LDD1 Mathématiques, Physique et Applications

Programme de Mathématiques de Terminale ; Analyse 1

A) Quelques rappels :
-Applications, injections, surjections, bijections, composition, récurrences, symboles somme et produit,
-Suites, définition, opérations sur les suites,
-Majorant, minorant, borne inférieure, supérieure,
maximum, minimum, plus grand/petit élément, Théorème de la borne supérieure, valeur absolue, partie entière
-suites récurrentes linéaires (en TD)
B) limite d’une suite réelle :
-Définition (cas fini ou infini)
-Démonstration des propriétés classiques de la limite : unicité, limite d’une somme, d’un produit, quotient, moyenne de Césaro,
-Passage à la limite, théorème des gendarmes, théorème de la limite monotone, suites adjacentes, suites u_{n+1}=f(u_n)
-valeurs d’adhérence, suites extraites, théorème de Bolzano Weierstrass
-suites de Cauchy ; notations de Landau
C) Limite d’une fonction :
-Définition Générale avec voisinages; cas particuliers classiques, limites à gauche, à droite, notations de Landau
-Continuité, prolongements par continuité
-Caractérisation séquentielle de la limite, applications : propriétés des limites de suites restant valables pour les limites de fonctions ; théorème de la limite monotone
-Image continue d’un intervalle : théorème des valeurs intermédiaires, image continue d’un segment, théorème de la bijection (+dérivée) ; exemple : fonctions circulaires réciproques, racine carrée.

• Théorème de Rolle, des Accroissements Finis, formule de Taylor Lagrange

Comprendre et savoir utiliser la définition de la limite (avec epsilons, ou voisinages)
Comprendre, savoir utiliser et démontrer les principaux résultats concernant les limites de suites ou de fonctions, la continuité, les accroissements finis

1/3 cours magistraux, 2/3 TD, contrôle continu

Mathematiques l1 cours complet 2e ed, Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzarini
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence Niveau L1, Cours complet, exemples et exercices corrigés, 3ème édition
Jean-Pierre Ramis et al.

Mathématiques de Terminale Scientifique

Arithmétique : division euclidienne, PGCD, Algorithme d'Euclide, Bézout, nombres premiers, congruences

Algèbre: groupes, sous-groupes, ordre, homomorphismes de groupes, polynômes.

Maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques
Concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse
Expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques
Savoir manipuler des concepts d'arithmétique et d'algèbre

Cours-TD en groupe de 36 étudiants maximum, contrôle continu exclusif.

Mathematiques l1 cours complet 2ème édition, Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzarini
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence Niveau L1, Cours complet, exemples et exercices corrigés, 3ème édition , Jean-Pierre Ramis et al.

Analyse 1

Systèmes linéaires (1,5 semaines)

• Systèmes équivalents

• Algorithme de Gauss

• Système (n,p) et systèmes à paramètres.

  Espace vectoriel (4 semaines)

• Définition dans le cas général, exemples : , espaces des polynômes, , espaces vectoriels de suites, de fonctions, etc

• Sous-espace vectoriel, intersection, réunion

• Combinaison linéaire, sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs, famille génératrice

• Famille libre

• Bases, dimension d'un sous-espace vectoriel de dimension finie, définition d'un hyperplan,coordonnées d’un vecteur dans une base

• Sous-espaces supplémentaires : définition d’une somme directe, caractérisation, définition d'un sous-espace supplémentaire

  Applications linéaires et matrices (4,5 semaines)

• Applications linéaires : définition,noyau, image, théorème du rang, endomorphismes, applications linéaires injectives, surjectives, isomorphismes

• Matrices : définition, somme, produit, inverse, calcul d'inverses, noyau, image, rang d'une matrice

• Liens matrices/ applications linéaires

• Changement de bases : matrice de passage, relation matricielle de passage

• Définition de projecteurs, symétries, rotations

  Introduction aux déterminants dans R^2 ou R^3 (2 semaines)

Maitriser les premières notions d’algèbre linéaire, notamment la notion d’espaces vectoriels principalement en dimension finie,
Savoir reconnaître et étudier des applications linéaires principalement en dimension finie en utilisant le calcul matriciel

Cours magistraux en amphi et Travaux dirigés par groupe de 36 étudiants maximum, évaluation en contrôle continu exclusif

Mathematiques l1 cours complet 2ème édition, Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzarini
Mathématiques Tout-en-un pour la Licence Niveau L1, Cours complet, exemples et exercices corrigés, 3ème édition, Jean-Pierre Ramis et al.

