Our master's program M2 offers three crash courses (in differential geometry, algebra and complex analysis) in September, several fundamental advanced courses in the first term (such as algebraic geometry, number theory, ergodic theory and dynamical systems, groups and geometry - the subjects may vary slightly from year to year) and a number of more specialized courses in the second term (the subjects change regularly and completely, we try to be sufficiently diverse in our offer). Of course you are also expected to write and defend a master thesis under the guidance of a senior researcher. This can be done at Orsay mathematical department but also at another research unit if necessary.
Location
ORSAY
Course Prerequisites
M1 in fundamental mathematics or an equivalent level of qualification. Admission upon competitive exam.
Additional information
Watch the video below to know more about M2 Analysis, Number Theory, and Geometry.
Skills
Understand and proficiently use high-level mathematical tools and methods.
Conceive and write a rigorous mathematical proof.
Analyse a research paper with a view to summarising it and using it.
Clearly explain a theory and mathematical results.
Understand and mathematically model a problem in order to resolve it.
Post-graduate profile
Students will have acquired basic knowledge of modern mathematics and studied a particular area in enough depth to begin research (usually in the context of thesis preparation).
Career prospects
The main outcome of this course is to prepare students for doctoral studies in fundamental mathematics.
Collaboration(s)
Laboratories
Laboratoire de mathématiques d'Orsay.
CMLS (Ecole Polytechnique).
Programme
Seul un groupe des UEs, "Cours Fondamentaux, compte au 1er semestre. On peut les choisir comme on veut, à condition de valider 30 ECTS. De plus on peut compléter par certains cours de AMS ("cours communs AAG-AMS, à préciser dans la maquette AMS)AMS).
Title of educational component in English :
Groups and Geometry
ECTS :
15
Détail du volume horaire :
Lecture :48
Directed study :24
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinator :Bourgeois Frédéric
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
L'objectif du cours est de donner une formation générale en groupes de Lie et géométrie riemannienne. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle.
On abordera les sujets suivants :
- Groupes et algèbres de Lie, classification des groupes de Lie semi-simples, espaces homogènes.
- Fibrés vectoriels, tenseurs, connexions linéaires, torsion et courbure ; fibrés principaux
- Géométrie riemannienne : Connexion de Levi-Civita, géodésiques, théorème de Hopf-Rinow, courbures, formules de variation, champs de Jacobi, théorème de Cartan-Hadamard, théorèmes de comparaison, sous-variétés riemanniennes, géométrie à l'infini des variétés riemanniennes de courbure négative ou nulle
- Espaces symétriques et classification des espaces symétriques de type non compact.
- Structures géométriques, rigidité et déformations.
Prerequisites :
Les étudiants devront maîtriser le contenu du cours accéléré "Variétés différentielles et formes différentielles".
Bibliographie :
- S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, 1990
- W.P.A. Klingenberg : Riemannian geometry. 2nd edition. De Gruyter Studies in Mathematics 1. 1995
- J. Cheeger, D.G. Ebin : Comparison theorems in Riemannian.
AAG - Systèmes Dynamiques topologiques et différentiables
Language(s) of instruction :
FR/AN
Title of educational component in English :
Topological and Differentiable Dynamical Systems
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Lecture :25
Directed study :12.5
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinator :RUGH Hans
Procedure and organisation :
Cours + TD : 2h + 1h par semaine pendant environ 12 à 13 semaines. Examen écrit ou en forme de devoir maison.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
• Dynamique symbolique et rotations sur le cercle. Dynamique uni-modale et théorème de Sarkovski. Dynamique et entropie topologique.
• Contraction des cônes. Théorème(s) de type Perron-Frobenius, Formalisme thermodynamique de Ruelle: Pression, mesures ergodiques, mélange exponentielle.
• Dimension de Hausdorff. Repulseurs conformes est fractales. Formule de Bowen. Dynamiques complexes : Ensemble de Julia et Fatou.
• Systèmes dynamiques hyperboliques. Variétés stable/instable.
Applications de type Anosov. L'application 'chat' d'Arnold.
• Dynamique des flots. Théorème de Poincaré-Bendixon. Exposante de Lyapunov.
• Petits diviseurs et rotation irrationnelle. Théorème d'Arnold.
• Dynamique Hamiltonienne. Systèmes intégrables et théorie de KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser).
