LDD3 Mathématiques cursus ENS

Lorsque les systèmes d'équations différentielles ordinaires n'interviennent pas directement dans la modélisation des phénomènes physiques, chimiques, biologiques ou bien encore dans les modèles financiers, ces systèmes apparaissent après des semi-discrétisations en espace d'EDP, il s'agit alors de systèmes pouvant aller jusqu'à plusieurs centaines de millions d'inconnues. Les questions qui se posent naturellement portent sur l'existence, l'unicité et la durée de vie des solutions des problèmes de Cauchy.
Les systèmes disposant de solutions s'exprimant de façon explicite sont plutôt rares en particulier pour les systèmes non linéaires. L'étude qualitative et/ou numérique s'avère un outil mathématique essentiel. Les questions qu'il convient alors de se poser concernent la qualité et la précision des solutions numériques, sur la conservation des propriétés physiques, sur le comportement des solutions transitoires ou à long terme, sur le comportement des solutions au voisinage des points stationnaires.
Ce cours regarde toutes ces questions et s'intéresse également aux méthodes de quadrature, d'interpolation et de résolution des problèmes non linéaires forts utiles pour la construction ou la mise en oeuvre des schémas numériques. L'étude de problèmes aux limites est également abordée. Le cours traite en parallèle les aspects théoriques et les aspects numériques lors de TP en python.

PLAN DU COURS

1. Théorèmes d'existence et unicité de solutions
2. Systèmes différentiels linéaires et non linéaires. Analyse
   qualitative. Etude des points critiques. Théorème de stabilité de
   Lyapunov.
3. Méthodes numériques pour la résolution des EDO.
4. Applications aux problèmes aux limites.
5. Représentation des nombre réels et étude des erreurs d'arrondi
6. Interpolation et intégration approchée
7. Résolution d'équations ou systèmes non linéaires

Polynômes trigonométriques
Transformée de Fourier Discrète
Séries de Fourier
Intégrale de Lebesgue, espaces Lp et convolution
Espaces de Hilbert: algèbre et géométrie
Espaces de Hilbert: analyse
Exemples de bases hilbertiennes
Transformée de Fourier
Introduction aux distributions
Espaces de Sobolev périodiques
EDP linéaires dans les espaces de Sobolev périodiques
Interprétation variationnelle des EDP linéaires

Un séminaire "Panorama de la recherche", quasi hebdomadaire, est l'occasion de découvrir la recherche en mathématiques et les thématiques actuelles.
Il sera également accompagné d'un groupe de lectures d'articles de mathématiques.

Stage d'initiation à la recherche au Centre Borelli, par groupe de 2, sur les thématiques de mathématiques appliquées développées au laboratoire.

Préparation au IELTS.

THEORIE DES GROUPES
Echantillonage irrégulier par homographie : stage de L3 promo 2015. (J.-T. De Laroche de Saint-André)

Définitions (sous-groupe, sous-groupe distingué, quotient, factorisation d'un morphisme...) Ordre d'un groupe fini. Théorème de Lagrange. Exemples des groupes cycliques. Opération d'un groupe sur un ensemble : orbites, stabilisateurs. Exemples d'opérations usuelles. Classes de conjugaison dans un groupe, classes de conjugaison de sous-groupes... Applications : p-groupes, théorèmes de Sylow,... Parties génératrices de groupes . Décomposition d'un groupe : produits directs et semi-directs. Groupes classiques (linéaire, orthogonal...) Exemples de groupes simples. THEORIE DES ANNEAUX Définitions (anneaux, idéaux, quotients, factorisation d' un morphisme) Anneaux principaux, anneaux euclidiens. k[X]. Polynômes irréductibles THEORIE DES CORPS Corps de fractions d'un anneau intègre. Q. K(X). Caractéristique d'un corps. Sous-corps premier. Homomorphisme de Frobénius en caractéristique p. Corps finis.

