M1 program J.Hadamard, Mathematics (Orsay)

Analyse de Fourier, Probabilités discrètes

En 1948, Claude Shannon pose les bases d’une théorie de l’information qui est aujourd’hui l’un des piliers du monde numérique dans lequel nous évoluons. En formalisant le concept d’information et en proposant une représentation binaire des signaux, sa théorie a permis de définir des limites théoriques pour la compression et la transmission sans pertes de l’information. Ces avancées mathématiques majeures trouvent des répercussions actuelles en télécommunications et traitement du signal, mais également en compression et en cryptographie.

1. Théorie du signal
2. Théorie de l'information
3. Codage source
4. Codage canal

• Introduire les fondements de la théorie du signal et de l’information.
• Présenter les principes de l’échantillonnage, de la quantification et du codage.
• Expliquer les théorèmes fondamentaux de Shannon et leurs applications en communication numérique.

2h de cours et 2h de TD  par semaine

• Représenter et traiter des signaux analogiques et numériques.
• Utiliser les notions d’entropie, d’information mutuelle et de capacité de canal.
• Appliquer les théorèmes de Shannon au codage source et au codage canal.
• Concevoir et analyser des codes de compression et de correction d’erreurs.

• Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. The Bell system technical journal, 27(3), 379-423.
• Cover, T. M. (1999). Elements of information theory. John Wiley & Sons.
• MacKay, D. J. (2003). Information theory, inference and learning algorithms. Cambridge university press.

Calcul différentiel, analyse.

Ce cours est une introduction à l'optimisation destiné à fournir un bagage minimal (et un peu plus!) à tout futur mathématicien. Il traite à la fois des problèmes en dimension finie et infinie et couvre un certain nombre de concepts essentiels, depuis l'optimisation sans contrainte jusqu'aux problèmes à contraintes égalités et/ou inégalités ainsi que le point de vue important de la dualité pour les problèmes convexes. 

1.  Premiers éléments d'optimisation.
2. Méthodes de descentes, gradient à pas optimal.
3. Méthodes de Newton et quasi-Newton.
4. Optimisation sous contraintes d'égalité.
5. Optimisation sous contraintes mixtes.
6. Dualité pour les problèmes convexe.
7. Algorithmes proximaux.
8. Topologie faible sur les Hilbert.

• Présenter les notions fondamentales de convexité et de conditions d’optimalité.
• Étudier et comparer les principales méthodes numériques de résolution en optimisation lisse et convexe.
• Introduire les outils théoriques pour l’optimisation sous contraintes et la dualité.
• Familiariser l’étudiant avec les méthodes proximales et leurs applications.
• Donner une compréhension des résultats d’existence et de convergence dans les espaces de Hilbert.

2h de cours par semaine 2h de TD ou TP par semaine.

• Modéliser et analyser des problèmes d’optimisation convexe.
• Appliquer et comparer les principales méthodes numériques d’optimisation.
• Utiliser les conditions d’optimalité et de dualité pour traiter des problèmes sous contraintes.
• Mettre en œuvre des algorithmes proximaux pour l’optimisation convexe avancée.

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

Python, EDO, Algèbre linéaire

Ce cours présente un panorama des outils classiques pour la conception et l'étude des schémas de discrétisation servant à la résolution numériques des équations aux dérivées partielles.

Problèmes statiques ou d'évolution, linéaires ou non-linéaires, utilisation d'une grille cartésienne ou d'un maillage non-structuré, analyse via un principe de monotonie ou une formulation variationnelle. Ces différentes alternatives seront illustrées par des exemples simples, issus de la théorie mathématique du traitement de l'image, du contrôle optimal, ou de la simulation de systèmes physiques. Le temps d'enseignement sera divisé à part égales entre des cours théoriques et des séances de travaux pratiques dédiées à l'implémentation informatique des schémas numériques étudiés.

1. L'équation de Poisson et ses versions discrètes.
2. Le semigroupe gaussien et son générateur infinitésimal.
3. L'équation eikonale.
4. Maillages non-structurés.
5. Formulations variationnelles et optimisation.