Prerequisites :
Analyse fonctionnelle de base (Topologie, Calcul différentiel, Théorie de la mesure). Connaissances rudimentaire en géométrie différentielle.
Bibliographie :
• Viviane Baladi : Positive transfer operators and decay of correlations, vol 16, Advances Series in Nonlinear Dynamics. World Sci Publ, River Edge, NJ, 2000.
• Robert Devaney : An introduction to chaotic dyn systems, Addison-Wesley, Reading MA 1989.
• Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dyn Systems, 1999.
Two classes of 2 hours, and one exercise session (Laurent Moonens) per week, for about 13 weeks. Written final exam, maybe with an oral.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
We will study collection of results of Analysis and Geometric Measure theory.
Covering lemmas, Maximal functions, Sobolev spaces, Whitney extension theorem,
BMO and John-Nirenberg's theorem, Rectifiability, results on Lipschitz and BV functions, and the such.
Prerequisites :
Certainly, some measure theory. We'll try not to rely on much more.
Bibliographie :
To give an idea of the subject:
E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions,
Princeton university press 1970;
P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean space,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 44, Cambridge University Press 1995.
4h de cours magistraux par semaine, 2h de TD. Un examen partiel (novembre) et un examen final (janvier).
Des notes (en français) et des résumés (en anglais) de cours seront donnés.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Il s'agit d'un cours qui couvre les bases de la théorie algébrique des nombres.
-algèbres simples centrales, groupe de Brauer d'un corps
-anneaux d'entiers de corps de nombres
-corps p-adiques, théorie du corps de classe local
-fonctions zeta et fonctions L, applications.
Prerequisites :
-théorie de Galois
-algèbre linéaire
-un cours élémentaire de théorie des nombres, sans être un prérequis strict, est utile.
-éléments d'analyse complexe.
Bibliographie :
-Neukirch, Algebraic Number Theory
-Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory
-Weil, Basic Number Theory
-Serre, Corps locaux
-Kato-Kurokawa-Saito, Number Theory 2.
Cours 4h/semaine, TD 2h/semaine pendant 12 semaines, avec un partiel au mi-chemin. examen autour du 20-25 janvier.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Il s'agit surtout d'introduire le vocabulaire et les outils principaux de la géométrie algébrique moderne,
avec quelques théorèmes remarquables comme illustrations.
Plan:
1) Le spectre d'un anneau commutatif, notion d'un schéma, exemple: Proj A. Polynome de Hilbert, théorème de Bezout.
2) Propriétés de base de schémas et de leurs morphismes. Produits fibrés, changement de base, fibre d'un morphisme.
3) Faisceaux (quasi)cohérents, propriétés et applications. Faisceaux amples et morphismes projectifs. Diviseurs de Weil et de Cartier. Groupe de Picard.
4) Cohomologie de faisceaux. Théorèmes d'annulation. Calculs pour l'espace projectif. Invariants cohomologiques.
Théorème de Riemann-Roch pour courbes.
Prerequisites :
Algèbre commutative, éléments de la théorie de faisceaux et de l'algèbre homologique.
Cours: 2h semaine pendant environ 12 à 13 semaines.
TD : une séance de 2h une semaine sur deux.
Examen écrit ou en forme de devoir maison.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
•Transformations qui préserve la Mesure, invariance, ergodicité, mélange.
•Récurrence de Poincaré, théorème de Kac, temps de retour,…
•Théorèmes ergodiques en moyenne et ponctuel.
•Entropie d'une mesure invariante. Théorie de l'information de Shannon.
•Invariants spectraux
•Théorème ergodique sub-additif et théorème ergodique multiplicatif.
Prerequisites :
Théorie de la mesure.
Analyse fonctionnelle de base (espace de fonctions)
Connaissance en probabilité peuvent être utiles.
Bibliographie :
Marcelo Viana and Krerley Oliveira. Foundations of ergodic theory, vo-
lume 151 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge
University Press, Cambridge, 2016.
Karl Petersen. Ergodic theory, volume 2 of Cambridge Studies in
Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge,
1989. Corrected reprint of the 1983 original.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Period(s) :
Septembre - Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
On introduira les notions de bases de l'algèbre homologique, en suivant le programme suivant
1- Catégories, foncteurs. Catégories abéliennes.
2- Injectifs et projectifs. Résolutions.
3- Foncteurs dérivés. Exemples.
4- Méthodes simpliciales.
