants de Riemann, ondes de choc et ensemble de Rankine-Hugoniot, discontinuités de contact
• Théoréme de Lax, résolution du problème de Riemann pour les systèmes non linéaires et application au système de la dynamique des gaz
• Méthode des volumes finis, schéma de Godunov
• Formalisme de Harten, Lax et van Leer, schémas de Godunov associés
• Méthodes de relaxation
• Aspects multidimensionnels, prise en compte des termes source et des conditions aux limites

Ce cours est consacré à l’analyse théorique et à l’approximation numérique par la méthode des volumes finis des solutions des systèmes hyperboliques linéaires et non linéaires.

E. Godlewski, P.A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws, Springer, New York (1996). E. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer, Berlin (1999). R. LeVeque, Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge University Press (2002). B. Després, F. Dubois, Systèmes hyperboliques de lois de conservation. Application à la dynamique des gaz, Editions de l’Ecole Polytechnique (2005). C. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, Springer, Berlin (2005).

Bases d’algèbre linéaire numérique, d’algorithmique et de programmation

Les deux premières séances se concentreront sur les outils pour la programmation et une introduction aux bases du C++

1. Prise en main des outils pour la programmation et compilation en C++ :

• Commandes de base du terminal,
• Gestion de versions du code,
• Utilisation de SSH,
• Compilation manuelle.

2. Base du C++ :

• Allocation dynamique et statique de tableau
• Pointeurs et références Le deuxième bloc de séances introduira des notions plus avancées du C++, à savoir la programmation orientée objet et la bibliothèque standard C++ (STL, standard template library)

1. Programmation orientée objet en C++ et automatisation de la compilation :

• Makefile et CMakefile
• classes, méthodes et opérateurs

2. Conteneurs, itérateurs et algorithmes de la STL :

• List, map, vector, . . .
• Algorithmes de tris, de modifications, . . . Enfin, le dernier bloc sera constitué d’un miniprojet en groupe qui utilisera les différentes notions introduites précédemment.

Ce cours introduit le langage C++ et les bonnes pratiques de la programmation pour les mathématiques appliquées dans un environnement Linux. Le C++ est un langage incontournable dans de nombreux domaines comme le calcul scientifique, mais aussi par exemple dans le jeu vidéo, la finance et la gestion de base de données. Ce sont notamment sa portabilité et ses performances qui lui permettent d’être un langage utilisé dans de nombreux contextes. L’objectif de ce cours est d’introduire des outils de base pour la programmation (environnement de développement, gestion de versions,. . . ), des compétences donc transverses qui seront appliquées à l’apprentissage des bases du C++ et à la mise en place d’un projet informatique collaboratif.

Cours de pré-rentrée en analyse fonctionnelle et analyse numérique.

• Postulats de la mécanique quantique et exemples.
• Simulation numérique de systèmes quantiques. Application à la liaison chimique.
• Méthodes de perturbation indépendante et dépendante du temps. Application à l’interaction rayonnement-matière.
• Mécanique quantique à N corps : approximations et applications.

La théorie quantique est un des accomplissements les plus remarquables de l’histoire des sciences, avec des applications allant de la physique la plus fondamentale (matière, rayonnement...) à la plus appliquée (électronique, calcul quantique...). D’un point de vue mathématique, c’est une théorie fascinante : elle est un terrain de jeux parfait pour l’application de théories mathématiques diverses, et a stimulé en retour le développement de nombreux domaines des mathématiques. L’objectif de ce cours est de présenter les bases mathématiques de la théorie quantique, ainsi que quelques méthodes asymptotiques et numériques permettant la résolution approchée de ses équations. Il comporte des aspects de modélisation (application de la mécanique quantique à la structure de la matière), d’analyse mathématique (structure des équations et développements asymptotiques), et d’analyse numérique (convergence de schémas). Il sera complété par des TP (en Python) où les étudiants construiront un simulateur de systèmes quantiques 1D et l’utiliseront pour aborder des phénomènes physiques réalistes (liaison chimique, spectres d’absorption) sur un modèle simple. Il n’est pas nécessaire d’avoir suivi un cours de mécanique quantique pour suivre ce cours. Les notions pertinentes de théorie spectrale seront données mais admises (elles font l’objet d’un cours séparé du master, qu’il est utile mais pas nécessaire de suivre pour suivre celui-ci).

Basics in probability and statistics

Among the deterministic algorithms, we will present the Nelder-Mead method, the trust-region NEWUOA algorithm as well as quasi-Newton techniques where the gradient is evaluated numerically. For the stochastic (or randomized) part we will present concepts ensuing from Evolution Strategies and Estimation of Distribution Algorithms, discussing step-size and covariance matrix adaptation techniques. We will in particular present the CMA-ES algorithm.

The course will cover theoretical aspects of the methods related to invariance, (linear) convergence as well as practical ones. The students will have the opportunity to implement or to use the implementation of certain algorithms, to learn how to recognize and to diagnose numerical problems and the failure of one algorithm as well as to identify the convergence type. We will also explain how to conduct (fair) performance assessment. In the last part we present concepts related to multiobjective optimization.

Challenging numerical optimization problems occur in many domains in industry, medicine, biology, physics, … The underlying functions can be non-convex, non-differentiable, non-smooth, ill-conditioned and noisy. Often, the gradient of the function is not available (or does not exist). In this context, derivative-free optimization techniques, also referred to as zero order black-box optimization techniques, are needed.

The objective of this lecture is to present the main deterministic and stochastic derivative-free optimization algorithms used nowadays.

Introduction to Derivative Free Optimization, A. Conn, K. Scheinberg et L. Vincente SIAM, 2009. Numerical optimization, theoretical and practical aspects : JF Bonnans, JC Gilbert, C. Lemaréchal, C. Sagastizbal, Springer Verlag 2003.

Analyse fonctionelle et numérique des EDPs, bases en probabilités.

• Propagation des ondes dans les tissus biologiques : présentation des équations et régimes asymptotiques associés
• Diffusion par des obstacles, formule de Kirchoff pour la rétropropagation, critère de Rayleigh et stabilité
• Physique multi-ondes :corrélations de phases et Doppler : imager les mouvements, effet thermoacoustique et applications à la photoacoustique

L’objectif de ce cours est de présenter des problèmes mathématiques récents apparaissant de façon transverse dans l’étude de techniques d’imagerie médicales reposant sur la physique des ondes. Nous commencerons par considérer différents régimes asymptotiques des équations d’ondes pour y mettre en évidence des paramètres physiologiques que l’on souhaite imager. Le problème de la diffusion d’une onde par un objet sera abordé via l’étude des équations intégrales associées. Nous introduirons ensuite des fonctionnelles de reconstruction d’images basées sur le principe de retropropagation. Une étude quantitative des performances (stabilité vis à vis de différents bruits, résolution. . . ) de ces fonctionnelles sera menée. Nous aborderons dans les deux dernières séances de cours comment il est possible de contourner les limites fondamentales de ces méthodes en utilisant de la physique multi-onde. Mathématiquement, ces méthodes d’imageries dites hybrides reposent sur la résolution d’une nouvelle classe de problèmes inverses basés sur des systèmes d’équations couplées. La deuxième moitié du cours sera consacrée à l’implémentation pratique de problèmes inverses liés aux méthodes d’imagerie sous forme de projets en binôme. L’évaluation consistera en une soutenance orale de ces projets.