Programme de terminale scientifique

Etude de fonctions (2 semaines)

• Fonctions composées, dérivée de fonctions composées
• Définitions et propriétés des applications injectives, surjectives, bijectives
• Savoir tracer des graphes de fonctions, cas des fonctions paires ou impaires
• Savoir dériver, étudier et tracer le graphe de fonctions réciproques, étudier les nouvelles fonctions: arccos, arcsin, arctan

Développements limités (2,5 semaines)

• Rappels et compléments sur les techniques de calculs de limites: limites usuelles, croissances comparées
• Dérivées d'ordre n et formules de Taylor avec reste intégrale, Taylor Young et Taylor-Lagrange et applications à l'approximation d'une fonction par un polynôme.
• Notion de "petit o", définition d'un DL, opérations sur les DL (sommes, produit, inverse, intégration, composée).
• Traiter les applications : étude locale des courbes, calcul de limites, calcul de développements asymptotiques (on traitera quelques exercices pour déterminer la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente ou à son asymptote)

Intégration (2 semaines)

• Brèves révisions sur le calcul de primitives
• Intégration par parties
• Changements de variables

Introduction aux polynômes (1 semaine):

• Egalité de deux polynômes, degré d'un polynôme,
• Division euclidienne
• Racine simple et multiple d'un polynôme
• Application à la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle

Notion d'équations différentielles (2 semaines)

• Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants
• Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients variables avec la méthode de variations de la constante
  Equations différentielles linéaires du second ordre homogènes à coefficients constants.
  Etude de suites de la forme u_{n+1}=f(u_{n}) (1,5 semaines)
• Quelques exercices succincts sur les limites de suites pour tester les acquis des étudiants.
  Propriété de la limite de f(u_n) avec f continue (la composée d'une fonction et d'une suite n'a pas été vue en terminale S).
• Suites définies par récurrence de la forme u_{n+1}=f(u_{n}) , convergence vers un point fixe de f. Pour les étudiants de MPCI, écrire la définition de la limite d'une suite pour montrer que si u_n admet L comme limite alors u_{n+1} admet aussi L comme limite (admettre cette propriété pour les autres portails).
• Dans le cas où f est décroissante, aborder les suites adjacentes.

Transition Lycée Université ;
Rappels de Terminale en évitant des révisions systématiques ;

• compléments.
  Maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques
  Concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse
  Expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques

Cours-TD, par groupe d'une trentaine d'étudiants maximum ; contrôle continu

Mathematiques L1 cours complet 2ème édition, Jean Pierre Marco et Laurent Lazzarini

Mathématiques Tout-en-un pour la Licence Niveau L1, Cours complet, exemples et exercices corrigés, 3ème édition

Rappel de mécanique classique, notions de référentiels, transformation de Galilée

Quelques notions historiques menant aux postulats d'Einstein

Dilatation du temps et contraction des longueurs, transformation de Lorentz, diagrammes espace-temps.

Connaître les les principes de bases de la relativité restreinte, notions de relativité des évènements, notions de dilatation du temps et contraction des longueurs.

Cours/Tds

Présentation des circuits de base – Relation tension / courant

 Loi des maille – Lois des nœuds  

 Les éléments actifs : Générateur de tension – Générateur de courant et  les trois éléments passifs de base : la résistance, le condensateur, l’inductance  

Circuit en régime transitoire   Equations différentielles linéaires du 1er ordre.   

Régime sinusoidal forcé: Etude des circuits RC, RL et LC , notations complexes, résolution équations différentielles du second ordre.

Comprendre le fonctionnement de circuits électriques à base de générateurs, résistances, condensateurs et bobines en régime permanent, transitoire et périodique. Mise en évidence du phénomène de résonance électrique

• Déterminer le comportement des différents dipôles dans un circuit électrique comprenant plusieurs composants (générateur, résistance, condensateur, bobine...).
• Etablir la tension et le courant aux bornes des différents dipôles en appliquant les lois générales de l'électrocinétique.
• Déterminer la résistance équivalente d'un groupement de résistances en série et/ou en parallèle
• Reconnaitre la topologie des circuits diviseurs de tension et de courant
• Faire un bilan énergétique dans un circuit électrique.
• Résoudre des équations différentielles du premier et du second ordre.
• Déterminer l'impédance complexe de différents dipôles (R, L, C) et l'impédance équivalente d'un groupement d'impédance
• Être capable de réaliser des montages électriques simples
• Savoir utiliser les appareils électriques de bases (GBF, oscilloscope, voltmètre, ampèremètre,...)

