LDD3 Mathématiques, Physique et Applications

Comprendre et savoir utiliser la théorie de la mesure, l'intégrale de Lebesgue, et les principaux théorèmes correspondants.

Théorie générale de l'intégration : espaces mesurables, mesures positives, intégration de fonctions positives Construction de la mesure de Lebesgue Espaces de fonctions intégrables : inégalité de convexité, théorème de convergence dominée et théorèmes de continuité et de dérivabilité des intégrales paramétrées Mesures et espaces produits Mesure de Lebesgue sur R^d Changement de variables Convolution Mesure image Compléments : Transformée de Fourier dans L1 et transformée de Fourier des mesures finies

Analyse de 2ème année

Semestre 5 : septembre à janvier, site de Versailles

Guy Auliac, Christiane Cocozza-Thivent, Sophie Mercier, Michel Roussignol, Inte´gration et Proba- bilite´s, Collection Objectif licence 3e`me anne´e, e´ditions Edisciences, 2005

Walter Rudin : Analyse re´elle et complexe : Cours et exercices, e´ditions Dunod 2009

1/3 cours, 2/3 D, contrôle continu et examen final

Savoir manipuler et utiliser les fonctions de plusieurs variables.

Ce module présente les bases de la topologie des espaces vectoriels normés, suivies des bases du calcul différentiel. L’objectif en est de généraliser la théorie des fonctions continues – puis la théorie des fonc-tions dérivables – d’une variable réelle, aux fonctions de plusieurs variables, c’est-à-dire définies sur des espaces vectoriels réels ou complexes quelconques

Analyse et Algèbre de L1 et de L2.

Semestre 5 (septembre à janvier), sur le site de Versailles

N. El Hage Hassan,Topologie générale et espaces normés, Dunod, 2011.Jean-Christophe Yoccoz,Cours de topologie, calcul différentiel, équations différentielles. Pour la licence MAF.www.math.u-psud.fr/~biblio/numerisation/docs/Y_YOCCOZ-172/pdf/Y_YOCCOZ-…

1/3 cours, 1/3 TD, contrôle continu et examen final

Acquisition des bases de l’analyse complexe moderne

Séries entières et fonctions analytiques Fonctions holomorphes Intégrales curvilignes. Théorèmes et formule de Cauchy Points singuliers. Fonctions méromorphes Théorème des résidus ; application au calcul d’intégrales

Responsable de l'UE : Emmanuel RIO

Notions de continuité, de dérivation, de topologie métrique élémentaire du plan

Semestre 5 (septembre à janvier) , Versailles

Henri Cartan : théorie élémentaire des fonctions analytiques (Hermann)

1/3 cours, 2/3 TD Contrôle continu et Examen final

Acquérir les équations de la statique des fluides (loi hydrostatique, théorème d'Archimède); Initiation à la dynamique des fluides : connaître les équations et théorèmes de base applicables à un fluide incompressible ainsi que les conditions aux limites et savoir les appliquer au cas d'un écoulement de fluide parfait.

• Résoudre un problème de statique;
• Résoudre un problème simple de dynamique des fluides parfaits incompressibles;
• Calculer les forces résultantes exercées par un fluide;

• Description d'un fluide;
• Notion de pression, loi hydrostatique;
• Théorème d'Archimède;
• Cinématique des fluides;
• Equations de conservation d'un fluide parfait ou newtonien incompressible et conditions aux limites;
• Théorèmes généraux : Euler, Bernoulli, Lagrange.

Le premier objectif de cette UE est d'assimiler les bases mathématiques du formalisme quantique (approche ondulatoire, notation Dirac). La seconde partie concerne l'énoncé et la discussion des postulats de la mécanique quantique.

• A l'issue de cette UE, l'étudiant(e) sera tout d'abord à même d'utiliser le formalisme ondulatoire et la notation de Dirac dans toute sa généralité.
• L'étudiant.e sera aussi capable d'énoncer les postulats et d'en donner une interprétation physique dans quelques cas élémentaires. Enfin, l'étudiant.e sera à même de mener une discussion sur quelques paradoxes comme le paradoxe EPR.

• la révolution quantique au début du 20ème siècle
• la mécanique ondulatoire : une première approche des idées fondamentales de la mécanique quantique.
• les outils mathématiques.
• les postulats de la mécanique quantique.
• discussion des postulats

L'objectif de cet enseignement est tout d'abord d'appliquer les postulats de la mécanique quantique à quelques systèmes physiques fondamentaux (oscillateur harmonique, atome d'hydrogène, spin 1/2). Le deuxième objectif concerne l'acquisition d'un certains nombres de méthodes standard en mécanique quantique.

• A l'issue de cet enseignement, l'étudiant.e aura tout d'abord appliqué la théorie quantique à l'oscillateur harmonique, au moment cinétique, à l'atome d'hydrogène et à une particule de spin 1/2.
• De plus, l'étudiant.e maîtrisera un certain nombre d'outils pour traiter des systèmes complexes nécessitant la composition de moments cinétiques ou un traitement perturbatif.