H. Ammari, J. Garnier, H. Kang, L. H. Nguyen and L. Seppecher, Multi-Wave Medical Imaging : Mathematical Modelling and Imaging Reconstruction, World Scientific, London (2017). J. Garnier, Inverse problems and Imaging (2021).

Algorithmique, programmation parallèle (MPI), programmation en langage C (notions de C++).

• Evolution des architectures de calcul et des modèles de programmation
• Programmation en mémoire partagée à l’aide d’OpenMP
• Programmation en mémoire partagée à l’aide d’autres outils que OpenMP — Programmation hybride MPI+OpenMP — Programmation de cartes graphiques (GPU) pour le calcul scientifique y compris programmation hybride OpenMP-GPU et MPI-GPU

La course à la puissance des ordinateurs est désormais couplée avec une maîtrise de la consommation de l’énergie et l’impact environnemental. Désormais, les machines utilisées pour la simulation numérique sont souvent des supercalculateurs à plusieurs dizaines, centaines, voire milliers de processeurs multi cœurs, éventuellement couplés avec des accélérateurs. Ces nouvelles architectures amènent à repenser la façon dont les programmes de simulation sont écrits. Ainsi, on peut imaginer que l’utilisation de la seule bibliothèque MPI pourra être limitée par un trop grand nombre de tâches à gérer simultanément, et qu’il faut alors utiliser plusieurs niveaux de parallélisme. Le cours est organisé en séances de cours et d’applications pratiques au travers de TPs et permettra d’aborder les problématiques de la programmation hybride MPI+OpenMP ainsi que la programmation d’accélérateurs graphiques.

Bases d’analyse fonctionnelle et de méthodes variationnelles.

Ce cours est consacré à l’introduction des concepts de base de l’homogénéisation des matériaux ayant une micro-structure périodique. Lorsque la période de la microstructure est faible par rapport à la taille du matériau (par exemple, dans des mousses, des matériaux composites, etc.), la question est de savoir si on peut trouver un modèle effectif qui rend compte du comportement macroscopique de ce matériau. Nous nous concentrons dans le cours sur les modèles qui sont donnés par une équation aux dérivées partielles (EDP) avec des coefficients périodiques. D’un point de vue mathématique, les équations et leur solution sont paramétrées par la période et le problème est d’étudier la limite, si elle existe, de la famille de solutions, quand la période tend vers 0. Est ce que cette limite est solution d’une EDP limite ? Dans ce cas, les coefficients caractérisent alors le milieu effectif. Parmi les méthodes théoriques classiques utilisées pour étudier ce genre de problèmes, nous nous concentrons sur la méthode de développement multi-échelle et la convergence double-échelle. Ces deux méthodes donnent des résultats de différentes saveurs, heuristique ou rigoureuse, et arrivent à être très complémentaires. En effet, la méthode de développement multi-échelle fonctionne en postulant un Ansatz pour la solution : celle-ci se développerait comme une série où chacun des termes sont recherchés les uns après les autres. L’existence d ’un tel développement est possible sous certaines hypothèses sur les coefficients. D’autre part, la théorie de la convergence double-échelle de N’Guetseng et Allaire permet une approche complète et rigoureuse, sous des hypothèse beaucoup moins restrictives. Nous prévoyons également de fournir aux étudiants quelques éléments sur la Gamma convergence qui sont liés au sujet.

Analyse Hilbertienne, formulations variationnelles, analyse numérique élémentaire.

• Problème de diffraction, champs incident, total et diffracté, condition de rayonnement de Sommerfeld.
• Guides d’ondes, modes propagatifs et évanescents, condition de rayonnement modale.
• Approx. de la condition transparente par une condition de Robin, alternative de Fredholm, th. de Holmgren.
• Condition transparente dans les guides d’ondes, opérateur de DtN, principe d’absorption limite.
• Condition transparente de type DtN pour l’espace libre, alternative de Fredholm, théorème de Rellich.
• Cas de non-unicité, modes piégés dans les guides d’ondes, conditions DtN avec recouvrement.
• Opérateur DtN approché, estimation d’erreur en fonction du nombre de modes conservés.
• Formulation avec couches PML dans un guide d’ondes, alternative de Fredholm, estimation d’erreur en fonction de l’épaisseur des couches. PML radiales et cartésiennes pour l’espace libre.
• Mise en oeuvre des différentes méthodes dans le code XLiFE++.

On s’intéressera dans ce cours à la résolution de problèmes modélisant la diffraction d’une onde par un obstacle, en régime périodique établi. La difficulté principale est qu’un tel problème est posé dans un domaine non-borné, et que sa solution n’est pas de carré intégrable. On considèrera dans le cours à la fois l’exemple le plus typique d’un obstacle borné dans l’espace libre, et celui plus spécifique où l’obstacle est placé dans un guide d’ondes infini. Ces deux configurations ont leur intérêt du point de vue des applications, aussi bien en électromagnétisme qu’en acoustique. Le cas des guides d’ondes présente un intérêt pédagogique, parce que les calculs peuvent y être menés de façon simple, et que certains phénomènes exotiques s’y produisent. On montrera comment formuler les problèmes de diffraction dans un domaine de calcul borné, en écrivant sur la frontière artificielle une condition transparente de type Dirichlet-to Neumann (DtN). On montrera ensuite que ces formulations relèvent de l’alternative de Fredholm, et on verra quels résultats de stabilité peuvent en être déduits. Enfin, on présentera différentes approches pour approcher numériquement de tels problèmes (condition aux limites de type DtN approchées, couches PML), et on établira des estimations de l’erreur due aux paramètres de discrétisation.

D. Givoli (1992), Numerical method for problems in infinite Domains, Elsevier Science Limited, Amsterdam. C. Goldstein (1982), A finite element method for solving scattering Helmholtz type equations in waveguides and other undbounded domains, Maths. of Comput., 39, 309-324. S. Kim (2019), Error analysis of PML-FEM approximations for the Helmholtz equation in waveguides. ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 53 (4), 1191-1222. V. Baronian , A.-S. Bonnet-BenDhia, S. Fliss, A. Tonnoir,(2016) Iterative methods for scattering problems in isotropic and anisotropic elastic waveguides, Wave Motion - vol. 64 (pp 13-33 )

Analyse fonctionnelle appliquée, formulations variationnelles, analyse numérique des EDP.

• Propriétés des champs électromagnétiques
• Espaces de Sobolev et théorèmes de trace en électromagnétisme
• Relations constitutives ; conditions aux limites ; définition des modèles
• Résolution des équations de Maxwell instationnaires et énergie
• Résolution des modèles statiques
• Résolution des équations de Maxwell stationnaires en domaine borné
• Discrétisation par éléments finis d’arête
• Analyse numérique et convergence
• Méthodes intégrales

qui sont les solutions des équations de Maxwell. Ce cours visera quatre objectifs principaux : étude des propriétés des champs électromagnétiques ; définition de modèles associés aux équations de Maxwell (relation entre les champs, modèles statique ou à dépendance en temps connue, ...) ; résolution mathématique rigoureuse de ces modèles ; techniques de discrétisation et mise en œuvre numérique.