Cours en amphi mutualisés

TD non mutualisés

Optique géométrique
Formation des images / lentilles sphériques
Association de lentilles
Optique instrumentale
Lois de Descartes - dioptre plan
Dioptre et lentille sphériques
Mécanique du point
Description et paramétrage du mouvement d'un point en 1D et 2D (cartésien) - cinématique
Lois de Newton et Bilan des forces dans un référentiel galiléen
Travail, énergie et puissance
Oscillateur harmonique

Présentation et consolidation des notions essentielles en physique. La démarche pédagogique vise à reprendre des notions de physique abordées au cours du lycée (filière scientifique) sur la mécanique du point et l'optique géométrique, de les approfondir en y ajoutant une formulation mathématique des problèmes.

Partie optique géométrique

Utiliser les définitions et les propriétés de centre optique, des foyers principaux, de la distance focale, de la vergence. Construire l’image (réelle ou virtuelle) d’un objet (réel ou virtuel) situé à une distance finie ou infinie à l’aide de rayons lumineux Exploiter les formules de conjugaison et de grandissement transversal pour une ou plusieurs lentilles, accolées ou non. Modéliser l’œil comme l’association d’une lentille de vergence variable et d’un capteur. Savoir restituer et utiliser les lois de Snell-Descartes (réflexion/réfraction)  pour différentes interfaces.

Partie mécanique du point

Déterminer la vitesse et l'accélération d'un point connaissant sa position, et calculer sa position à partir d'une accélération Etablir un bilan des forces sur un système et en rendre compte sur un schéma Savoir appliquer le principe fondamental de la dynamique, déterminer les équations du mouvement d'un point matériel et résoudre les problèmes en 1D ou 2D en coordonnées cartésiennes Reconnaître le caractère moteur ou résistant d'une force. Établir et connaître les expressions des énergies potentielles de pesanteur (champ uniforme), énergie potentielle élastique, énergie électrostatique (champ uniforme et champ créé par une charge ponctuelle) Connaitre et appliquer le Théorème Energie Cinétique Déduire d’un graphe d’énergie potentielle le comportement qualitatif : trajectoire bornée ou non, mouvement périodique, positions de vitesse nulle.

Cours/TDs

Etude du mouvement d'un point en coordonnées cartésiennes.

Définition des coordonnées polaires, base en coordonnées polaire, vecteur position , vitesse et accélération. 

Etude du mouvement d'un point  en coordonnées polaires 

Travail, énergie cinétique, potentielle et mécanique

Théorème de l'énergie cinétique, mécanique et du moment cinétique.

Oscillateur harmonique, libre, amorti, forcé.

Notion de résonance

Analyser le mouvement d'un point matériel dans différents systèmes de coordonnées (cartésiennes, cylindriques, sphériques). Appliquer les lois et les théorèmes fondamentaux de la dynamique étudiés dans le module de Physique générale (principe fondamental de la dynamique, conservation de l'énergie mécanique, théorème de l'énergie cinétique et du moment cinétique) dans ces systèmes de coordonnées. Ecrire et résoudre les équations du mouvement d'un oscillateur libre, amorti et forcé. Comprendre le phénomène de résonance.
A l'issue de l'UE, l'étudiant.e sera capable de résoudre des problèmes de mécanique du point dans les divers systèmes de coordonnées, cartésiennes, cylindriques et sphériques. Déterminer le mouvement d'un point matériel soumis à plusieurs type de forces en utilisant ces différents systèmes de coordonnées. Résoudre des équations différentielles du premier et du second ordre.

Cours en amphi mutualisés

TD non mutualisés

Présentation et consolidation des notions essentielles de chimie. La démarche pédagogique vise une progression de l’atome à la molécule par l’étude des propriétés de l’atome, du tableau périodique, des divers modes de liaisons et la formation de molécules.

Acquérir les connaissances de bases sur la description atomique, les nombres quantiques, la classification et les propriétés des atomes.

Acquérir les connaissances de bases sur les molécules , les différents types de liaison, la géométrie des molécules et les diagrammes d’OM

Il s'agit de poursuivre l'étude de la matière à l'échelle macroscopique commencé au lycée. On s'intéressera à l'étude d'un corps pur subissant des transformations finies. On s'appuiera sur des bilans finis d'énergie faisant intervenir les fonctions d'état T-T,V) et H(T,P) ainsi que des bilans finis d'entropie. On fera un lien entre un système réel et sa modélisation:

• Descriptions microscopique et macroscopique d'un système à l'équilibre
• Energie échangée par un système au cours d'une transformation
• Premier principe. Bilans d'énergie
• Deuxième principe. Bilans d'entropie
• Machines thermiques

