LDD3 Mathématiques, Physique et Applications

Analyse de 2ème année

Théorie générale de l'intégration : espaces mesurables, mesures positives, intégration de fonctions positives
Construction de la mesure de Lebesgue
Espaces de fonctions intégrables : inégalité de convexité, théorème de convergence dominée et théorèmes de continuité et de dérivabilité des intégrales paramétrées
Mesures et espaces produits
Mesure de Lebesgue sur R^d
Changement de variables
Convolution
Mesure image
Compléments : Transformée de Fourier dans L1 et transformée de Fourier des mesures finies

Comprendre et savoir utiliser la théorie de la mesure, l'intégrale de Lebesgue, et les principaux théorèmes correspondants.

1/3 cours, 2/3 D, contrôle continu et examen final

Guy Auliac, Christiane Cocozza-Thivent, Sophie Mercier, Michel Roussignol, Intégration et Proba- bilités, Collection Objectif licence 3e`me année, éditions Edisciences, 2005

Walter Rudin : Analyse réelle et complexe : Cours et exercices, éditions Dunod 2009

Notions de continuité, de dérivation, de topologie métrique élémentaire du plan

Séries entières et fonctions analytiques
Fonctions holomorphes
Intégrales curvilignes. Théorèmes et formule de Cauchy
Points singuliers. Fonctions méromorphes
Théorème des résidus ; application au calcul d’intégrales

Acquisition des bases de l’analyse complexe moderne

1/3 cours, 2/3 TD
Contrôle continu et Examen final

Henri Cartan : théorie élémentaire des fonctions analytiques (Hermann)

Description d'un fluide; Notion de pression, loi hydrostatique; Théorème d'Archimède; Cinématique des fluides; Equations de conservation d'un fluide parfait ou newtonien incompressible et conditions aux limites; Théorèmes généraux : Euler, Bernoulli, Lagrange.

Acquérir les équations de la statique des fluides (loi hydrostatique, théorème d'Archimède); Initiation à la dynamique des fluides : connaître les équations et théorèmes de base applicables à un fluide incompressible ainsi que les conditions aux limites et savoir les appliquer au cas d'un écoulement de fluide parfait.

Résoudre un problème de statique;
Résoudre un problème simple de dynamique des fluides parfaits incompressibles;
Calculer les forces résultantes exercées par un fluide;

Analyse et Algèbre de L1 et de L2.

Ce module présente les bases de la topologie des espaces vectoriels normés, suivies des bases du calcul différentiel. L’objectif en est de généraliser la théorie des fonctions continues – puis la théorie des fonctions dérivables – d’une variable réelle, aux fonctions de plusieurs variables, c’est-à-dire définies sur des espaces vectoriels réels ou complexes quelconques. Ceci se fait en introduisant la notion de norme sur un espace vectoriel (réel ou complexe).

Dans la première partie de ce cours, on étudiera la topologie des espaces vectoriels normés. Le corps R des nombre réels possède une relation d’ordre naturelle, ce qui permet de définir les notions d’intervalle et de segment, de borne supérieure, de suite croissante majorée, etc. En revanche, un espace vectoriel (réel ou complexe) quelconque ne possède pas de relation d’ordre. Il faudra donc remplacer les notions d’intervalle et de segment par des notions plus générales, qui nous permettront de définir les notions de suite convergente, de fonction continue, etc.

L’un des points culminants du cours sera la preuve du fait que, sur un espace vectoriel de dimension finie,la topologie (c’est-à-dire les notions de convergence, de continuité, etc) ne dépendent pas de la norme choisie sur cet espace vectoriel. En dimension infinie en revanche, la topologie est bien plus riche : nous en verrons quelques exemples.Dans la seconde partie de ce cours, on développera le calcul différentiel pour les fonctions définies sur un espace vectoriel normé de dimension finie (dites aussi fonctions de plusieurs variables). La notion de dérivée devra être remplacée par celle de différentielle. La dérivée d’une fonction en un point ne sera plus un nombre, mais une application linéaire (ou une matrice).

Contenu :

• Rappels de topologie de R (borne supérieure,suites croissantes majorées,segments emboîtés,etc).