Tout au long du cours, on utilisera des exemples provenant de divers domaines (théorie des groupes, géométries riemannienne ou algébrique, topologie).
Prerequisites :
Seules des bases d'algèbre sont nécessaires (modules sur un anneau, représentations de groupes, produit tensoriel).
Bibliographie :
An introduction to homological algebra. C. Weibel
Categories and homological algebra. Lecture note of P. Schapira.
Chaque semaine, quatre heures de cours et deux heures de "travaux dirigés". Pendant ceux-ci, sont souvent présentés des "compléments" concernant des théories sur lesquelles s'appuie le cours (théorie du groupe fondamental, cohomologie des faisceaux, etc.); ces deux heures de travaux dirigés constituent donc une part essentielle de cette UE.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours constitue une introduction à la géométrie analytique complexe, mettant l'accent sur la théorie des surfaces de Riemann et des variétés abéliennes complexes. Notamment, les grands théorèmes classiques sur les courbes algébriques et les surfaces de Riemann, comme le théorème de Riemann-Roch et le théorème d'uniformisation, y sont présentés dans une perspective moderne.
Ce cours s'adresse en premier lieu à des étudiants souhaitant s'orienter vers la géométrie algébrique et la théorie des nombres (les connaissances requises concernant l'analyse sur les variétés y sont minimales), mais devrait intéresser tous les étudiants intéressé par la géométrie, entendue dans le sens le plus large.
Prerequisites :
Maîtrise de Mathématiques Pures.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Period(s) :
Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
Location :
ORSAY
Au second semestre, comptent deux groupes d'UE: Cours Spécialisés (6 ECTS) et Cours complémentaires (3 ECTS). Le reste, soit 21 ECTS, est acquis en effectuant un stage de recherche et soutenant un mémoire de M2. En outre, les étudiants peuvent suivre des cours de langues/FLE, histoire de maths ou séminaire des étudiants (ce dernier pouvant exceptionnellement remplacer un cours accéléré).
Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but : 1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert, dimension et correspondance algèbre/géométrie). 2. Proposer une brève introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, cohomologies, résolutions injectives et projectives, foncteurs dérivés). 3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux.
Prerequisites :
Algèbre de M1.
Bibliographie :
Introduction to commutative algebra, Atiyah-Macdonald
Introduction to the theory of schemes, Manin
Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
Commutative Ring Theory, Matsumura
Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
An introduction to homological algebra, Weibel.
Title of educational component in English :
Introduction to differential geometry
ECTS :
3
Détail du volume horaire :
Lecture :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinator :Leclercq Rémi
Procedure and organisation :
Ce cours dure 20 heures, réparties sur une semaine, avec un examen (écrit) à la fin de la semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours commence par la définition des variétés différentiables et de leurs fibrés tangent et cotangent. Il présente ensuite les champs de vecteurs et leurs flots, ainsi que leurs dérivations et crochet. Vient ensuite la théorie des formes différentielles avec pour applications la cohomologie de de Rham d'une variété différentiable (en particulier son invariance et la suite exacte de Mayer-Vietoris). Il se termine avec la notion d'orientation des variétés différentiables, l'intégration des formes différentielles et la dualité de Poincaré (de la cohomologie de de Rham).
Prerequisites :
Les techniques de base de calcul différentiel dans les espaces vectoriels réels de dimension finie ; les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.
Bibliographie :
Pré-requis:
H. Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann, 2nde édition 1977 [English translation by A.J. Silberger]
Contenu:
F. Paulin Variétés différentielles et formes différentielles, Notes de cours [printed and given to students]
M. Spivak, Differential geometry, Publish or perish, 1979.
C. H. Taubes, Differential geometry, Oxford University Press, 2011. [Chapitres 1-6 et 12.].
Cours accéléré de 10 séances (dont examen) de 2h, lors d'une semaine de septembre.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Les objets de départ en Analyse Complexe à Plusieurs Variables sont les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, que l'on peut définir comme des fonctions continues, et holomorphes par rapport à chacune de leurs variables.
Comme en dimension 1 (complexe), une formule de Cauchy (itérée ici) donne l'analyticité de telles fonctions. On peut en conséquence définir, par analogie avec le cas réel, la catégorie des variétés complexes (ou holomorphes) en toute dimension complexe.
