M1 Analyse, Modélisation, Simulation

Fonctions à plusieurs variables, notions de calcul différentiel.

1. Introduction et rappels d’analyse

• exemple de problème d’optimisation de formes en mécanique
• formules de Taylor
• rappel des conditions d’optimalité avec et sans contraintes

1. Méthodes de descente sans contrainte (descente avec recherche linéaire, Newton et
   quasi Newton)
2. Méthodes de descente avec contraintes (gradient projeté, pénalisation externe, algorithme d’Uzawa)
3. Méthodes de nature stochastique

• Introduction. Exemples.
• Convexité : ensembles convexes, fonctions convexes, propriétés.
• Optimisation sans contraintes : conditions d’optimalité d’ordres 1 et 2.
• Optimisation avec contraintes : Théorème de Karush-Kuhn-Tucker, multiplicateurs de
  Lagrange. Cas d’un programme convexe.
• Programmation linéaire. Méthode du simplexe.
• Calcul de variations
• Exemples
• Conditions d’optimalité avec extrémités fixes. Equations d’Euler-Lagrange.
• Cas d’extrémités libres. Conditions de transversalité.
• Méthodes numériques : méthodes de descente (de gradient, de quasi-newton, etc.),
  méthodes stochastiques (récuit simulé, algorithmes génétiques, etc.).

De très nombreux problèmes en industrie, en physique et en économie consistent en la minimisation (ou la maximisation) d’une fonction objective. Ce cours vise à présenter un grand nombre de méthodes numériques qui ont été développées pour résoudre de tels problèmes. Ces méthodes peuvent être locales ou globales, déterministes ou stochastiques. De nombreux exemples seront implémentés sur machine afin d’illustrer l’emploi en pratique de ces méthodes.

- Ph. G. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et Optimisation, Masson,
1988.
- J. F. Bonnans, Optimisation continue : cours et exercices, Dunod, 2006.
- H. B. Hiriart-Urruty and C. Lemaréchal, Convex analysis and minimization algorithms, Vol. I, II, Springer-Verlag, 1993.

Notions sur les distributions et les espaces de Sobolev (suggérés mais non obligatoires)

EDP elliptiques :

• Rappels sur les distributions et les espaces de Sobolev
• Formulation variationnelle
• Théorème de Lax-Milgram
• Etude de la méthode des éléments finis en 1D et en 2D
  EDP hyperboliques :
• Equation de transport et équation des ondes
• Introduction à la méthode des volumes finis
  EDP paraboliques :
• Equation de la chaleur
• Introduction à la méthode des différences finies

L’objectif de ce cours est de proposer une introduction à l’analyse mathématique et à l’approximation numérique des solutions de certaines équations aux dérivées partielles (EDP).
Ces équations interviennent de manière récurrente dans de nombreuses applications, qu’il
s’agisse d’ingénierie mécanique et physique (aéronautique, nucléaire, ingénierie pétrolière,
automobile...) ou de finance, d’économie, de chimie...etc.
Nous présenterons des résultats importants d’analyse théorique des EDP ainsi que les trois
grandes classes de méthodes numériques associées (méthode des éléments finis, méthode des
volumes finis et méthode des différences finies).
L’objectif de ce cours est également d’apporter aux élèves une première expertise numérique
pour la résolution des équations aux dérivées partielles en leur proposant de programmer,
de tester et de comparer différentes méthodes sur des problèmes concrets.

- Pierre-Arnaud Raviart, Jean-Marie Thomas : Introduction à l’analyse numérique des
équations aux dérivées partielles, éditions Dunod 1998.
- Brigitte Lucquin : Equations aux dérivées partielles et leurs approximations, Ellipses, 2004.
- E. Godlewski et P.-A. Raviart : Hyperbolic systems of conservation laws, Ellipses 1991.
Lawrence C. Evans : Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics,
Vol. 19, AMS.
- C. Strikwerda : Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations, SIAM 2004.
- L. Hörmander : Lectures on Nonlinear Hyperbolic Differential Equations, Springer
1997. 

- F. Lagoutière : Polycopié de cours sur les Equations aux dérivées partielles et leurs
approximations, Université Paris-Sud.