F. Assous, P. Ciarlet, S. Labrunie, Mathematical Foundations of Computational Electromagnetism, Springer, 2018. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, Third Edition, John Wiley & Sons, 1999. P. Monk, Finite Element Methods for Maxwell’s Equations, Oxford University Press, 2003.

Niveau L3 en physique.

Pour la partie plasmas :

• Ionisation
• Trajectoires de charges en champs imposées et collisions
• Rayonnement
• Modèles cinétiques et hydrodynamiques
• Modes électromagnétiques propres

Pour la partie astrophysique :

• Evolution stellaire
• Le soleil et son environnement
• Formation des grandes structures cosmiques
• Etude des instabilités hydrodynamiques dans le contexte de l’astrophysique

Le cours est décomposé en 4 séances consacrées aux plasmas et 5 séances consacrées à des systèmes astrophysiques. Les phénomènes de base sont passés en revue et constitueront le référent au cours avancé en modélisation et simulation numérique de plasma et d’astrophysique enseigné en seconde période.

• Plasmas : ce cours introduit les processus physiques en œuvre dans les plasmas, milieu dominé par des comportements électromagnétiques induits : processus dominants, modèles pertinents sont passés en revue. La physique des plasmas est par essence la physique naturelle de tout l’univers extra-planétaire et celle de plasmas artificiels activement étudiés sur terre, depuis les décharges luminescentes jusqu’aux tokamaks pour la fusion thermonucléaire.
• Astrophysique : ce cours introduit les notions de base permettant de décrire la formation, l’évolution et les propriétés générales des structures stellaires et des grandes structures cosmiques.

G. Bonnaud, Notes de cours de physique des plasmas J.M. Rax, Physique des plasmas, Dunod, 2005 J. Perez, Gravitation classique : Problème à N corps, de 2 à l’infini..., Les presses de l’ENSTA, 2011 B. W. Carroll, D. A. Ostlie, An introduction to modern astrophysics, Addison-Wesley, 1996

Connaissances élémentaires en théorie des distributions, algèbre linéaire, MATLAB

1. Introduction et motivation; le problème aux limites pour l’équation de Laplace dans un domaine non borné de R^3 et la formule de représentation.
2. Potentiels de simple et double couche, opérateurs intégraux de frontière et leurs expressions intégrales.
3. Opérateur de Calderòn. Dérivation des formulations intégrales et leur caractère bien posé.
4. Formulations intégrales pour l’équation de Helmholtz et caractère bien posé. Combined Field Integral Formulation.
5. Discrétisation des équations intégrales de frontière par la méthode de Galerkin pour l’équation de Laplace, stabilité et convergence.
6. Discrétisation des équations intégrales de frontière pour l’équation de Helmholtz. Partiel.
7. Problème aux limites pour l’équation des ondes dans un domaine de Rd ; Solution fondamentale et formule de représentation à l’aide des potentiels retardés.
8. Transformée de Laplace pour les distributions tempérées causales : définition, propriétés
9. Application de l’analyse de Laplace pour les estimations des opérateurs intégraux et l’analyse de stabilité des équations intégrales
10. Discrétisation des équations intégrales de frontière pour l’équation des ondes en temps : la méthode de "convolution quadrature", stabilité et convergence.

Ce cours a pour objectif de présenter l’analyse et l’approximation des méthodes d’équations intégrales pour des problèmes harmoniques et transitoires. Ces méthodes connaissent un regain d’intérêt depuis quelques années grâce à de nouveaux algorithmes qui permettent de les rendre rapides et efficaces. La première partie du cours sera consacrée à la présentation, à l’analyse et l’approximation des équations intégrales pour des problèmes elliptiques (Laplace, Helmholtz). Puis, la deuxième partie du cours abordera ces équations intégrales pour un problème hyperbolique modèle, l’équation des ondes. Ces équations intégrales en temps sont aussi appelées "potentiels retardés". L’analyse est assez différente du cas elliptique et repose sur la transformation de Laplace. En ce qui concerne l’approximation, nous présenterons une des méthodes les plus populaires, la méthode ’Convolution Quadrature’, initialement proposée par Christian Lubich en 1988.

Sauter, S., Schwab, Ch. Boundary Element Methods, Springer 2004 Nédélec, J. -C. Acoustic and Electromagnetic Equations. Integral Representations for Harmonic Problems, Springer 2001 Lubich, Ch. On the multistep time discretization of linear initial-boundary value problems and their boundary integral equations, Numerische Mathematik, 1994 Sayas, F. Retarded Potentials and Time Domain Boundary Integral Equations, Springer, 2016

Formation de base en EDP et analyse numérique.

• Modélisation mathématique des systèmes complexes multi-échelles.
• Définition de la notion de calcul haute performance et synthèse sur les nouvelles architectures de calcul et modèles de programmation parallèle.
• Analyse numérique des EDP multi-échelles en temps et en espace (Décomposition de domaine, séparation d’opérateur...).
• Présentation et analyse de méthodes numériques avancées (multi-résolution adaptative et séparation d’opérateur avec adaptation temps/espace, algorithme pararéel, méthodes préservant l’asymptotique, méthodes implicite et résolution de systèmes linéaires,...).

Dans un nombre croissant d’applications, scientifiques ou industrielles, la simulation numérique joue un rôle clef pour comprendre et analyser les phénomènes physiques complexes. Elle permet aussi de prédire le fonctionnement de dispositifs comme les chambres de combustion aéronautiques dans l’optique d’une conception avancée. La complexité des systèmes et la taille des simulations multi-dimensionnelles rendent l’utilisation du calcul haute performance nécessaire. Ce cours propose dans un premier temps une présentation des enjeux que pose la modélisation des systèmes complexes pour les méthodes numériques et la simulation et un état de l’art des nouvelles architectures de calcul et des modèles de programmation parallèle. Après avoir rappelé les bases de l’analyse numérique des EDP pour les problèmes multi-échelles, nous proposons d’explorer quelques méthodes numériques avancées conçues pour traiter la raideur présente dans ces modèles complexes tout en tirant le meilleur parti des nouvelles architectures de calcul. Ces méthodes s’appuient sur une combinaison efficace entre analyse numérique, modélisation et calcul scientifique. Des séances de mise en oeuvre sur machines en lien avec le mésocentre de calcul de l’Ecole Polytechnique seront proposées.

M. Duarte, Adaptive numerical methods in time and space for the simulation of multi-scale reaction fronts, Thèse Ecole Centrale Paris (2011) W. Hundsdorfer et J. Verwer, Numerical Solution of Time–Dependent Advection–Diffusion-Reaction Equations, Springer–Verlag, Berlin (2003) L. Gosse, Computing Qualitatively Correct Approximations of Balance Laws, Springer (2013) V. Dolean, P. Jolivet, F. Nataf, An Introduction to Domain Decomposition Methods : algorithms, theory and parallel implementation (2015) B. Chapman, G. Jost, R. Van Der Pas, Using OpenMP : Portable Shared Memory Parallel Programming, The MIT Press (2007) W. Gropp, E. Lusk, A. Skjellum, Using MPI : Portable Parallel Programming with the Message-Passing Interface, The MIT Press (2014)

Analyse fonctionnelle, formulations variationnelles.