On va alors disposer de méthodes géométriques, reposant en particulier sur le formalisme des courants (généralisation aux variétés de la notion de distribution), adaptées à l'étude d'un phénomène nouveau par rapport à la dimension 1, à savoir la possibilité dans de nombreux cas de pouvoir prolonger toutes les fonctions holomorphes d'un ouvert donné de $\mathbb{C}^n$ ($n\geq 2$). Il s'agira plus précisément dans ce cours d'aborder la résolution de ce problème, consistant en une caractérisation des domaines d'holomorphie, ainsi que sa généralisation aux variétés.
À travers son contenu, cet enseignement donnera l'occasion de se familiariser avec la Géométrie différentielle,
– et plus précisément la Géométrie complexe, utile avant une orientation vers la Géométrie algébrique. Les notions d'Analyse harmonique abordées en feront également une première introduction aux thématiques liées à l'étude des EDP (elliptiques).
Prerequisites :
• Analyse complexe en une variable ;
• Théorie des distributions ;
• Rudiments de géométrie différentielle.
Bibliographie :
Complex Analytic and DIfferential Geometry de J.-P. Demailly (disponible sur la page web de l'auteur).
Ce module optionnel sera organisé, dans la proportion de moitié/moitié, en cours et TD. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche secondaire (partiellement en langue anglaise).
L'évaluation se fait sur base d'un travail personnel (individuel ou en tandem), constitué d'un exposé et d'une rédaction écrite finale (env. 10 pages). Chaque étudiant/couple d'étudiants travaillera sur un autre texte d'origine chinoise (traduit en français ou en anglais) et l'analysera en comparaison avec une thématique équivalente provenant de la tradition occidentale ou des mathématiques modernes.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera dans une perspective comparative entre tradition occidentale et tradition chinoise des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs culturels.
Prerequisites :
- curiosité et volonté de se plonger dans des textes mathématiques d'une autre époque et d'une autre tradition,
- pas de connaissance en histoire des mathématiques requises,
- bonne connaissance de l'anglais à la lecture.
Bibliographie :
---. Bréard, Andrea. Nine Chapters on Mathematical Modernity. Springer, 2019.
---. Gray, Jeremy J. Plato’s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008).
---. Lloyd, G.E.R. “The Conception and Practi.
Soutenance en présence de deux membres du jury, en principe courant juillet, au pire autour du 1er septembre.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Chaque étudiant doit choisir un directeur du stage, normalement courant février. Ensemble ils choisissent un sujet,
l'étudiant l'apprend en profondeur (ce qui peut mener à des résultats nouveaux, mais ce n'est pas requis), il écrit un mémoire et le soutient.
On introduira le problème de rigidité et les techniques de base pour l'aborder, on expliquera ensuite comment traiter plusieurs cas, en particulier en dimension 2 où l'on sait maintenant résoudre une grande partie des questions sur le sujet.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Un problème ancien en géométrie Riemannienne est de savoir si les longueurs des géodésiques permettent de déterminer/identifier la métrique Riemannienne. Cet ensemble de longueurs s'appelle le spectre des longueurs de la métrique Riemannienne. Ce problème se pose par exemple pour une variété compacte sans bord, où dans ce cas les géodésiques dont on peut mesurer la longueur sont les géodésiques fermées, mais elle se pose aussi dans le cas d'une variété à bord où on peut considerer les longueurs des géodésiques qui relient les points du bord.
On dit qu'une métrique est rigide si elle est la seule à isométrie près à avoir son spectre de longueurs (par exemple pour la sphere canonique c'est $2\pi N$). On expliquera comment aborder ces problèmes, qui sont aussi liés à des questions de tomographie et on traitera plusieurs exemples où des résultats positifs sont connus.
Prerequisites :
Les pré-requis sont: géométrie différentielle et métriques riemanniennes, des techniques d'analyse de niveau master, éventuellement quelques connaissances de systèmes dynamiques élémentaires.
Bibliographie :
* S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry - Gallot-Hulin-Lafontaine, Springer Universitext
* G. Paternain, Inverse Problems in geometry and dynamics - Lecture notes by Gabriel Paternain (https://www.dpmms.cam.ac.uk/~gpp24/ipgd(3).pdf)
* G. Paternain, Geodesic Flows, Birkhauser Progress in Math 180
* C. B. Croke, Rigidity and the distance between boundary points, J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2, 445–464.