Analyse et algèbre linéaire et matriciel de licence

• Eléments et bases de la programmation en Langage C (ou en Python).
• Rappels sur les méthodes directes pour la résolution de systèmes linéaires
• Méthodes itératives classiques (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation).
• Méthodes itératives modernes. Méthodes des sous-espaces de Krylov.
• Calcul de valeurs propres.
• Schémas de résolution d’équations différentielles.
• Méthode des différences finis.
• Introduction à la méthode des éléments finis (problèmes aux limites 1D et 2D)

Le but de cette UE est de préparer les étudiants aux bases de la programmation et du calcul
scientifique et à la modélisation. Elle comporte essentiellement trois parties.
La première partie du cours sera dédiée à la maitrise des éléments fondamentaux d’un langage de programmation de type C ou Python. L’apprentissage du langage sera accompagné
d’une mise en oeuvre de quelques algorithmes numériques.
La deuxième partie sera consacrée aux méthodes numériques modernes et leur implémentation. Il s’agira essentiellement de la résolution de systèmes linéaires, des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles. On y abordera aussi l’étude de problèmes issus de la modélisation mathématique de phénomènes rencontrés dans d’autres disciplines (physique, biologie, sciences de l’ingénieur, science de données, etc.).
La troisième partie consistera en la réalisation d’un projet.

- J. Stoer et R. Bulirsh, Introduction to numerical analysis, Springer (2nd edition).
- : Ph. G. Ciarlet, Introduction à l’analyse numérique matricielle et Optimisation, Masson, 1988.
- Introduction au calcul scientifique. Aspects algorithmiques, P. Ciarlet, en ligne.
-  R. Herbin, Analyse numérique des équations aux dérivées partielles, HAL, en ligne.
- A. Ern et J.-L. Guermond, éléments finis : théorie, applications, mise en oeuvre, Springer.

- analyse mathématique de Licence.

- algèbre linéaire de Licence.

- Ensembles et fonctions convexes;
- Sous-différentiels, programmes convexes, moindres carrés;

- Théorèmes de séparation
- Programmation linéaire, Modélisation et Résolutions simples;
- Algorithme de simplexe;
- Dualité en programmation linéaire;
- Problème de transport, Nord-ouest, Balas-Hammer, Stepping Stone;
- Méthode Branch and Bound (Separation et évaluation).

- R. Tyrrell Rockafllar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970
- Ivar Ekeland and Roger Temam,  Convex analysis and Variational problems, American Elsevier Publishing, 1976.
- Jean-Baptiste Hiriart-Urruty,  Optimisation et analyse convexe, EDP Sciences, 2009.
- Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge university press, 2004.

Fonctions de plusieurs variables, Calcul différentiel, Calcul intégral, Espaces vectoriels normés

• Rappels de topologie générale et espaces vectoriels normés.
• Analyse hilbertienne: espaces de Hilbert, projection orthogonale, bases hilbertiennes.
• Théorème de Riesz-Fréchet et Théorème de Lax-Milgram.
• Eléments sur les Distributions.
• Analyse de Fourier : séries de Fourier et transformation de Fourier. Distributions tempérées.
• Espace H1, espaces Hm, densité, notion de trace, inégalités de Poincaré et de Poincaré-Wirtinger,
• Applications à des équations aux dérivées partielles stationnaires (équation de Poisson dans des domaines bornés, etc.).

Ce cours commencera par des rappels de topologie générale, suivis d'une introduction à des outils de l'analyse hilbertienne.
On abordera ensuite la théorie des distributions, la transformation de Fourier et les espaces de Sobolev de type Hm. On terminera
par l'utilisation de ces outils dans l'étude de quelques équations aux dérivées partielles stationnaires de base.

Pierre-Arnaud Raviart; Jean-Marie Thomas : Introduction à l’analyse numérique des
équations aux dérivées partielles, Dunod, 1998.
Haïm Brézis, Analyse fonctionnelle, Dunod, 1983.
Lawrence C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics,
Vol. 19, AMS.
Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann,
1961.
Claude Zuily, Distributions et équations aux dérivées partielles, Hermann, 2001.

théorie de l'intégration, topologie générale, analyse hilbertienne, analyse de Fourier, distributions.

• Compléments sur les espaces de Hilbert, notamment la convergence faible dans les espaces de Hilbert.
• Éléments d'analyse fonctionnelle : rappels sur les espaces de Banach, théorème de Baire, théorème de Banach-Steinhaus, théorème de l'application ouverte.
• Analyse spectrale dans les espaces de Hilbert : opérateurs bornés, spectre et valeurs propres, opérateurs compacts, théorie de Fredholm, opérateurs auto-adjoints, théorème spectral.
• Étude de quelques EDP d'évolution par l'analyse de Fourier (équation de la chaleur et équation des ondes).
• Introduction aux semi-groupes dans les espaces de Hilbert
• Application de la notion de semi-groupe à la résolution de quelques EDP d'évolution linéaires

L'objectif de ce cours est de compléter les connaissances des étudiants en analyse fonctionnelle et en théorie spectrale pour aborder l'étude des équations aux dérivées partielles (EDP) linéaires, notamment les EDP d'évolution.
La notion de semi-groupe sera abordée à la fin du cours et appliquée à quelques équations linéaires classiques.