-Normes (sur un espace vectoriel réel ou com-plexe) ; normes équivalentes.

• Topologie d’un espace vectoriel normé : boules ouvertes, boules fermées, ouverts, fermés, intérieur, adhérence, voisinage, densité.
• Suites dans un espace vectoriel normé : suites convergentes, limite, valeur d’adhérence, caractérisation séquentielle des ouverts, des fermés, des points adhérents.
• Compacité ; théorème de Bolzano-Weierstrass.
• Complétude ; suites de Cauchy.
• Applications continues ; caractérisation par les ouverts, par les suites. Opérations sur les fonctions continues. Homéomorphismes.
• Continuité uniforme, fonction lipschitziennes,fonctions contractantes, théorèmes de point fixe.
• Applications linéaires continues ; norme d’une application linéaire continue.
• Espaces vectoriels normés de dimension finie :équivalence des normes, caractérisation des compacts.
• Espaces de Banach. Exemples usuels.
• Applications différentiables; différentielle,opérations sur les différentielles, dérivées partielles, matrice jacobienne, inégalité des accroissements finis.
• Différentielles d’ ordre supérieur, classe C^k, théorème de Schwarz.
• Difféomorphismes, invariance de la dimension, théorème d’inversion locale

Responsable : Otared Kavian

Savoir manipuler et utiliser les fonctions de plusieurs variables.

Ce module présente les bases de la topologie des espaces vectoriels normés, suivies des bases du calcul différentiel. L’objectif en est de généraliser la théorie des fonctions continues – puis la théorie des fonc-tions dérivables – d’une variable réelle, aux fonctions de plusieurs variables, c’est-à-dire définies sur des espaces vectoriels réels ou complexes quelconques

1/3 cours, 1/3 TD, contrôle continu et examen final

N. El Hage Hassan,Topologie générale et espaces normés, Dunod, 2011.Jean-Christophe Yoccoz, Cours de topologie, calcul différentiel, équations différentielles. Pour la licence MAF. www.math.u-psud.fr/~biblio/numerisation/docs/Y_YOCCOZ-172/pdf/Y_YOCCOZ-172.pd

Eléments d’introduction
Principe des puissances virtuelles
Théorie des poutres (droites, curvilignes...)
Efforts intérieurs, déformations et déplacements
Méthodes de résolution des systèmes isostatiques et hyperstatiques (Ménabréa, Castigliano)

Le but de ce cours est de permettre aux étudiants de pouvoir étudier des structures isostatiques et hyperstatiques 3D. Des techniques sont présentées afin de déterminer les efforts de liaison, les efforts intérieurs et les déplacements dans ces structures. Le dimensionnement de ces structures pourra être réalisé grâce à ces informations. L'accent est en particulier mis sur les méthodes énergétiques classiques (théorème de Castigliano et théorème de Ménabréa).

Calcul tensoriel,
contraintes et déformations,
lois de conservations,
lois de comportement,
résolution de problèmes simples d'élasticité linéaire.
Principe des puissances virtuelles

maitriser les bases du calcul tensoriel
déterminer les contraintes sous quelques hypothèses simples;
résoudre des problèmes simples d'élasticité linéaire avec les conditions aux limites
calculer des contraintes et déformations
utiliser une loi de comportement dans le cadre élastique
résoudre des problèmes d'élasticité simples
appliquer des approches énergétiques

la révolution quantique au début du 20ème siècle
la mécanique ondulatoire : une première approche des idées fondamentales de la mécanique quantique.
les outils mathématiques.
les postulats de la mécanique quantique.
discussion des postulats

Le premier objectif de cette UE est d'assimiler les bases mathématiques du formalisme quantique (approche ondulatoire, notation Dirac). La seconde partie concerne l'énoncé et la discussion des postulats de la mécanique quantique.

A l'issue de cette UE, l'étudiant(e) sera tout d'abord à même d'utiliser le formalisme ondulatoire et la notation de Dirac dans toute sa généralité. L'étudiant.e sera aussi capable d'énoncer les postulats et d'en donner une interprétation physique dans quelques cas élémentaires. Enfin, l'étudiant.e sera à même de mener une discussion sur quelques paradoxes comme le paradoxe EPR.