• Analyses des systèmes de Friedrich et équations d’ondes, Element-finis en espace et analyse semi-discrète
• Schémas en temps saute-moutons, analyse de stabilité et convergence espace-temps, condensation de masse.
• Techniques avancées : schémas implicite-explicite, d’ordre élevé espace-temps et stabilisés
• Systèmes d’ordre 1 : méthode de Galerkin discontinus, analyse semi-discrète, schémas en temps et analyse discrète
• Techniques avancèes : Runge-Kutta, “staggered grids” et schémas de type “splitting”
• Problèmes en domaines ouverts : conditions absorbantes
• Problèmes ouverts : “Perfeclty Matched Layers”
• Problèmes de transmissions : élément mortiers, pas-de-temps local et schémas localement implicite
• Problèmes non-linéaires : Ondes acoustique non-linéaire, Hémodynamique, vibration d’une corde de piano

Ce cours a pour objectif d’apporter des éléments fondamentaux et avancés pour la simulation de phénomènes d’évolution. L’analyse mathématique présentée portera aussi bien sur les aspects continus que sur les aspects complètement discrets. Les applications visées concernent les problèmes transitoires suivant : ondes acoustiques, élastodynamique, ondes électromagnétiques, aéro-acoustiques mais aussi hémodynamiques ou vibration non-linéaire de cordes. Les thèmes abordés sont résumés ci-dessous :

• Technique de discrétisation en espace. Element finis spectraux d’ordre élevés, condensation de masse et technique de Galerkin discontinus.
• Technique de discrétisation en temps. Schémas saute-moutons, schémas d’ordre élevé (équation modifiée, Runge-Kutta 4), schémas implicite-explicite, schémas “splittés” et pas-de-temps local.
• Traitement des domaines ouverts. Conditions absorbantes et couches parfaitement adaptées en acoustique, aéro-acoustique et élastodynamique.

P. Joly, Chap. IV, Effective Computational Methods in Wave Propagation, CRC Press, 2010. G. Cohen, Higher-Order Numerical Methods for Transient Wave Equations, Springer-Verlag, 2004.

Mathématiques, programmation sous Matlab, bases en physique des phénomènes de transfert.

• Equation de Darcy, équation de Richards ;
• Equation de transport par convection-diffusion-dispersion ;
• Ecoulement diphasique immiscible ;
• Méthodes de discrétisation spatiale : volumes finis, décentrage ;
• Formulations des écoulements diphasiques, schémas en temps ;
• Résolution des systèmes non-linéaires par des méthodes de Picard ou de Newton.

La simulation numérique des modèles décrivant la physique des phénomènes de transfert dans les couches terrestres superficielles (écoulements de fluides, transport de traceurs) et les couplages associés (température, chimie, mécanique) est devenue une activité incontournable dans tous les secteurs industriels concernés par l’environnement : gestion de la ressource en eau, impact du changement climatique, dépollution de sols et d’aquifères, étude de réservoirs pétroliers et de gaz, géothermie, séquestration du CO2, stockage de déchets. Ce cours vise à donner les bases de la modélisation physique et numérique des écoulements de fluides et les couplages associés dans les couches géologiques superficielles ou profondes. Il s’adresse aussi aux étudiantes et aux étudiants désireux de s’orienter vers l’étude des géomatériaux tels que ceux utilisés en génie civil (matériaux cimentaires ou argileux). Ce cours comporte une partie cours magistral, donnant les bases de la modélisation physique et de la simulation numérique des écoulements, et une partie de travaux pratiques sur PC visant à simuler (sous Matlab, ou d’autres codes), des cas tests d’écoulement et de transport.

J. E. Aarnes, T. Gimse and K.-A. Lie. An introduction to the numerics of flow in porous media using Matlab. http://folk.uio.no/kalie/papers/ResSimMatlab.pdf J. Bear and A. Verruijt. Modeling Groundwater Flow and Pollution, Springer-Verlag, 1987. R. Helmig. Multiphase Flow and Transport Processes in the Subsurface : A Contribution to the Modeling of Hydrosystems. Springer-Verlag 1997. Cours de Fritz Stauffer, Ecole Polytechnique de Zürich : http://www.ifu.ethz.ch/GWH/people/stauffer.

Bases d’algèbre linéaire numérique et d’algorithmique ; programmation avec le langage C++

• Concepts de base du calcul scientifique parallèle · Introduction aux architectures de calcul et aux algorithmes parallèles · Algorithmes parallèles élémentaires (intégration numérique, différences finies 1D, algèbre linéaire dense) · Analyse de la performance parallèle
• Résolution parallèle de systèmes linéaires : Méthodes directes (factorisation LU et approches par blocs) et Méthodes itératives (méthodes stationnaires et instationnaires)
• Résolution parallèle de problèmes d’équations aux dérivées partielles · Systèmes linéaires issus d’une discrétisation par différences finies ou par éléments finis · Introduction aux méthodes de décomposition de domaine
• Initiation à la programmation parallèle avec MPI en C++

Le calcul scientifique parallèle permet de résoudre des problèmes mathématiques en tirant parti de la puissance des machines de calcul parallèles (i.e. clusters composés de plusieurs processeurs). Il s’agit d’un outil essentiel de la recherche et de l’industrie, utilisé dans des domaines aussi variés que la physique, le génie civil, la climatologie, l’aéronautique et la finance. Pour traiter des problèmes de taille et de complexité croissante avec précision, il est indispensable d’exploiter au mieux les architectures parallèles en adaptant les algorithmes de résolution numérique pour permettre un calcul parallèle efficace. L’objectif de ce cours est d’introduire les aspects théoriques et pratiques du calcul scientifique parallèle à mémoire distribuée, avec un accent sur la résolution numérique parallèle de problèmes d’équations aux dérivées partielles. Le cours débutera par une introduction à l’algorithmique parallèle et à la programmation parallèle avec la bibliothèque MPI (Message Passing Interface). Ensuite, on s’intéressera à la résolution parallèle efficace de systèmes linéaires de grande taille, notamment issus de discrétisation par différences finies. Enfin, on abordera la résolution de problèmes non-structurés issus de discrétisations par élements finis. Le cours comprends des TPs d’initiation à MPI en C++ et des séances de mise en œuvre parallèle.

F. Magoulès, F.-X. Roux, Calcul scientifique parallèle, Dunod, 2013. Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, SIAM, 2003.

Site Internet du cours : https://ams301.pages.math.cnrs.fr/

Bases d’algèbre et de théorie de la mesure.

• Introduction : applications - équation cinétique / population balance équation
• Espace des moments - lien avec la théorie des polynômes orthogonaux
• Méthodes de moments classiques pour les gaz mono-atomiques - propriétés mathématiques
• Cas des populations de particules : fermetures dans le cas mono-varié
• Méthodes numériques réalisables dans le cas mono-varié
• Cas multi-varié : difficultés théoriques et numériques supplémentaires - quelques exemples de modèles et méthodes numériques
• Cas du transfert radiatif : moments sur la sphère unité

Divers problèmes, notamment en mécanique des fluides ou en ingénierie, peuvent être décrits par une équation de type cinétique, par exemple en théorie cinétique des gaz avec l’équation de Boltzmann ou pour la description de population de particules de tailles variées avec la Population Balance Equation. Cette équation est rarement résolue directement à cause du coût engendré. On passe plutôt à un problème macroscopique, via la méthode des moments, comme dans le cas des équations d’Euler. On remplace alors l’équation de type cinétique par des équations sur les premiers moments de la distribution sous-jacente. Dans ce cours, il s’agit de comprendre comment on développe ces méthodes macroscopiques à partir d’une description dite mésoscopique de type cinétique, et en particulier quelles types de fermetures sont utilisées, de caractériser l’espace dans lequel évoluent ces moments (espace des moments), d’étudier certaines propriétés mathématiques des modèles obtenus et de donner quelques méthodes de résolution des équations, en lien avec leurs propriétés mathématiques et préservant l’espace des moments.