Identifier un système ouvert, un système fermé, un système isolé
Déduire la la température d'une condition d'équilibre
Connaitre et utiliser équation des gaz parfait
Exprimer l'énergie interne d'un gaz parfait monoatomique à partir de l'interprétation microscopique de la température
Connaitre la différence entre transformation réversible et irréversible
Analyser un diagramme de la phase (P,T) et (P,V) et positionner les phases
Proposer un jeu de variables d'états suffisant pour caractériser l'état d'équilibre d'un corps pur diphasé soumis aux seules forces de pression
Mettre en oeuvre un protocole expérimental d'étude des relations entre paramètres d'état d'un fluide à l'équilibre
Calculer le travail par découpage en travaux élémentaires et sommation sur un chemin donné dans le cas d'une seule variable.
utiliser le vocabulaire usuel : évolutions isochore, isotherme, isobare, monobare, monotherme.
Calculer le transfert thermique Q sur un chemin donné connaissant le travail W et la variation d'énergie interne
Exprimer l'enthalpie du gaz parfait à partir de l'énergie interne
2 Lois de Joule et Capacités calorifiques
Connaitre la loi de Laplace et ses conditions d'utilisation
Connaitre et utiliser la relation entre les variations d'entropie et d'enthalpie associées à une transition de phase
Définir un rendement ou une efficacité et la relier aux énergie échangées au cours du cycle. Justifier le téorème de Carnot

Cours en amphi mutualisés

TD/TP non mutualisés

Partie Physique :

initiation aux méthodes de travail à l'Université (documentation, autonomie, coopération), analyse dimensionnelle, incertitudes trigonométrie.

Partie Mathématiques :

• Les quantificateurs et connecteurs logiques, Éléments de logique : tables de vérité, implication, équivalence ...  Les différents types de raisonnements.
• Notion d’ensembles, intersection, réunion, complémentaire
• Permutations, dénombrement, combinatoire
• Les nombre complexes

Apprentissage de la méthodologie de travail scientifique appliquée à aux Mathématiques et à la Physique

intégrer la nécessité du travail personnel, en non-présentiel auto-évaluer ses capacités de concentration, de travail et identifier des méthodes pour les accroître utiliser les ressources documentaires en ligne et à la BU développer l'autonomie au travail travailler et réviser en groupe découvrir les acteurs de l'enseignement universitaire (enseignant.e.s, chercheur.se.s, bibliothécaires,  technicien.nes, administratives) et les intégrer dans le travail personnel connaître les grandeurs fondamentales de la physique distinguer unité et dimension vérifier l'homogénéité d'une expression déterminer le nombre de chiffres significatifs en fonction de l'incertitude représenter un résultat de mesure par un intervalle de confiance (valeur moyenne +/- incertitude) propager les incertitudes par la méthode des log distinguer mesure fine et mesure juste commenter les incertitudes dans un compte-rendu de TP savoir lire le cercle trigonométrique restituer de mémoire les valeurs prises par les fonctions trigonométriques pour 0, pi/n (n in {1,2,3,4,6}) restituer de mémoire les valeurs prises par les fonctions trigonométriques pour les angles complémentaires et supplémentaires projeter un vecteur représenter l'amplitude, la période et le déphasage d'un phénomène oscillant en utilisant les fonctions sinus ou cosinus représenter un mouvement circulaire avec des fonctions trigonométriques se repérer dans le plan complexe en utilisant le cercle trigonométrique Compréhension d’un théorème, d’une propriété, d’une définition : Distinguer hypothèses et conclusions, conditions nécessaires et conditions  suffisantes, donner la négation d’une  propriété, savoir l’illustrer par un exemple ou contre-exemple. Apprendre à s’organiser,  à lire un énoncé et en extraire les données mathématiques de façon construction, maitriser  les différents types de raisonnements mathématiques.

Communication orale et écrite en anglais

Compréhension écrite et orale de l’anglais scientifique

Communication par oral et par écrit, de manière rigoureuse et adaptée en anglais
Documentation en anglais
Ecrire et parler à un niveau B.

Compréhension écrite et orale de l’anglais scientifique

Synthèse de documents scientifiques sur un sujet en Physique ou en Mathématiques

Recherche bibliographique sur un sujet scientifique
Lecture et analyse de documents scientifiques
Se familiariser avec de nouvelles notions scientifiques
Synthétiser l'ensemble des documents et en faire un résumé
Etre capable de présenter le sujet à l'ensemble du groupe

Découverte du milieu de la recherche grâce à l'insertion d'une semaine dans un laboratoire de recherche

Se familiariser avec le milieu de la recherche

2 jours d'observation en laboratoire et présentation d'un expérience de laboratoire

Initiation à la programmation : Bibliothèques (usage), SDD (tableau, liste, tuple), Fonctions (définition), Classes et méthodes (définition pour des cas simples), Entrées/sorties (fichier).

Introduction
Opérateurs et conditionnelles
Boucles
Tableaux
Fonctions

Il s’agit de fournir aux étudiants une initiation à la programmation : structures de données et algorithmes de base.