Cours en amphi, TDs

Combinatoire et marches aléatoires : Dénombrement, formules du binôme et de Stirling. Probabilités : loi des grands nombres, lois de composition, lois de probabilités et moments, marche aléatoire à une dimension

Rappels de thermodynamique : grandeurs intensives et extensives, notion d'équilibre thermodynamique. Premiers et seconds principes. Fonctions d'état F et G. Théorie cinétique des gaz et modèle du gaz parfait. Description des systèmes de particules : description de l'état microscopique d'un système classique ou quantique. Espace des phases. Microétats et macroétats, principe ergodique. Ensemble microcanonique : postulat fondamental, entropie et température microcanonique. Distribution de probabilité d'une variable interne et évolution après relâchement d'une contrainte externe. Équilibre thermique. Application à un système de spins 1/2 sans interaction mutuelle. Ensemble canonique : définition d'un thermostat, fonction de partition. Description des systèmes de particules indépendantes. Théorème d'équipartition de l'énergie. TP de simulation numérique : Modèle d'Ising 2D Marches aléatoires biaisées à N dimensions.

Comprendre de façon opérationnelle le lien entre descriptions microscopiques et macroscopiques des systèmes thermodynamiques à l'équilibre.

modéliser numériquement des processus aléatoires (algorithmes de Monte-Carlo, de Métropolis) définir et dénombrer les micro-états d'un système thermodynamique, et en déduire les relations entre variables d'état macroscopiques (formalisme micro-canonique) définir et calculer une fonction de partition, et en déduire les relations entre variablesd'état macroscopiques (formalisme canonique) connaître les systèmes simples et leurs descriptions microcanoniques, canoniques et thermodynamiques (modèle d'Ising, gaz parfait quantique ou classique, modèle de Debye)

Cours en amphi, Tds, Tps

Oscillateur harmonique en mécanique quantique.
Théorie du moment cinétique (moment cinétique individuel, composition de deux moments cinétiques).
Atome d'hydrogène en mécanique quantique.
Spin 1/2 (généralisation au cas d'un système à deux niveaux, oscillation de Rabi).
Théorie des perturbations stationnaires. Application à la structure fine de l'atome d'hydrogène.

L'objectif de cet enseignement est tout d'abord d'appliquer les postulats de la mécanique quantique à quelques systèmes physiques fondamentaux (oscillateur harmonique, atome d'hydrogène, spin 1/2). Le deuxième objectif concerne l'acquisition d'un certains nombres de méthodes standard en mécanique quantique.

A l'issue de cet enseignement, l'étudiant.e aura tout d'abord appliqué la théorie quantique à l'oscillateur harmonique, au moment cinétique, à l'atome d'hydrogène et à une particule de spin 1/2. De plus, l'étudiant.e maîtrisera un certain nombre d'outils pour traiter des systèmes complexes nécessitant la composition de moments cinétiques ou un traitement perturbatif.

Cours en amphi, TDs

Etude des signaux à l’aide de séries de Fourier Définition d’un signal - Energie et puissance d’un signal d’un signal - Développement en série de Fourier réelle et complexe - Théorème de Parseval - Classification énergétique et morphologique des signaux. Analyse spectrale d’un signal d’énergie finie Développement d’un signal de durée finie en intégrale de Fourier - Spectre d’un signal et principales propriétés - Théorème de Parseval pour les signaux de durée finie ou de carré intégrable - Densité spectrale d’énergie, fonction d’autocorrélation. La relation d'incertitude temps-fréquence. Analyse spectrale d’un signal d’énergie infinie mais de puissance finie Distribution de Dirac - Spectre des signaux périodiques - Spectre d’un signal à valeur moyenne non nulle - Densité spectrale de puissance, fonction d’autocorrélation - Classification spectrale des signaux.