D. L. Marchisio, R. O. Fox, Computational Models for Polydisperse Particulate and Multiphase Systems, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2013. H. Dette, W. J. Studden, The Theory of Canonical Moments with Applications in Statistics, Probability, and Analysis, Wiley-Interscience, 1997. J. B. Lasserre, Moments, positive polynomials and their applications, Vol. 1 of Imperial College Press Optimization Series, Imperial College Press, London (2010)

Calcul différentiel, analyse fonctionnelle, un peu d’analyse numérique.

• Introduction : examples, differential calculus in functional spaces. — Pontryagin’s principle (PMP).
• Applications of the PMP.
• Minimal time function, optimal synthesis (linear case).
• Shooting methods.
• Minimal time function, optimal synthesis (nonlinear case).
• State constraints (PMP). Beginning of the Master part of the course.
• Practical class (gradient methods for optimal control problems)
• State constraints and shooting.
• HJB approach for optimal control. Value function, dynamic programming principle.
• Singular arcs.
• HJB equations, verification theorem, viscosity solutions, numerical analysis.

Les technologies actuelles cherchent de plus en plus à traiter des systèmes complexes, constitués par un grand nombre de paramètres liés les uns aux autres par une structure bien déterminée. Un autre aspect de l’évolution générale est aussi la recherche de performances évoluées (notion de productivité, de coût, de qualité des produits, ...) et des performances optimales (aller sur la lune en consommant le minimum de carburant, planifier une éco- nomie de façon optimale, etc). L’objectif de ce cours est de présenter les méthodes théoriques et numériques de la commande optimale permettant de résoudre certains systèmes complexes. Le cours magistral est accompagné de quelques séances de travaux dirigés et de travaux pratiques, durant lesquelles les étudiants mettent en oeuvre sur un cas concret quelques méthodes numériques étudiées.

Analyse fonctionnelle appliquée, formulations variationnelles, analyse numérique élémentaire.

• Rappels d’analyse fonctionnelle
• Construction de formulations variationnelles pour la diffusion (avec une ou deux inconnues)
• Discrétisation de la diffusion : éléments finis de Lagrange, de Raviart-Thomas
• Formulation variationnelle pour l’équation de Helmholtz et sa résolution
• Problèmes mixtes, application au modèle de Stokes
• Résolution de problèmes avec changement de signe

On s’intéressera à la résolution théorique et numérique des problèmes linéaires issus de la modélisation de phénomènes physiques divers, s’écrivant sous la forme d’équations aux dérivées partielles complétées de conditions aux limites. On traitera principalement les modèles suivants, en domaine borné : diffusion, équation de Helmholtz, problèmes avec contraintes (équation de Stokes), et enfin un problème plus exotique, issu de la modélisation de milieux non-standards en électromagnétisme, où les coefficients de l’équation changent de signe dans le domaine. On expliquera pourquoi l’étude de ces problèmes ne peut pas systématiquement être menée à l’aide des outils classiques, vus en première année de master, comme le théorème de Lax-Migram pour la formulation continue ou le lemme de Céa pour la discrétisation. Ceci nous conduira à introduire de nouveaux outils, qui permettront d’établir des résultats similaires (caractère bien posé du problème continu, stabilité et convergence du problème discret) dans un cadre élargi. De façon plus précise, ce cours traitera des trois aspects principaux suivants :

1. construction de formulations variationnelles. Pour cela on rappellera les notions de base, autour des distributions, des espaces fonctionnels d’énergie, et des formules d’intégration par parties ;
2. résolution mathématique rigoureuse de ces formulations à l’aide du théorème de Lax-Milgram généralisé (T- coercivité), également connu sous le nom de théorie de Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi (condition inf-sup) ;
3. techniques de discrétisation et analyse numérique : condition inf-sup discrète (ou T-coercivité discrète), lemme de Céa généralisé, éléments finis, éléments finis mixtes, etc.

B. Boffi, F. Brezzi, M. Fortin, Mixed and hybrid finite element methods and applications, Springer, 2013.

Integration theory, measure theory, functional analysis, weak convergence, Sobolev space

The following themes will be presented:

Basic geometric measure theory (Radon measure, weak* convergence and differentiation of measures)

Hausdorff measures (area formula, rectifiable sets, approximate tangent space)

Functions of bounded variation (approximation, embeddings, traces, co-area formula)

Sets of finite perimeter (reduce and essential boundary, generalized Gauss-Green formula)

Fine properties of functions of bounded variation (approximate continuity, approximate differentiability, decomposition of the gradient)

Special functions of bounded variation and application to the Mumford-Shah problem

This course aims to introduce geometric measure theoretic tools to study singular variational problems. Typical applications arise in geometric type problems such as the Plateau problem: isoperimetry, minimal surfaces, imaging (denoising, segmentation) or materials science (fractures or plasticity).

Ambrosio, Fusco, Pallara: Functions of bounded variation and free discontinuity problems Evans, Gariepy: Measure theory and fine properties of functions Federer: Geometric measure theory Giusti: Minimal surfaces and functions of bounded variation Maggi: Sets of finite perimeter and geometric variation problems

Connaissances de mathématiques générales. Équations différentielles linéaires et non linéaires. Bases de l’analyse fonctionnelle. Équations aux dérivées partielles linéaires.

• Le problème de Cauchy local en temps pour l’équation de Klein-Gordon non linéaire avec amortissement (T. Cazenave et A. Haraux).
• Toute solution globale est bornée par la méthode d’énergie (T. Cazenave).
• Les solitons de l’équation de Klein-Gordon non linéaire (incluant l’étude spectrale de l’opérateur linéarisé).
• Le principe de concentration-compacité (P.-L. Lions)
• Premier résultat de convergence ; émergence de solitons pour des sous-suites de temps (E. Feireisl).
• “Modulation” des solitons et équations des paramètres géométriques (position et vitesse de chaque soliton)
• Étude d’un système de dimension fini de type Toda (F. Merle et H. Zaag).
• Raffinement du résultat de compacité, convergence pour toute suite de temps, propriété des signes alternés, positions asymptotiques des solitons (R. Côte, Y. Martel et X. Yuan)

Ce cours est consacré à l’étude de l’émergence de solitons (ondes progressives) dans le comportement global de toutes les solutions globales de l’équation de Klein-Gordon non linéaire avec un amortissement, en dimension 1 d’espace.