• Présenter les principales méthodes de discrétisation pour la résolution numérique d’EDP.
• Comparer différentes approches numériques
• Relier la théorie mathématique à des applications concrètes (traitement d’image, simulation physique, contrôle optimal,… ).
• Développer des compétences pratiques en implémentation de schémas numériques.

2h de cours et 2h de TP par semaine

• Modéliser un phénomène complexe
• Concevoir et analyser mathématiquement des schémas numériques adaptés
• Illustrer les principes fondamentaux des EDPs
• Utiliser des outils numériques de simulation et de visualisation

Les références bibliographiques sont communiquées en cours.

1 Calcul des prédicats. Logique du premier ordre, formules, théories, modèles.
2 Théorie des ensembles. Axiomes de Zermelo-Fraenkel. Axiome du choix. Ordinaux. Cardinaux.
3 Théorie des modèles.Théorème de complétude. Théorème de compacité et applications. Ultra-produits.
4 Récursivité. Fonctions primitives récursives, récursives. Machines de Turing.
5 Arithmétique. Axiomes de Péano. Théorème d'incomplétude de Gödel.

Le but de ce cours introductif est de présenter un panorama des différentes branches de la logique.

Cours de probabilité L3 ou M1

Le programme s'organise selon 7 chapitres:

1. Outils probabilistes pour le statisticien.
2. Modélisation statistique, exhaustivité et complétude.
3. Estimation paramétrique.
4. Intervalles et régions de confiance.
5. Test d'hypothèses.
6. Modèle linéaire et modèle linéaire gaussien.
7. Eléments de théorie de l'information pour les statistiques.

En probabilité, on s'intéresse au comportement d'un processus aléatoire dont on connait la loi. En statistique, on considère donné (ou observé) un processus (ou une variable aléatoire), et l'on cherche à en déduire quelque chose de sa loi.
L'objectif du cours est de donner les fondements de la théorie mathématique statistique.

• curiosité et volonté de se plonger dans des textes mathématiques d'une autre époque et d'une autre tradition,
• pas de connaissance en histoire des mathématiques requises,
• bonne connaissance de l'anglais à la lecture.

Il sera fortement recommandé d’avoir suivi le cours de probabilités du premier semestre du M1, et en tout cas nécessaire de connaître le contenu d’un cours de L3. Il ne sera pas nécessaire d’avoir déjà pratiqué le langage Python.

Ce cours vise à reprendre un certain nombre d’éléments de la théorie des probabilités et des statistiques, en exploitant l’outil informatique pour illustrer ces éléments, observer leurs propriétés et tenter de les deviner quand on est confronté à des données ou à un modèle. L’esprit se veut proche de celui de l’épreuve de modélisation à l’oral de l’agrégation. On utilisera pour les simulations informatiques Python avec les bibliothèques Numpy et Scipy. Le plan en sera le suivant:

1. Simulation de variables aléatoires.
2. Lois classiques, représentations et analyse de données.
3. Convergence de variables aléatoires.
4. Grands théorèmes de convergence.
5. Simulation par chaîne de Markov.
6. Martingales et applications.

M. Benaïm, N. El Karoui, Promenade aléatoire, chaînes de Markov et simulations ; martingales et stratégies.
B. Bercu, D. ChafaÏ, Modélisation stochastique et simulation.
J.F. Delmas, B. Jourdain, Modèles aléatoires, applications aux sciences de l’ingénieur et du vivant.
R. Durrett, Probability : theory and examples.
V. Rivoirard, G. Stolz, Statistique mathématique en action.

L'objectif de ce cours est de parvenir à des algorithmes de preuve automatique d'identités (datant de la fin du 20ème siècle), par exemple le fait que la somme des "k parmi n" est égale à 2 puissance n, et bien d'autres identités sommatoires qu'on verrait mal comment prouver à la main ! Pour cela, de nombreux outils algorithmiques sont nécessaires, qui concernent principalement les polynômes : arithmétique, évaluation, interpolation, résultant... Ce cours combine de nouveaux résultats mathématiques avec la présentation d'algorithmes efficaces.