Acquérir les bases fondamentales du traitement de signal. Représentation temporelle et fréquentielle des signaux : Analyse par séries de Fourier et transformation de Fourier des signaux d'énergie fine ou de puissance moyenne finie - Analyse des systèmes linéaires Maitriser l'outil mathématique "Transformation de Fourier" et comprendre la différence entre signaux produits et signaux perçus. Savoir faire une analyse fréquentielle des grandeurs physiques qui évoluent dans le temps.

Le cours de calcul intégral est recommandé (théorie de la mesure, intégrale de Lebesgue).

Il est nécessaire de bien maîtriser le calcul de séries, séries entières, intégrales

On introduit les probabilités avec l’axiomatisation de Kolmogorov, basée sur la théorie de la mesure. On redéfinit les notions classiques (espérance, indépendance, etc) avec ce formalisme. L’accent est mis sur l’étude des variables aléatoires. On présentera la loi forte des grands nombres et le théorème central limite.

Contenu

• Espaces de probabilités généraux, axiomatique de Kolmogorov, propriétés générales
• Espaces de probabilité discrets, dénombrement
• Densité de probabilités,
• Probabilité conditionnelle, indépendance, formule de Bayes
• Variables aléatoires: loi, lois usuelles (discrètes ou à densité), fonction de répartition, espérance, formule de transfert,
• Vecteurs aléatoires : loi d’un vecteur aléatoire, lois marginales, variables aléatoires indépendantes,
• Moments, variance, covariance, corrélation, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Loi d'une fonction de variables aléatoires, loi de la somme de variables aléatoires indépendantes, convolution, fonction caractéristique, fonction génératrice
• Notions de convergence d’une suite de variables aléatoires : en probabilités, presque-sûre, dans L^p, en loi, liens entre ces modes de convergence, loi faible des grands nombres, loi forte des grands nombres, théorème central limite : application : méthode de Monte Carlo.

maîtriser et savoir utiliser des outils de probabilité

• savoir effectuer des calculs de probabilités : espérances, moments, calcul de loi d'une fonction de variables aléatoires,
• savoir modéliser un problème concret simple avec des probabilités (variables aléatoires, évènements, etc) afin de résoudre mathématiquement ces problèmes concrets,

1/3 cours, 2/3 TD ; contrôle continu et examen final

Guy Auliac, Christiane Cocozza Thivent, Sophie Mercier, Michel Roussignol, I'intégration et Probabilités, Collection Objectif Licence 3éme année, éditions Edisciences, 2005

• Dominique Foata & Aimé Fuchs, Calcul des probabilités : Cours, exercices et problémes corrigés, éditions Dunod, 2003
• Olivier Garet, Aline Kurtzmann, De l’intégration aux probabilités, Ellipses, 2011.

Algèbre linéaire et matriciel de 1ère et 2ème années de licence.
Fonctions de plusieurs variables.

L’objectif du cours est d’initier les étudiants à l'analyse convexe et aux principales techniques mathématiques de l’optimisation avec et sans contraintes : conditions d’optimalité d’ordre 1 et 2, programmation convexe, programmation linéaire.

Contenu :

Rappels de calcul différentiel : fonctions de classe C^1 et de classe C^2, matrice jacobienne, gradient, Matrice hessienne, formules de Taylor Convexité : ensembles convexes, fonctions convexes. Propriétés. Polarité et Lemme de Farkas. Cône tangent et cône normal. Qualification. Optimisation sans contrainte: conditions d’optimalité d’ordre 1 et 2

Cas d'un programme convexe.

Optimisation avec contraintes: conditions d’optimalité d’ordre 1 et 2. Conditions de Karush-Kuhn-Tucker. Cas d'un programme convexe. Programmation linéaire : méthode de simplexe. Algorithmes de minimisation. Méthodes de descente.

Acquisition de quelques bases de l'analyse convexe.
Savoir résoudre un problème d'optimisation continue.
Algorithmes de bases en optimisation

Cours, TD, TP ; contrôle continu et examen final

P. Donato : Calcul différentiel pour la licence , Dunod, 2000.
J.M. Bonnans : Optimisation continue , Dunod, 2006.
P.G. Ciarlet : Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation , Dunod, 2006.