Notions élémentaires de topologie (espaces de Banach)
Théorème du point fixe; Théorème de Cauchy-Lipschitz
Différentiabilité, inégalité de la moyenne et formules de Taylor
Théorèmes d'inversion locale et théorèmes des fonctions implicites, submersion, immersion, théorème du rang constant
Sous-variétés de Rn
Optimisation

THEORIE DE LA MESURE

    Tribus, mesures, théorème de Dynkin. Intégration abstraite : intégration des fonctions mesurables positives, théorème de convergence monotone et de Fatou ; fonctions intégrables, convergence dominée, de dérivation sous le signe somme.    Construction de mesures : théorème d'extension de Carathéodory. Cas de la mesure de Lebesgue sur R^d. Formule de changement de variables. Intégrale de Stieljes, mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz.    Mesures produits, théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini-Lebesgue. Intégration par parties.    Espaces Lp, inégalité de Jensen, Hölder et Minkowski, théorèmes de densité (pas de preuves ici, la théorie générale n'est pas faite dans ce cours). Dérivée de Radon Nykodyn. INTRODUCTION AUX PROBABILITES    Introduction historique. Langage probabiliste et modélisation.    Variables aléatoires, espérance mathématiques. Loi d'une variable aléatoire et lois classiques. Moments, fonctions caractéristiques, théorème d'injectivité. Fonctions génératrices.    Indépendance: définitions et caractérisations. Théorème des coalitions. Tribu asymptotique, loi du tout ou rien, lemmes de Borel-Cantelli. Loi fortes des grands nombres. Applications.    Convergence en loi : définitions et caractérisations, théorème de Levy. Comparaison des différents modes de convergences. Théorème central limite. Applications.

Stage d'initiation à la recherche au CMLA, par groupe de 2, sur les thématiques de mathématiques appliquées développées au laboratoire.

la révolution quantique au début du 20ème siècle la mécanique ondulatoire : une première approche des idées fondamentales de la mécanique quantique. les outils mathématiques. les postulats de la mécanique quantique. discussion des postulats

Le premier objectif de cette UE est d'assimiler les bases mathématiques du formalisme quantique (approche ondulatoire, notation Dirac). La seconde partie concerne l'énoncé et la discussion des postulats de la mécanique quantique.

A l'issue de cette UE, l'étudiant(e) sera tout d'abord à même d'utiliser le formalisme ondulatoire et la notation de Dirac dans toute sa généralité.
L'étudiant.e sera aussi capable d'énoncer les postulats et d'en donner une interprétation physique dans quelques cas élémentaires. Enfin, l'étudiant.e sera à même de mener une discussion sur quelques paradoxes comme le paradoxe EPR.

Le cours est structuré comme suit :
Calculabilié :

Machines de Turing Fonctions récursives

Complexité :

Introduction aux classes de complexité La classe NP La classe PSPACE La classe PTIME La classe NLOGSPACE Inclusions strictes entre classes

Ce module est composé de trois mini-cours de chacun 3 semaines, où sont abordées les notions de base dans les domaines suivants:

Introduction aux systèmes complexes en SHS
Théorie géométrique de la mesure
Approximation des EDP

I. Fonctions holomorphes: définitions; holomorphie des séries entières; les conditions de Cauchy-Riemann. Fonctions analytiques: analyticité des séries entières; zéros des fonctions analytiques.

II. La théorie de Cauchy: intégration le long d’un chemin dans le plan complexe; homotopie de chemins et formule de Cauchy; développement en séries entières et en séries de Laurent.

III. Constructions de fonctions analytiques: primitives; théorème de Morera; limites, sommes et intégrales; produits infinis.

IV. Fonctions méromorphes: définitions; fonctions méromorphes sur C; fonctions trigonométriques et fonctions elliptiques; la fonction Gamma.

V. Le théorème des résidus et ses applications: indice d’un lacet par rapport à un point; ouverts élémentaires; le théorème des résidus; applications aux zéros et aux pôles des fonctions méromorphes; calcul d’intégrales.

VI. Représentation conforme: topologie sur l’espace des fonctions analytiques; théorème de Montel; théorème de Riemann.

VII. Transformation de Fourier et fonctions holomorphes: transformation de Fourier et formule des résidus; la formule de Poisson; théorèmes de Paley-Wiener et espaces de Hardy.