T. Cazenave, Uniform estimates for solutions of nonlinear Klein-Gordon equations, Journal of Functional Analysis, 60 (1985), 36-55. T. Cazenave and A. Haraux, An introduction to semilinear evolution equations. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 13. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. R. Côte, Y. Martel, X. Yuan, Long-time asymptotics of the one-dimensional damped nonlinear Klein-Gordon equation, Arch. Ration. Mech. Anal. 239, 1837–1874 (2021). https://arxiv.org/abs/2002.01826 E. Feireisl, Finite energy travelling waves for nonlinear damped wave equations, Quart. Appl. Math., 56 (1998), 55–70. P.-L. Lions, On positive solutions of semilinear elliptic equations in unbounded domains, Nonlinear diffusion equations and their equilibrium states, II (Berkeley, CA, 1986), 85–122, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 13, Springer, New York, 1988. F. Merle and H. Zaag, Existence and classification of characteristic points at blow-up for a semilinear wave equation in one space dimension, Amer. J. Math., 134 (2012) n. 3, 581–648.

Bases d’analyse fonctionnelle.

• Calcul pseudo-différentiel à grand paramètre.
• Inégalité de Carleman.
• Prolongement unique.
• Stabilisation de l’équation des ondes.
• Contrôle de l’équation de la chaleur.

Connaissances de mathématiques générales et d’équations aux dérivées partielles.

• Systèmes non-strictement hyperboliques : phénomène de résonance, apparition de delta-choc
• Exemples applicatifs sous forme conservative : modèles d’Isaacson-Temple, de Keyfitz-Kranzer, de gaz sans pression
• Exemples applicatifs sous forme quasi-linéaire : modèles de Saint-Venant, de tuyère section variable, d’écoulement diphasique de Baer-Nunziato
• Schémas numériques adapts

Ce cours est consacré à l’analyse théorique et à l’approximation numériques des solutions des systèmes d’équations aux dérivées partielles linaires et non linaires pouvant présenter des instabilités dues à une perte locale de l’hyperbolicité stricte.

F. Bouchut, Nonlinear stability of finite volume methods for hyperbolic conservation laws and well-balanced schemes for sources, vol. 142 of Frontiers in Mathematics series, Birkhäuser, Basel, 2004. R. Courant, K. O. Friedrichs, Supersonic Flow and Shock Waves, vol. 21 of Applied Mathematical Sciences series, Springer, New York, 1999. E. F. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. A practical introduction, Springer, Berlin 2014.

La méthode de Boltzmann sur réseau est une méthode numérique qui permet d’approcher les solutions d’équations aux dérivées partielles. Elle est considérée comme extrêmement efficace pour plusieurs raisons : l’algorithme est très simple à programmer; la méthode est explicite et ne nécessite aucune résolution de systèmes linéaires; les opérations sont pour la plupart locales en mémoire ce qui permet une accélération efficace en parallélisant le code. Ses multiples avantages font sa popularité et ses champs d’applications s’étendent actuellement des équations de la mécanique des fluides (Navier-Stokes mais aussi physique des plasmas) à la mécanique des solides, aux milieux poreux... Cependant les résultats mathématiques permettant de garantir la qualité de la solution numérique calculée sont peu nombreux et nécessitent le développement de nouveaux outils. C’est un domaine de recherche en mathématique qui est actuellement en pleine expansion. La méthode de Boltzmann sur réseau consiste, dans sa version la plus pure, à faire évoluer sur un maillage cartésien des fonctions densités de particules selon un algorithme imitant une version discrète de l’équation de Boltzmann décrivant l’état statistique d’un gaz hors de l’équilibre thermodynamique. L’objectif de ce cours est avant tout de présenter les différentes étapes de l’algorithme afin de comprendre son comportement et ses qualités. Nous introduirons ensuite les différents outils mathématiques nécessaires à l’étude en particulier de la consistance, de la stabilité et de la convergence de ces schémas. Nous étudierons certains schémas les plus simples et les plus populaires permettant de simuler des systèmes hyperboliques comme les équations de transport, de Bürgers, de Saint-Venant ou d’Euler mais aussi des équations paraboliques comme l’équation de la chaleur. Nous nous appuierons sur un logiciel libre pylbm afin de tester rapidement et simplement la méthode. Des séances de travaux pratiques sur machine seront en particulier dédiées à l’utilisation de la méthode pour améliorer la compréhension de ses propriétés.

Méthodes variationelles pour les EDP, bases d’optimisation et/ou de programmation dynamique.

• Introduction aux formulations variationnelles en elastodynamique linéaire et non-linéaire: · Cadre variationnel et fonctionnel pour la mécanique linéaire · Introduction à la mécanique non-linéaire
• De la physiologie à la modélisation du système cardiovasculaire : · Modélisation des muscles cardiaques · Le coeur dans le système cardiovasculaire
• Modèles micro de la contraction cardiaque : · Modèles de type Huxley · Moments · Vers les modèles stochastiques
• Réduction de modèle : · Hypothèse de surfaces minces · Modèles réduits · Des estimations à l’existence de solutions
• Principes de discrétisation en temps : · Discrétisation en mécanique · Discrétisation des modèles réduits · Discrétisation pour les systèmes couplés
• Estimation : · Cadre de l’estimation pour les ODEs · Equivalences en linéaire · Extensions en non-linéaire

Ce cours a pour vocation de décrire une démarche de modélisation mathématique allant de la formulation d’un modèle physiologique d’organe jusqu’à son interaction avec des données recueillies à l’hôpital. Le contexte est celui de la modélisation du coeur en interaction avec le système cardiovasculaire afin de proposer un outil de monitorage en anesthésie. Nous proposons de parcourir les différentes étapes de modélisations en confrontant les besoins de l’application et les outils mathématiques assurant des solutions aux problèmes (formulation, caractère bien posé, méthodes numériques, problèmes inverses en interaction avec les données). Ce cours pourra être complété par des extensions théoriques sur chaque sujet introduit sous forme de conférences ou d’articles à étudier.

Ce cours présente plusieurs approches mathématiques et numériques pour planifier des trajectoires de systèmes commandés non-linéaires.

• Introduction, Point de vue robotique (survey) Formalisation, classification des problèmes
• Le cas linéaire : planification directe (grammien), via Brunovsky
• Equivalence de systèmes : (1) équivalence par feedback : définition, critères de linéarisation (locale et globale) (2) équivalence dynamique, platitude
• Propriétés des ensembles atteignables, rappels de commandabilité
• Commande optimal, PMP, LQ
• Calcul des ensembles atteignables, approche "level-set".
• Approche HJB. Simulations numériques
• Le cas non-holonome : méthodes basées sur structure d’algèbre de Lie, commandes dans des familles para- métrées (polynômes, sinusoïdes), ex. des systèmes chaînés, processus par itération, méthode de continuation

A. A. Agrachev and Y. L. Sachkov. Control Theory from the Geometric Viewpoint. Springer-Verlag, 2004. V. Jurdjevic. Geometric Control Theory. Cambridge University Press, 1997. F. Jean. Control of Nonholonomic Systems : from Sub-Riemannian Geometry to Motion Planning. Springer International Publishing, Springer- Briefs in Mathematics, 2014.

Basic convex optimization and measure theory.

In the first part of the course we will study equivalent definitions of Optimal Transport (OT). A static formulation based on probability theory, a dual formulation based on convex optimization and a dynamical formulation based on PDE, Hamilton Jacobi equations. We then go through classical theory for existence, uniqueness and regularity. The theory will be at the interplay between probability, measure theory, PDE and convex analysis.

For the second part we will concentrate on applications of OT on the one hand for the study of PDE, such as Incompressible Euler equations and PDE that can be recast as Gradient Flows for the metric defined by OT. On the other hand for statistics and data analysis.