Le cours est accompagné de séances de travaux pratiques lors desquelles les algorithmes seront implémentés. La programmation se fera en Sage, un dérivé de Python (aucune connaissance préalable de Sage n'est exigée).

Bases en probabilités, analyse convexe, algèbre linéaire.

Il est recommandé, mais pas indispensable, d'avoir suivi la première partie du cours Mathématiques pour l'intelligence artificielle (cette partie traitant de thèmes différents).

Part 1: Sequential learning

Complement on probability: Sub-Gaussian random vector, sub-Exponential random variables, concentration inequalities.
Sequential learning problems, Stochastic Gradient Optimisation, connection with classical optimisation problems.
Learning with expert advices, adversarial environnement, mirror descent.
Learning in an unknown environnement. Exploration/exploitation trade-off, Information-Theoretic lower bounds.

Part 2: Matrix analysis for Machine Learning

Matricial problems in ML: dimension reduction, clustering, community detection.
Singular value decomposition, matrix norms, perturbation bounds
Concentration of the operator norm of random matrices, application in ML.

Le premier but de ce cours est d’apporter des compléments de topologie générale visant d’une part à mieux comprendre la nécessité de ne pas se limiter à la théorie des espaces métriques et d’autre part à préparer l’utilisation de topologies non métriques en analyse ou en algèbre.

Le second but est d’introduire la notion de théorie homologique ou cohomologique. Ces théories utilisent l’algèbre linéaire pour extraire de l’information manipulable facilement d’une trop grand quantité d’information compliquée. Le principal exemple sera l’homologie singulière des espaces topologiques, et ses applications les plus célèbres comme le théorème d’invariance du domaine, le théorème de point fixe de Brouwer, le théorème de la boule chevelue etc… Cependant il faut garder en tête que la notion de théorie homologique dépasse largement le cadre de la topologie et de la géométrie, et joue également un rôle crucial dans de nombreuses branches de l’algèbre et même dans certaines branches de la science des données.

Les deux thèmes ci-dessus seront entrelacés d’une introduction au vocabulaire de base de la théorie des catégories. Ce vocabulaire permet de mettre en lumière de façon précise des similitudes de définitions et de raisonnements entre les différentes branches de la topologie, de la géométrie, de l’algèbre et de l’informatique théorique. L’objectif principal de cette introduction sera debien comprendre la notion de propriété universelle.

4h de cours par semaine.

Les références bibliographiques seront communiquées en cours.

Le but de ce cours est de présenter quelques algorithmes modernes utilisés en cryptographie pour chiffrer des messages (notamment avec une clef publique), s'échanger des clefs, ou signer numériquement (protocoles RSA, Diffie-Hellman, El Gamal...). Pour y parvenir, on fait des rappels ou des compléments sur les objets mathématiques en jeu, principalement les corps finis et les groupes, et on étudie le problème du logarithme discret. Des algorithmes classiques en calcul formel interviennent de façon cruciale : exponentiation rapide, tests de primalité, pas de bébé - pas de géant, ...

Le cours est accompagné de séances de travaux pratiques lors desquelles les algorithmes et protocoles seront implémentés. La programmation se fera en Sage, un dérivé de Python (aucune connaissance préalable de Sage n'est exigée).

Consolidation et approfondissement des cinq compétences langagières autour d'un thème hebdomadaire choisi par l'enseignant (à titre indicatif, l'an dernier : comment définir les mathématiques, de l'utilité des mathématiques, le monde des chiffres, le Big Data, le Temps, les prix et récompenses scientifiques, Léonard de Vinci: l'homme et son œuvre (à l'occasion du 500e anniversaire de sa mort) à travers l'étude d'articles de presse, de documents audio et vidéo.

Il est indispensable d'avoir suivi un cours de probabilités de base.
Un familiarité avec des notions élémentaires de statistiques (modèle statistique, intervalle de confiance, régression linéaire) peut aider, mais n'est pas indispensable.