Haïm Brézis, Analyse fonctionnelle, Dunod, 1983.
Claude Zuily, Distributions et équations aux dérivées partielles, Hermann, 2001.
Lawrence C. Evans, Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics,
Vol. 19, AMS.

Fonctions de plusieurs variables, Calcul différentiel, suites et séries numériques, séries de fonctions, bases de la topologie.

I. Elasticité tridimensionnelle

• Description et dérivation du modèle mathématique
• Equations d'équilibre et équations constitutives.
• Inégalités de Korn.
• Etude mathématique des équations d'élasticité linéaire.

II. Introduction à la plasticité parfaite.

III. Equations de la mécanique des fluides

• Equations de Stokes et de Navier-Stokes.
• Etude mathématique des équations de Stokes.

IV. Equation d'Helmholtz

• Fonctions de Bessel sphériques.
• Harmoniques sphériques
• Problème extérieur à une sphère
• Formulation intégrale.

Le but de ce cours est de présenter et analyser des exemples d'équations aux dérivées partielles issues de la physique, essentiellement dans le cas stationnaire. L'accent sera mis sur les équations issues de la mécanique du solide, de la mécanique des fluides et de l'acoustique.
En mécanique du solide, on étudiera les équations de l'élasticité linéaire tridimensionnelle en présentant la dérivation du modèle conduisant à ces équations, puis en les étudiant dans le cas stationnaire.
Les principes généraux de la plasticité parfaite pourraient aussi être abordés.
En mécanique des fluides, on commencera par une présentation des équations de Navier-Stokes dans les cas stationnaire et instationnaire, puis du système de Stokes. Ce dernier système sera analysé mathématiquement.
On abordera aussi l'équation de Helmholtz tridimensionnelle qui apparaît dans plusieurs problèmes de physique, notamment en acoustique.
D'un point de vue mathématique, on utilisera de nombreux outils mathématiques pour étudier les équations rencontrées: espaces de Sobolev, inégalités de Korn, théorèmes de Lax Milgram et de Babuska-Brezzi, systèmes div-rot et problèmes de potentiel vecteurs, harmoniques sphériques, fonctions de Bessel sphériques, fonctions spectrales, etc.
Le cours se veut dynamique et pourrait inclure d'autres équations de la physique mathématique.

1. F. Assous, P. Ciarlet, S. Labrunie, { Mathematical Foundations of Computational Electromagnetism. Springer, 2018.
2. Ph. G. Ciarlet, Lectures on Three-Dimensional Elasticity, Tata Institute of Fundamental Research, 1983.
3. L. C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998.
4. V. Girault and P. A. Raviart, Finite Element Methods for the Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms, Springer, 1988.
5. J.-C. Nédélec, Acoustic and electromagnetic equations: integral representations for harmonic problems, Springer, 2001.

Le module est consacré principalement à l’étude des chaînes de Markov à espace d’états discret, avec des applications aux marches aléatoires et à des processus à valeurs dans un espace d’états discret. Nous approfondirons les notions d’espérance conditionnelle et de loi conditionnelle.

• Analyse d’algorithmes, modèles de complexité, complexité asymptotique, classes de complexité.
• Structures de données et algorithmes : ordonnancement, piles, files, tables de hachage, arbres, graphes.
• Programmation dynamique, programmation linéaire entière.
• Algorithmes arithmétiques : multiplication, pgcd, multiplication de matrices.
• Algorithmes géométriques : programmation linéaire, diagrammes de Voronoï

Introduction aux techniques de conceptions d’algorithmes et d’analyse de performances.

TPs sur machine avec environnement Python/Sage.

Thomas H. Cormen. Charles E. Leiserson. Ronald L. Rivest. Clifford Stein. Introduction to Algorithms. Third Edition. The MIT Press. Cambridge, Massachusetts. Christos H. Papadimitriou. Computational complexity. Addison-Wesley, 1994. 523 pages.

Algèbre et analyse de licence

• Objets de base : Les grands entiers, les polynômes à 1 variable.
• Représentation. Addition et soustraction. Multiplication. Division euclidienne.
• Algorithme d’Euclide : pgcd, identité de Bézout. Applications.
• Arithmétique modulaire. Théorème chinois des restes.
• Evaluation et interpolation (polynômes de Legendre). Changement de représentation.
• Multiplication rapide : Karatsuba ; transformée de Fourier discrète.
• Division euclidienne rapide grâce à Newton.
• Evaluation et interpolation rapides. Théorème chinois des restes rapide.
• Algorithme d’Euclide rapide.
• Algèbre linéaire rapide : multiplication de matrices selon Strassen.
• Factorisation de polynômes sur un corps fini (Gauss).