• l'oscillateur harmonique en mécanique quantique.
• théorie du moment cinétique (moment cinétique individuel, composition de deux moments cinétiques).
• l'atome d'hydrogène en mécanique quantique.
• spin 1/2 (généralisation au cas d'un système à deux niveaux, oscillation de Rabi).
• théorie des perturbations stationnaires. Application à la structure fine de l'atome d'hydrogène.
• théorie des perturbations dépendant du temps. Application à l'interaction entre un atome et champ électromagnétique?

Comprendre de façon opérationnelle le lien entre descriptions microscopiques et macroscopiques des systèmes thermodynamiques à l'équilibre.

• modéliser numériquement des processus aléatoires (algorithmes de Monte-Carlo, de Métropolis)

• définir et dénombrer les micro-états d'un système thermodynamique, et en déduire les relations entre variables d'état macroscopiques (formalisme micro-canonique)

• définir et calculer une fonction de partition, et en déduire les relations entre variablesd'état macroscopiques (formalisme canonique)

• connaître les systèmes simples et leurs descriptions microcanoniques, canoniques et thermodynamiques (modèle d'Ising, gaz parfait quantique ou classique, modèle de Debye)

• Combinatoire et marches aléatoires : Dénombrement, formules du binôme et de Stirling. Probabilités : loi des grands nombres, lois de composition, lois de probabilités et moments, marche aléatoire à une dimension

• Rappels de thermodynamique : grandeurs intensives et extensives, notion d'équilibre thermodynamique. Premiers et seconds principes. Fonctions d'état F et G. Théorie cinétique des gaz et modèle du gaz parfait.

• Description des systèmes de particules : description de l'état microscopique d'un système classique ou quantique. Espace des phases. Microétats et macroétats, principe ergodique.

• Ensemble microcanonique : postulat fondamental, entropie et température microcanonique. Distribution de probabilité d'une variable interne et évolution après relâchement d'une contrainte externe. Équilibre thermique. Application à un système de spins 1/2 sans interaction mutuelle.

• Ensemble canonique : définition d'un thermostat, fonction de partition. Description des systèmes de particules indépendantes. Théorème d'équipartition de l'énergie.

• TP de simulation numérique :

• Modèle d'Ising 2D

• Marches aléatoires biaisées à N dimensions.

Le but de ce cours est de permettre aux étudiants de pouvoir étudier des structures isostatiques et hyperstatiques 3D. Des techniques sont présentées afin de déterminer les efforts de liaison, les efforts intérieurs et les déplacements dans ces structures. Le dimensionnement de ces structures pourra être réalisé grâce à ces informations. L'accent est en particulier mis sur les méthodes énergétiques classiques (théorème de Castigliano et théorème de Ménabréa).

• Eléments d’introduction
• Principe des puissances virtuelles
• Théorie des poutres (droites, curvilignes...)
• Efforts intérieurs, déformations et déplacements
• Méthodes de résolution des systèmes isostatiques et hyperstatiques (Ménabréa, Castigliano)

• maitriser les bases du calcul tensoriel
• déterminer les contraintes sous quelques hypothèses simples;
• résoudre des problèmes simples d'élasticité linéaire avec les conditions aux limites
• calculer des contraintes et déformations
• utiliser une loi de comportement dans le cadre élastique
• résoudre des problèmes d'élasticité simples
• appliquer des approches énergétiques

• Calcul tensoriel,
• contraintes et déformations,
• lois de conservations,
• lois de comportement,
• résolution de problèmes simples d'élasticité linéaire.
• Principe des puissances virtuelles

Comprendre les phénomènes liés à la propagation d'une ou plusieurs ondes lumineuses (polarisation, interférences, diffraction): polarisation d'une onde lumineuse, interférences et dispositifs interférométriques à division de front d'onde ou d'amplitude (Michelson, fentes d'Young, Fabry-Perot...), diffraction.

• Caractériser la polarisation d'une onde et les différents éléments optiques susceptibles de la mesurer ou de la modifier.
• Comprendre et réaliser un dispositif interférométrique de type interféromètre de Michelson.
• Réaliser les conditions nécessaires pour l'observation du phénomène de diffraction.
• Formaliser la polarisation d'une onde et sa modification au passage d'éléments optiques (polariseur, lames déphaseuses) grâce au formalisme des matrices de Jones.
• Décrire les interférences lumineuses et différents dispositifs interférométriques.
• Mettre en équation le phénomène de diffraction et savoir faire le calcul pour des objets simples.

• Polarisation d'une onde électromagnétique (polariseurs, lames déphaseuses, formalisme de Jones)
• Interférences à 2 ou plusieurs ondes, dispositifs interférométriques (fentes d'Young, Michelson....)
• Diffraction d'une onde
• notions de cohérences temporelle et spatiale

Acquérir une culture générale opérationnelle à différentes échelles (du système solaire à la cosmologie) sur l'Univers et les objets qui le constituent (étoiles et planètes en particulier).