In a third part we will present some efficient numerical methods to compute OT and its applications such as entropic regularization, Semi-Discrete OT, Primal Dual methods. We will finish with a discussion on possible extensions of OT: (unbalanced and partial OT).

Optimal transport is a powerful mathematical theory at the interface between optimization, PDE and probability theory with far reaching applications. It defines a natural tool to study probability distributions in the many situations where they appear: data science, partial differential equations, statistics or shape processing. In this course we will present the classical theory of optimal transport, efficient algorithms to compute it and applications.

Optimal Transport for applied Mathematicians, F. Santambrogio Topics in Optimal Transport, C. Villani Optimal Transport Old and New, C. Villani Optimal transport: discretization and algorithms, Q. Mérigot and B. Thibert Computational Optimal Transport: With Applications to Data Science, G. Peyré, M. Cuturi

Analyse fonctionelle, Homogénéisation périodique.

• Homogénéisation périodique, quelques rappels de résultats
• Homogénéisation stochastique des EDP elliptiques linéaires
• Estimations quantitatives des convergence
• Aspects numériques
• Extension à d’autres cadres aléatoires

L’objectif de ce cours est de développer une théorie de l’homogénéisation stochastique et d’introduire les considérations quantitatives et numériques qui émergent dans ce contexte. Aucun prérequis en probabilités n’est attendu, seules des bases en analyse fonctionnelle et numérique pour les EDPs sont nécessaires. Nous commencerons par énoncer les résultats dans un cadre périodique avant de détailler le cadre aléatoire dans lequel nous allons travailler. Notre étude concerne les équations elliptiques linéaires aux coefficients stationnaires ergodiques dépendant d’une variable qui oscille rapidement comparée à la variable d’espace dans laquelle sont posées les équations. Nous montrerons la convergence presque sûre de la solution vers la solution d’une équation homogénéisée déterministe qui ne dépend plus que de la variable macroscopique. Nous aborderons ensuite les problématiques de quantification de cette convergence en montrant sur une équation elliptique perturbée un résultat de type central limite pour notre erreur. Nous présenterons enfin d’autres cadres aléatoires relevant de l’homogénéisation et les résultats associés, comme la perturbation d’un milieu périodique ou sa transformation par un difféomorphisme aléatoire de gradient stationnaire. Deux séances de travaux dirigés d’une heure et demi chacune auront lieu au cours du trimestre. Une séance de 3h de travaux pratiques en salle informatique nous permettra d’étudier la mise en oeuvre numérique de l’homogénéisation stochastique et d’appliquer des méthodes de réduction de variance pour améliorer nos algorithmes.

G.C. Papanicolaou and S.R.S. Varadhan, Boundary value problems with rapidly oscillating random coef- ficients, Random fields, Vol. I, II (Esztergom, 1979), Colloq. Math. Soc. Jànos Bolyai, 27 (1981) 835–873, North-Holland, Amsterdam. G. Bal, Central limits and homogenization in random media, Multiscale model & Simul, 7 (2008) 677–702. X. Blanc, C. Le Bris, and P.-L. Lions, Stochastic homogenization and random lattices, J. Math. Pures Appl., 88 (2007), 34–63. Anantharaman, Arnaud, Ronan Costaouec, C. Le Bris, Frédéric Legoll, and Florian Thomines. Introduction to numerical stochastic homogenization and the related computational challenges : some recent develop- ments. In Multiscale modeling and analysis for materials simulation, pp. 197-272. 2012..

Ce cours fait suite au cours de Modélisation des plasmas et des systèmes astrophysiques et a pour objectif d’approfondir certaines thématiques astrophysiques où la modélisation est au coeur de l’activité de recherche. Ce cours est articulé autour de présentation théorique de modèles utilisés en astrophysique qui sont ensuite mis en oeuvre lors de petits projets numériques. Les thématiques abordées sont la physique stellaire et planétaire, le milieu interstellaire et la formation des galaxies (les projets tournent chaque année). cela nécessite l’introduction de modèles physiques variés incluant l’hydrodynamique, éventuellement avec la présence de champ magnétique (magnéto-hydrodynamique), la gravitation, le transfert du rayonnement, des mécanismes thermo-chimiques,... Les méthodes numériques permettant de rendre compte de ces phénomènes sont également abordées.

Avoir suivi le cours du premier semestre sur les plasmas et l'astrophysique.

• Choc et instabilité hydrodynamique
• Propagation onde de très forte amplitude : instabilités et accélération de particules : méthodes particulaires
• Problèmes à N corps, équations d’état : dynamique moléculaire et méthode Monte-Carlo
• Cinétique d’un plasma magnétisé et interaction onde - plasma : modèle de Fokker-Planck et tracé de rayons

Modèles et méthodes de simulation sont abordées sur quatre types spécifiques de plasmas : ceux créés par lasers de puissance, dans les contextes de la fusion par confinement inertiel, d’une part, et des impulsions laser ultraintenses, d’autre part (années impaires). Les plasmas denses, typiquement à la densité du solide, intervenant dans la compréhension du coeur de cible de fusion inertielle et des coeurs d’étoile ou de planète sont présentés. Enfin les plasmas de fusion par confinement magnétique sont présentés, pour analyser le chauffage par onde et l’induction de courant au sein d’un tokamak (années paires).

J.M. Rax, Physique des tokamaks, Ecole Polytechnique 2011 B. W. Carroll & D. A. Ostlie, An introduction to modern astrophysics, Addison-Wesley 1996

Analyse mathématique et numérique des EDPs, Méthode des éléments finis.

• Rappels sur la discrétisation des EDPs,
• Introduction aux notions d’épaisseur de Kolmogorov, d’opérateur affine et d’efficacité offline/online,
• Résultat d’estimation d’erreur a posteriori,
• Deux algorithmes de construction de base réduite : POD et greedy,
• Mise en œuvre de la méthode de base réduite en MatLab lors de TP.

Les équations aux dérivées partielles (EDPs) sont largement utilisées dans la recherche et l’industrie pour modéliser et simuler des phénomènes physiques. Ces EDPs dépendent de paramètres, qui servent par exemple à décrire des propriétés matérielles ou des caractéristiques géométriques. En pratique, il est souvent nécessaire de résoudre numériquement l’EDP non pas pour un seul jeu de valeurs de paramètres fixé, mais pour un ensemble potentiellement vaste de valeurs de paramètres. C’est notamment le cas dans des contextes d’optimisation, de quantification d’incertitude ou d’inférence de paramètres. En une dizaine d’années, la méthode de base réduite est devenu un outil essentiel pour résoudre efficacement et de façon fiable les EDPs dépendantes de paramètres. L’objectif de ce cours est d’introduire cette méthode, de se familiariser avec les concepts sous-jacents et de la mettre en oeuvre, lors de TP sur ordinateur avec MatLab, dans des cas concrets d’EDPs dépendantes de paramètres, en utilisant la méthode des éléments finis ou des volumes finis.

J.S. Hesthaven, G. Rozza, B. Stamm et al. Certified reduced basis methods for parametrized partial diffe- rential equations. Berlin : Springer, 2016. A. Quarteroni, A. Manzoni and F. Negri. Reduced basis methods for partial differential equations : an introduction. Springer, 2015.