Algèbre linéaires

• Groupes abéliens, anneaux, corps

groupes

• morphismes de groupes
• sous-groupes, sous-groupes distingués
• quotient par un sous-groupe
• action d'un groupe sur un ensembles
• cas du groupe symétrique
• théorèmes de Sylow
• produit semi-direct
• espaces affines et euclidiens
• groupes des transformations affines
• isométries
• classification des isométries en petites dimensions.

maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques

• concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse
• expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques

1/3 cours, 1/3 TD, contrôle continu et examen final.

S. Lang, Undergraduate Algebra, Springer

• D. Perrin, Cours d'algebre, Ellipses

Classification des astres dans l'Univers : relations masse-rayon

Physique stellaire : relations masse-luminosité, diagramme HR, formation des étoiles, états finaux. Atmosphères planétaires : effet de serre, gradient adiabatique, couches atmosphériques, notions de dynamique atmosphérique. Distances dans l'Univers : mécanique orbitale (lois de Kepler), magnitudes apparentes et absolues, effet Doppler, loi de Hubble et notions de cosmologie.

Acquérir une culture générale opérationnelle à différentes échelles (du système solaire à la cosmologie) sur l'Univers et les objets qui le constituent (étoiles et planètes en particulier).

Analyse dimensionnelle. Lecture et tracés de diagrammes log-log, lois de puissance. Connaissance et/ou dérivation d'ordres de grandeur pour des objets ou des systèmes astrophysiques.

Polarisation d'une onde électromagnétique (polariseurs, lames déphaseuses, formalisme de Jones)
Interférences à 2 ou plusieurs ondes, dispositifs interférométriques (fentes d'Young, Michelson....)
Diffraction d'une onde
notions de cohérences temporelle et spatiale

Comprendre les phénomènes liés à la propagation d'une ou plusieurs ondes lumineuses (polarisation, interférences, diffraction): polarisation d'une onde lumineuse, interférences et dispositifs interférométriques à division de front d'onde ou d'amplitude (Michelson, fentes d'Young, Fabry-Perot...), diffraction.

Caractériser la polarisation d'une onde et les différents éléments optiques susceptibles de la mesurer ou de la modifier. Comprendre et réaliser un dispositif interférométrique de type interféromètre de Michelson. Réaliser les conditions nécessaires pour l'observation du phénomène de diffraction. Formaliser la polarisation d'une onde et sa modification au passage d'éléments optiques (polariseur, lames déphaseuses) grâce au formalisme des matrices de Jones. Décrire les interférences lumineuses et différents dispositifs interférométriques. Mettre en équation le phénomène de diffraction et savoir faire le calcul pour des objets simples.

Cours en amphi, TDs, TPs

Ecoulements à surface libre;
Analyse dimensionnelle;
Ecoulements parallèles.

Appliquer les équations vues dans le module "Mécanique des fluides 1" à des cas concrets, en particulier aux écoulements à surface libre, approfondir les connaissances acquises dans ce module;

Faire une analyse dimensionnelle d'un problème de physique; Résoudre un problème simple de dynamique des fluides incompressibles parfait ou visqueux et calculer les forces résultantes; Déterminer les caractéristiques d'un écoulement à surface libre : vitesses, pressions, débits, hauteurs d'eau, régimes d'écoulement.

Ecoulements à surface libre; Analyse dimensionnelle; Ecoulements parallèles.

Appliquer les équations vues dans le module "Mécanique des fluides 1" à des cas concrets, en particulier aux écoulements à surface libre, approfondir les connaissances acquises dans ce module;

Faire une analyse dimensionnelle d'un problème de physique;
Résoudre un problème simple de dynamique des fluides incompressibles parfait ou visqueux et calculer les forces résultantes;
Déterminer les caractéristiques d'un écoulement à surface libre : vitesses, pressions, débits, hauteurs d'eau, régimes d'écoulement.