• Analyse dimensionnelle.
• Lecture et tracés de diagrammes log-log, lois de puissance.
• Connaissance et/ou dérivation d'ordres de grandeur pour des objets ou des systèmes astrophysiques.

• Classification des astres dans l'Univers : relations masse-rayon

• Physique stellaire : relations masse-luminosité, diagramme HR, formation des étoiles, états finaux.

• Atmosphères planétaires : effet de serre, gradient adiabatique, couches atmosphériques, notions de dynamique atmosphérique.

• Distances dans l'Univers : mécanique orbitale (lois de Kepler), magnitudes apparentes et absolues, effet Doppler, loi de Hubble et notions de cosmologie.

• Poursuivre l'acquisition des bases fondamentales du traitement de signal.
• Fonction de transfert et réponse impulsionnelle, fonctions d’autocorrélation et fonction d’intercorrélation - La chaine de numérisation des signaux analogiques : échantillonnage, quantification, codage - Les signaux discrets et la TFD.
• Maitriser l'outil mathématique "Transformation de Fourier" et comprendre la différence entre signaux produits et signaux perçus.
• Savoir faire une analyse fréquentielle des grandeurs physiques qui évoluent dans le temps.

• Systèmes linéaires et filtrage des signaux

• Produit de convolution et propriétés - Caractérisation d’un système linéaire - Lien entre réponse impulsionnelle et fonction de transfert - Les différents types de filtres
• Echantillonnage des signaux
• La chaine de numérisation - Echantillonnage idéal, échantillonnage réel - Théorème de Shannon - Filtre antirepliement - Reconstitution d’un signal échantillonné - Quantification des signaux.
• Signaux discrets
• Définition et exemples de signaux discrets. - La Transformée de Fourier d’un signal discret - Développement en série de Fourier d’un signal discret périodique - La Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Appliquer les équations vues dans le module "Mécanique des fluides 1" à des cas concrets, en particulier aux écoulements à surface libre, approfondir les connaissances acquises dans ce module;

• Faire une analyse dimensionnelle d'un problème de physique;
• Résoudre un problème simple de dynamique des fluides incompressibles parfait ou visqueux et calculer les forces résultantes;
• Déterminer les caractéristiques d'un écoulement à surface libre : vitesses, pressions, débits, hauteurs d'eau, régimes d'écoulement.

• Ecoulements à surface libre;
• Analyse dimensionnelle;
• Ecoulements parallèles.

Les techniques d’extraction de Connaissance à partir des Données font appel à des méthodes issues de la statistique, de l’analyse de données, de l’Intelligence artificielle, de l’informatique qui permettent de découvrir ce que contiennent les données comme informations ou modèles utiles. Les trois catégories de méthodes qui constituent la fouille de données seront illustrées par la présentation détaillée d’une méthode simple et de son application à un jeu de données issu de l’observation de la terre (télédétection spatiale, observations in situ, sortie de modèles numérique).

• être capable d'identifier le type de données et le de choisir le type de méthode adaptée à une problématique
• être capable d'utiliser le package scikit-learn pour faire des visualisations et des analyses statistiques préliminaires
• être capable d'interpréter des résumés numériques ou graphiques de jeux de données simples
• être capable d'avoir un point de vue critique sur la qualité d'un modèle
• Travailler en groupe
• Rédiger un rapport de synthèse

• Introduction à l’analyse de données moderne (typologie des méthodes et exemples)

• Les prétraitements – Le tableau de données- distinguer les types de variables

• méthodes de visualisation et de description

• méthodes de classification et de structuration

• méthodes d’explication et de prédiction

• Validation et quantification des erreurs

-être capable de modéliser un problème mécanique en vue de sa résolution numérique -analyser les résultats d'une simulation numérique -découvrir l'utilisation d'un code de calcul utilisant la méthode des éléments finis

• Formulation variationnelle d'un problème d'élasticité (équation d'équilibre et théorème de l'énergie potentielle)
• discrétisation de la formulation
• méthodes d'approximation (fonctions d'interpolation)
• mise en oeuvre de la méthode de résolution (prise en compte des conditions aux limites, du chargement, assemblage et solution)

• Analyser le fonctionnement et la conception d'un système mécanique.
• Modéliser et analyser les phénomènes physiques mis en jeu sur un mécanisme réel en situation (phénomènes vibratoires, thermiques, écoulements)
• Mettre en oeuvre des moyens de communication (dessin, schéma, modèle CAO 3D ..) pour analyser, concevoir ou expliquer le fonctionnement d'un système mécanique

• Construction et modélisation des liaisons mécaniques réelles ( jeu, défauts de réalisation ...)
• Guidages par paliers lisses et par éléments roulants
• Transmissions de puissance par engrenages
• Modélisation et simulation 3D des systèmes mécaniques