Ce cours est une initiation au Calcul formel (Computer Algebra en anglais). Celui-ci s’intéresse aux méthodes qui permettent de trouver des résultats de façon :

• Exacte (par opposition au Calcul numérique).
• Effective (par opposition aux théorèmes purement existentiels).
• Efficace (par opposition aux calculs dont la faisabilité est purement théorique). L’outil de base est donc l’algorithme, dont on verra divers types. La question de l’efficacité donnera lieu à des analyses de complexité.

Une partie non négligeable du cours se passera devant des ordinateurs, et sera consacrée à implémenter des algorithmes vus en cours en s’appuyant sur des logiciels de calcul formel tels que Sage.

J. Von zur Gathen & J. Gerhard, Modern Computer Algebra, 3rd Edition, Cambridge University Press (2013). V. Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, 2nd Edition, Cambridge University Press (2008).

• Graphes et optimisation
• Programmation linéaire (simplexe, dual)
• Programmation linéaire en nombre entiers (modélisation, approximation heuristiques, branch and bound)
• Processus de décision de Markov : modélisation et algorithmes de résolution
• Recherche opérationnelle en-ligne : modélisation et algorithmes de résolution
• Introduction aux méthodes méta-heuristiques

Acquisition de méthodes fondamentales en optimisation et notamment en recherche opérationnelle

• Notions de types abstraits
• Principes de la programmation objet (objets, classes etc …)
• Relations, héritage, classes abstraites
• Types abstraits, polymorphisme
• Présentation/étude de C++
• Comparaison de C++ et de Java
• Introduction aux principales bibliothèques de calcul scientifique

Maîtriser la programmation objet et savoir l’appliquer au calcul intensif. (langage de référence : C++)

Algèbre linéaire. Quelques éléments d’algèbre. Théorie élémentaire des probabilités.

• Notions de base en théorie de l’information (entropie, information mutuelle).
• Algorithmes de compression sans perte (étape 1 de la chaîne de codage).
• Théorie des codes correcteurs d’erreurs (étape 3 de la chaîne de codage).
• Canal sans mémoire à temps discret. Notion de capacité. Théorème de codage pour un canal bruyant. Principe de décodage par maximum de vraisemblance. Borne sur la probabilité d’erreur de décodage.
• Théorie des codes correcteurs en blocs. Distance minimale et problématique des bornes sur la taille d’un code. Notion de code parfait.
• Codes linéaires. Matrice génératrice et matrice de parité. Décodage par syndrome. Codes duaux. Polynôme énumérateur des poids. Identité de Mac-Williams.
• Etude de certaines familles de codes linéaires (en bloc) et algorithmes de décodage.
• Codes convolutionnels et algorithme de Viterbi.

Le but d’un système de communication est le transport d’information d’une source à un destinataire via un canal de communication. Ce canal possède en général des imperfections ce qui peut engendrer des erreurs de transmission. Aussi, le canal peut être sujet à des écoutes ce qui peut poser des problèmes de confidentialité. Finalement, l’utilisation d’un canal a un coût, il est donc important d’optimiser son usage. Pour répondre à ces différentes exigences, on effectue un prétraitement de l’information ; il s’agit de la chaîne de codage. Celle-ci se divise en trois étapes : compression, chiffrement et ajout de redondance. Ces techniques font appel à la théorie des probabilités et à l’algèbre discrète. Ce cours présente les bases de la première et la troisième étape de la chaîne de codage, la seconde étant abondamment étudiée dans des cours de cryptographie.

The Theory of Error-Correcting Codes. F. J. MacWilliams, N. J. A. Sloane North Holland Publishing Co. 1977. Théorie des codes (Compression, cryptage, correction). J.-G. Dumas, J.-L. Roch, E. Tannier et S. Varrette, Dunod 2007.

Ce cours introduit les fondements théoriques de la statistique avancée et de l’apprentissage automatique. Il fournit les outils nécessaires pour comprendre et analyser les méthodes d’inférence et de modélisation utilisées en science des données.

Le contenu couvre l’inférence pour la fonction de répartition, les méthodes d’estimation dans les modèles à densité (Z et M-estimateurs), ainsi que la notion d’information statistique et la théorie asymptotique. Les tests d’hypothèses sont abordés sous l’angle de leur construction, de leur interprétation et de leur utilisation dans différents contextes d’inférence.

Le cours traite également des inégalités de concentration et de la quantification de l’incertitude. Enfin, il présente la théorie de l’apprentissage statistique, notamment la formulation des problèmes d’apprentissage, la minimisation du risque empirique, les inégalités de concentration associées et la théorie des processus empiriques.

Ces interventions visent à présenter les différents aspects du métier de data scientist et à mettre les étudiants en contact avec des entreprises ou des laboratoires de recherche, susceptibles de proposer des opportunités de stage. 

Cette UE est mutualisée avec le M2 Mathématiques et Apprentissage Statistique.