Construction et modélisation des liaisons mécaniques réelles ( jeu, défauts de réalisation ...)
Guidages par paliers lisses et par éléments roulants
Transmissions de puissance par engrenages
Modélisation et simulation 3D des systèmes mécaniques

Analyser le fonctionnement et la conception d'un système mécanique.
Modéliser et analyser les phénomènes physiques mis en jeu sur un mécanisme réel en situation (phénomènes vibratoires, thermiques, écoulements)
Mettre en oeuvre des moyens de communication (dessin, schéma, modèle CAO 3D ..) pour analyser, concevoir ou expliquer le fonctionnement d'un système mécanique

Formulation variationnelle d'un problème d'élasticité (équation d'équilibre et théorème de l'énergie potentielle)
discrétisation de la formulation
méthodes d'approximation (fonctions d'interpolation)
mise en oeuvre de la méthode de résolution (prise en compte des conditions aux limites, du chargement, assemblage et solution)

être capable de modéliser un problème mécanique en vue de sa résolution numérique
-analyser les résultats d'une simulation numérique

-découvrir l'utilisation d'un code de calcul utilisant la méthode des éléments finis

Systèmes linéaires et filtrage des signaux

Produit de convolution et propriétés - Caractérisation d’un système linéaire - Lien entre réponse impulsionnelle et fonction de transfert - Les différents types de filtres
Echantillonnage des signaux
La chaine de numérisation - Echantillonnage idéal, échantillonnage réel - Théorème de Shannon - Filtre antirepliement - Reconstitution d’un signal échantillonné - Quantification des signaux.
Signaux discrets 
Définition et exemples de signaux discrets. - La Transformée de Fourier d’un signal discret - Développement en série de Fourier d’un signal discret périodique - La Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Poursuivre l'acquisition des bases fondamentales du traitement de signal. Fonction de transfert et réponse impulsionnelle, fonctions d’autocorrélation et fonction d’intercorrélation - La chaine de numérisation des signaux analogiques : échantillonnage, quantification, codage - Les signaux discrets et la TFD. Maitriser l'outil mathématique "Transformation de Fourier" et comprendre la différence entre signaux produits et signaux perçus. Savoir faire une analyse fréquentielle des grandeurs physiques qui évoluent dans le temps.

Initiation à un projet de recherche dans le cadre d'une immersion d'un mois dans un laboratoire de physique. A cela s'ajoute un projet de Mathématiques, avec rédaction de mémoire et soutenance orale.

Découverte du travail de recherche en laboratoire

• problématique scientifique théorique ou expérimentale

1 mois dans un laboratoire de recherche en Physique de l'UVSQ

Suivi d'un projet de Mathématique

Mathématiques de L1 et L2

Ce cours présente une introduction aux méthodes numériques en calcul scientifique (de la résolution des grands systèmes linéaires aux approximations des équations différentielles).

• Plan du cours:

PARTIE A : Analyse numérique matricielle

1. Normes de matrices, suites de matrices
2. Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires
3. Méthodes itératives

PARTIE B : Etude numérique de fonctions

1. Interpolation polynomiale
2. Approximation polynomiale
3. Méthode de quadrature

PARTIE C : Etude numérique des équations différentielles

1. Généralités
2. Méthodes de discrétisation à un pas
3. Méthode d’Euler
4. Notions de consistance, stabilité, convergence et ordre
5. Méthodes de Runge-et-Kutta

Responsable : Laurent Dumas

Acquisition des méthodes numériques en calcul scientifique (de la résolution des grands systèmes linéaires aux approximations des équations différentielles).

1/3 cours, 2/3 travaux dirigés, contrôle continu et examen final

Patrick Lascaux, & Raymond Théodor : Analyse Matricielle Appliquée à l’Art de l’Ingénieur (Tome 1 méthodes directes, Tome 2 méthodes itératives), Masson, 2ème édition, 1993.

Michel Crouzeix & Alain Mignot : Analyse Numérique des Equations Différentielles, Masson.

P.G. Ciarlet : Introduction à l’Analyse Numérique Matricielle, Dunod, 1998.

Michelle Schatzman : Analyse Numérique, une Approche Mathématique, 2ème édition, Dunod, 2004.

Laurent Dumas : Modélisation à l’oral de l’agrégation de mathématiques, calcul scientifique, Ellipses, 1999.