* J-P. Otal. Le spectre marqué des longueurs des surfaces à courbure négative. Ann. of Math. (2), 131(1):151–162, 1990.
* V. Guillemin and D. Kazhdan, Some inverse
Title of educational component in English :
Introduction to compact quantum groups
ECTS :
6
Détail du volume horaire :
Lecture :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinator :Freslon Amaury
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Les groupes quantiques compacts généralisent à la fois les groupes compacts et les groupes discrets. De ce fait, il sont reliés à de très nombreux domaines des mathématiques : algèbres d'opérateurs, catégories tensorielles, théorie des noeuds, théorie quantique de l'information et probabilités libres. L'objectif de ce cours est de donner une introduction détaillée à la théorie sous-jacente et d'explorer des classes d'exemples centrales dans la recherche actuelle. L'étude de ces exemples nous mènera à développer des outils combinatoires inspirés des probabilités libres, dont nous illustrerons certaines applications. Ensuite, nous verrons comment décrire la structure topologique et mesurée (au sens de la géométrie non-commutative) de ces objets.
Prerequisites :
Aucun.
Bibliographie :
S. Neshveyev and L. Tuset, "Compact quantum groups and their representation categories", SMF, 2013
T. TImmermann, "An invitation to quantum groups and duality", EMS, 2008.
Title of educational component in English :
Metric number theory
ECTS :
6
Détail du volume horaire :
Lecture :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinator :Durand Arnaud
Procedure and organisation :
20h de cours (8 séances hebdomadaires de 2h30).
Le cours pourra être donné en français ou en anglais selon l'auditoire.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
La théorie métrique des nombres a pour objet de décrire la taille, ainsi que la géométrie, des ensembles de nombres réels décrits par certaines propriétés arithmétiques, comme par exemple la qualité de leur approximation diophantienne par des nombres rationnels ou algébriques, ou la nature de leur développement décimal ou dans d'autres bases.
Le cours présentera les outils principaux pour mener ce genre d'étude, et les illustrera par plusieurs exemples. On abordera en particulier les thèmes suivants :
- notions de théorie géométrique de la mesure, mesures et dimension de Hausdorff et de packing ;
- exemples d'ensembles obtenus par des restrictions sur les fréquences des digits dans le développement en base b ;
- notions d'ubiquité et de principe de transfert de masse, propriétés de taille et de grande intersection, cas des ensembles de type limsup ;
- problèmes issus de la théorie métrique de l'approximation diophantienne, approximation par des nombres rationnels ou des nombres algébriques.
Selon l'auditoire, on pourra aussi traiter de l'analyse multifractale de la fonction de Riemann et des séries de Davenport, ou des ensembles exceptionnels en dynamique.
Prerequisites :
Le cours nécessite peu de pré-requis : juste des connaissances élémentaires en analyse réelle, théorie de la mesure et en arithmétique.
Bibliographie :
V. Beresnevich, D. Dickinson, and S. Velani. Measure theoretic laws for limsup sets. Mem. Amer. Math. Soc., 179(846):1–91, 2006.
V. Beresnevich and S. Velani. A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures. Ann. of Math. (2), 164(3):971–992, 2006.
A. Durand, Topics in Metric Number Theory, livre en préparation disponible sur https://www.math.u-psud.fr/~durand/
K. Falconer. Fractal geometry: Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons Inc., Chichester, 2nd edition, 2003.
C. Rogers. Hausdorff Measures. Cambridge University Press
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Period(s) :
Janvier - Février - Mars - Avril.
Location :
ORSAY
Modalités de candidatures
Application period
From 01/03/2024 to 30/06/2024
Compulsory supporting documents
Motivation letter.
All transcripts of the years / semesters validated since the high school diploma at the date of application.
Curriculum Vitae.
Additional supporting documents
Detailed description and hourly volume of courses taken since the beginning of the university program.
VAP file (obligatory for all persons requesting a valuation of the assets to enter the diploma).
The application procedure, which depends on your nationality and your situation is explained here : https://urlz.fr/i3Lo.
Supporting documents :
- Residence permit stating the country of residence of the first country
- Or receipt of request stating the country of first asylum
- Or document from the UNHCR granting refugee status
- Or receipt of refugee status request delivered in France
- Or residence permit stating the refugee status delivered in France
- Or document stating subsidiary protection in France or abroad
- Or document stating temporary protection in France or abroad.