• Motivating examples, tools from functional analysis, Fourier transform ; costate equation, optimality system
• Sobolev spaces, Lax-Milgram setting, Dirichlet and Neumann boundary control, semilinear state equations
• Parabolic setting : application to the Fokker-Planck equation. Semilinear state equations.
• ODE-PDE coupling. Application to a protein synthesis problem.
• State constraints, alternative optimality system. Time optimal problems.
• Second-order optimality conditions : polyhedricity theory.

This course considers optimization problems constrained by a certain PDE called the state equation, which allows to express the state as function of the control (the decision variable). We discuss the well-posedness of the control to state mapping, the existence of solution and the first-order optimality conditions in the setting of elliptic and parabolic equations. For state constrained problems we see how the alternative optimality system provides regularity results for the optimal control. We also study time-optimal problems and establish second-order optimality conditions (and a related sensitivity analysis of the value function) in the polyhedric setting. These results will be applied to a protein synthesis problem whose model is an ODE-PDE coupling with control in the coefficients of the PDE.

J.F. Bonnans, A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems. Springer, 2000. J.-L. Lions, Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Springer, 1971. J.-P. Raymond, Optimal Control of Partial Differential Equations. Lecture notes, U.P.S., Toulouse. F. Tröltzsch : Optimal Control of Partial Differential Equations - Theory, Methods and Applications. American Math. Society, 2010.

• Méthode des caractéristiques
• Lemmes de moyenne
• Lemmes de dispersion
• Les équations de champ moyen pour les plasmas : la limite de champ moyen pour les systèmes de particules avec interaction lipschitzienne (d’après Neunzert-Wick, Braun-Hepp, Dobrushin); le modèle de Vlasov-Poisson : existence, unicité et régularité en dimension 3 (d’après Pfaffelmoser, Lions-Perthame); le modèle de Vlasov-Maxwell : existence globale de solutions renormalisées (d’après DiPerna-Lions) ; le critère de régularité de Glassey-Strauss; l’amortissement Landau (d’après Caglioti-Maffei et Mouhot-Villani)

H. Brezis : "Analyse fonctionnelle et applications" ; Masson, Paris, 1983. F. Golse : "Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles”, Ecole polytechnique, 2011 C. Zuily : "Eléments de distributions et d’équations aux dérivées partielles", Dunod, Paris, 2002. F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti : "Kinetic equations and asymptotic theory" ; B. Perthame et L. Desvillettes eds, Series in Applied Mathematics (Paris), 4. Gauthier-Villars, Editions Scientifiques et Médicales Elsevier, Paris, 2000. R.T. Glassey : "The Cauchy problem in kinetic theory". Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1996. F. Golse : On the Dynamics of Large Particle Systems in the Mean Field Limit ; preprint arxiv 1301.5494. Notes de cours : http ://www.math.polytechnique.fr/ golse/M2.html

Connaissances élémentaires de l’équation des ondes, résolution des problèmes de diffraction par équations intégrales.

Les ondes, sonores et électromagnétiques, nous permettent de percevoir le monde extérieur, par les interactions, appelées diffractions qu’elles ont avec les objets. Ces phénomènes de diffraction sont omniprésents : vision, imagerie radar, acoustique des salles de concert, réduction du bruit urbain, etc., et souvent globalement en régime haute fréquence : la longueur d’onde est petite devant la taille de l’objet. Néanmoins certains détails, de dimension petite devant la longueur d’onde, peuvent avoir des effets diffractifs non négligeables. Pour simuler numériquement les phénomènes de diffraction, les méthodes intégrales et asymptotiques haute fréquence sont naturellement complémentaires. Les premières permettent de calculer le champ diffracté par des objets de forme très générale, mais de taille raisonnable en termes de longueur d’onde. Les secondes, fondées sur des développements asymptotiques, sont d’autant plus précises que la fréquence est élevée et permettent d’élucider la structure du champ diffracté en termes physiques. L’idée naturelle consiste à associer les deux types de méthodes pour profiter de leurs avantages respectifs. Le cours présente les fondements mathématiques des méthodes haute fréquence et comment les mettre en œuvre, en les hybridant avec des méthodes d’équations intégrales, pour calculer le champ diffracté par des objets en même temps très grands en terme de longueur d’onde, mais comportant des détails géométriques fins et de forme complexe.

M. Lenoir, Notes de cours sur les équations intégrales et problèmes de diffraction, ENSTA. I. Andronov, D. Bouche, F. Molinet Asymptotic and Hybrid Methods in Electromagnetism IEE Press, 2005 M. Lenoir, E. Lunéville, N. Salles, Coupling High-frequency Methods and Boundary Element techniques for Scattering Problems with several Obstacles, WAVES 2017

Méthodes numériques, algorithmique, langage C.

• Sur la génération de maillage en 2D : algorithmes (complexité, table de hachage), Noyau de Delaunay, opérateurs de modifications de maillages, preuve d’existence,
• Génération de maillage de surface à partir d’une représentation continue (Bézier, NURBS). Notions de géométrie différentielle pour la génération de maillages (courbure, approximation surfacique),
• Génération de maillage en 3D : Preuve d’existence, visibilité (problème d’optimisation convexe).
• Partitionnement de maillage
• Projet : Réalisation d’un mailleur 2D basé sur le noyau de Delaunay.
• Dualité entre les espaces métriques Riemanniens et les maillages adaptatifs anisotropes
• Introduction aux estimateurs d’erreurs a priori et a posteriori pour des solutions numériques d’EDPs.
• Estimateurs d’erreur anisotropes : multi-échelles ou adjoint pour le contrôle d’une fonctionnelle.
• Projet : Implémentation d’un estimateur d’erreur d’interpolation en norme Lp et réalisation d’une boucle d’adaptation sur un écoulement de mécanique des fluides (sortie de réacteur, entrée atmosphérique d’une capsule APOLLO)

Une branche importante du calcul scientifique consiste à simuler sur ordinateurs des phénomènes physiques complexes. Son intérêt consiste à mieux appréhender des problèmes fondamentaux : solution des équations de Navier-Stokes, turbulence, ou à prédire des phénomènes non observables par l’expérience comme les écoulements biologiques ou la prédiction des séismes. Le recours à la simulation numérique est également croissante dans des phases de design où l’objet n’existe pas encore (avion, voiture, pièces mécaniques...) afin de trouver, par exemple, une forme optimale. Dans ce contexte, la génération d’un maillage, support spatial discret pour le calcul, est une phase clé du processus de simulation : pas de maillage, pas de solution, pas d’analyse. Dans une première partie, ce cours d’intéresse aux méthodes de génération de maillages pour des géométries complexes. Dans une deuxième partie, on s’intéresse aux techniques d’adaptation de maillages pour des solutions numériques. Ces dernières se basent sur des estimateurs d’erreur qui permettent à la fois de contrôler le degré de précision d’une solution ainsi que son degré de fiabilité.

P. L. George, H. Borouchaki, F. Alauzet, A. Loseille and L. Maréchal, Maillage, modélisation géométrique et simulation numérique, Volume 2 : Métriques, maillages et adaptation de maillages, ISTE Editions, 2018. R. Löhner, Applied Computational Fluid Dynamics Techniques : An Introduction Based on Finite Element Methods, Second Edition, John Wiley & Sons, 2008.