Cours d'algèbre L3

Le cours s'articule autour des thèmes suivants:

1. Anneaux commutatifs: anneaux noetheriens, principaux, factoriels, localisation des anneaux,
2. Modules sur un anneau commutatif: classification sur un anneau principal, produit tensoriel.
3. théorie des corps: corps de rupture, corps de décomposition, éléments primitif.
4. théorie de Galois: correspondance de Galois, contruction à la règles et au compas, radicaux.

Intégration niveau L3, topologie et calcul différentiel niveau L3

Le cours s'articule autour des chpitres suivants:

1. Théorème de Baire, Théorème de Banach (théorème de Banach-Steinhaus, théorème du graphe fermé, prolongement des applications linéaires sur un sous-espace dense), convergence faible et théorème de Hahn-Banach,
2. Espaces de Hilbert: projection orthogonale, théorème de Riesz et théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints,
3. Espaces L^p, produit de convolution, dualité,
4. Distribution en dimension 1: premières propriétés et espaces de Sobolev,
5. Solutions findamentales et théorèmes de régularité,
6. Intégrale de surface, formule des sauts.

Mesure et intégration L3

1. Espace de probabilité, variables aléatoires, distribution. Théorème de classe monotone.
2. Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli.
3. Convergence presque sûre, en probabilités, Lp. Convergence en loi, Théorème de P. Levy. Théorèmes limites : Loi forte des grandes nombres et théorème de la limite centrale. Vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires. Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires.
4. Espérances conditionnelles
5. Modèles de Galton-Watson
6. Chaîne de Markov associée à temps et espace discrets. Propriété de Markov forte. Théorie du potentiel. Récurrence et transience.
7. Martingales, sur martingales (à temps discret), inégalités de Doob. Théorème d'arrêt, théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp

Topologie et Calcul différentiel L3

Voir l'onglet programme sur https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/fr/etudiants/masters/mathematiques-et-applications/m1/mathematiques-fondamentales/

M. do Carmo, « Differential Geometry of Curves & Surfaces », Dover, 2016.
C. Godbillon, « Éléments de topologie algébrique », Hermann, 1971.
J. Lafontaine, « Introduction aux variétés différentielles », Press. Univ. Grenoble, 1996.
J. W. Milnor, « Topology from the differentiable viewpoint », Univ. Press Virginia, 1965.
F. Paulin, « Introduction topologique à la géométrie », Cours de première année de
master (M1 MF+ VH), Université Paris-Saclay, 294 pages, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~frederic.paulin/notescours/liste_notescours.html

Analyse fonctionnelle niveau L3 et un cours d'analyse fonctionnelle.

1. Théorie des semi-groupes linéaires. Théorème de Hille-Yosida. Exemples d'applications : équations de la chaleur et des ondes dans un domaine, opérateurs autoadjoints et mécanique quantique.
2. Espaces de Sobolev en dimension 1 et en dimension supérieure, application à l'étude des équations aux dérivées partielles.
3. Analyse de Fourier (espace de Schwartz, distributions tempérées, analyse de Fourier sur le tore), théorie spectrale du Laplacien.
4. Equations aux dérivées partielles d'évolution et usage de l'analyse de Fourier dans la résolution de problèmes d'évolution.

L'objectif de ce cours est de présenter un panorama des méthodes d'étude des équations aux dérivées partielles dites d'évolution, c'est-à-dire décrivant les phénomènes hors équilibre, en se limitant aux problèmes linéaires. Il s'agit donc d'un cours d'analyse, faisant suite au cours "Anallys approfindie".

Algèbre niveau L3, analyse complexe niveau L3

1. Etude approfondie de Z/nZ,
2. Fonctions arithmétiques classiques, convolution,
3. Séries de Dirichlet, fonction zéta, fonctions L, applications aux nombres premiers,
4. Fractions continues, équation de Pell,
5. Formes quadratiques binaires, nombres de classes,
6. Groupe de classes d'idéaux d'un corps de nombres, lien avec les formes quadratiques.