LDD3 Mathématiques, Physique

Notion d’échantillon, estimateurs, risque quadratique
Modèles paramétriques, méthode des moments, méthode du maximum de vraisemblance, inégalité de Cramer-Rao
Loi d’un estimateur, intervalles de confiance
Convergence des estimateurs, étude asymptotique
Tests d’hypothèses : vocabulaire et démarche, lemme de Neyman-Pearson, construction d’un test
Tests asymptotiques, Tests dans le modèle gaussien, Tests du chi2

Acquérir les notions de base de l’inférence statistique :

Estimation : savoir estimer les paramètres d’une loi, étudier les propriétés mathématiques d’un estimateur, construire des intervalles de confiance. Tests statistiques : savoir traduire une question simple en un problème de test et y répondre par la construction d’un test approprié.

axiomes des probabilités
variables aléatoires réelles, caractérisations de leurs lois par la fonction de répartition, définition des variables aléatoires discrètes et à densité
lois de probabilités usuelles : Bernoulli, binomiale, binomiale négative géométrique, Poisson, uniforme, gaussienne, exponentielle, gamma, Cauchy…
transformations de variables aléatoires par la méthode de la fonction muette
simulation par inversion de la fonction de répartitition
espérance, variance, moments
couples et vecteurs aléatoires, indépendance et corrélation
suites de variables aléatoires et convergences
loi des grands nombres, théorème central limite
vecteurs gaussiens

Maîtriser les outils mathématiques permettant de traiter un grand nombre de problèmes du domaine des probabilités.

Fonctions d’une variable : dérivabilité, égalité des accroissements finis, courbes paramétrées.
Espace vectoriel normé : norme et produit scalaire ; distance, ouverts et fermés ; convergence des suites, continuité des fonctions ; compacité, équivalence des normes dans R^n.
Différentiabilité des fonctions de R^n dans R^p ; dérivées partielles, jacobiennes ; différentielles des fonctions composées ; théorèmes des accroissements finis, fonctions C^1 ;
Théorème d’inversion locale ; Théorème des fonctions implicites ; Hypersurface de R^n ;
Différentielles et dérivées partielles d’ordre supérieur ; fonctions C^k ; matrice hessienne ; formule de Taylor ;
Extremums des fonctions de R^n dans R ; condition nécessaire et suffisante d’extremum ; cas des fonctions convexes ; extremums liés et multiplicateurs de Lagrange.

Manipuler les fonctions de plusieurs variables, comprendre la notion de différentielle, connaître et comprendre les théorèmes fondamentaux (inversion locale, fonctions implicites), acquérir les outils de base pour l’étude de problèmes d’optimisation.

Rappels sur l’intégrale de Riemann et les limites de suites de fonctions.
Intégrale de Lebesgue sur R, théorèmes de convergence monotone et de convergence dominée, exemples de fonctions intégrables, intégrales dépendant d'un paramètre.
Intégrale de Lebesgue sur R^d (généralisation de la construction précédente), théorème de Fubini, changement de variable.
Espaces L¹ et L². Présentation de la convolution et de la transformée de Fourier sur L¹.

Maîtriser la notion d’intégrabilité ainsi que les propriétés de l’intégrale de Lebesgue. Savoir appliquer les grands théorèmes de l’intégrale de Lebesgue (convergence monotone et dominée, intégrale à paramètre, Fubini, changement de variable).

Différentes méthodes de résolution de systèmes linéaires seront étudiées : les méthodes directes par décomposition LU et QR, les méthodes itératives de type Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation.
Différentes méthodes de recherche de valeurs propres et de vecteurs propres seront également étudiées, notamment dans le cas particulier des matrices symétriques.
La notion de conditionnement sera évoquée afin de comprendre le comportement des erreurs numériques.
Toutes ces notions seront appliquées en particulier à la matrice obtenue par discrétisation de l’opérateur Laplacien en dimension un par la méthode des différences finies.

Acquérir les outils mathématiques d’analyse numérique matricielle notamment les différents algorithmes de décompositions de matrices, les méthodes de résolution de systèmes linéaires et de problèmes aux valeurs propres.

Le cours propose une introduction à la physique statistique, à partir du postulat fondamental de la physique statistique et la description détaillée de l'ensemble microcanonique. Les notions essentielles sont introduites (entropie, température, pression, ...). Le problème important du relâchement des contrainte(s) est discuté en détail, ce qui permet de donner un éclairage probabiliste sur la notion d'irréversibilité. On aborde ensuite la description des systèmes non isolés, à travers la présentation des ensembles canonique et grand canonique.

C'est dans ce cadre que l'on peut aborder quelques problèmes physiques intéressants. Après quelques propriétés des gaz (monoatomique, diatomique) étudiés dans un cadre semi-classique, on décrit la thermodynamique des oscillateurs harmoniques (vibration des corps solides et rayonnement du corps noir). Le cours se clôt par une introduction aux transitions de phase. La phénoménologie de la transition liquide-gaz est rappelée afin d'insister sur les analogies avec la transition paramagnétique- ferromagnétique qui est étudiée plus en détail.

L'objectif de ce cours est d'acquérir une solide connaissance des bases de la mécanique quantique.

On discutera en particulier les points suivants :

• Phénomènes quantiques
• Principes, postulats et mesure en mécanique quantique
• Formalismes de Schrödinger et de Dirac
• Symétries, invariances et lois de conservation
• Oscillateur harmonique
• Moments cinétiques orbital et de spin
• Atome d'hydrogène

Cet enseignement part des équations de Maxwell et aborde les points suivants :

• Propriétés du champ électromagnétique : énergie, impulsion et moment cinétique du champ. Onde électromagnétique dans le vide
• Électrostatique et magnétostatique
• Induction électromagnétique
• Milieux diélectriques et magnétiques : étude microscopique et macroscopique. Propagation dans les milieux diélectriques
• Systèmes rayonnants : source oscillante, antennes et charges en mouvement

• Des équations de Maxwell à l’optique : Ondes planes, Optique matricielle, Cavités optiques, Diffraction (ondes planes et sphériques), Guides d’ondes, Causalité et dispersion
• Matériaux anisotropes et lumière : Propagation dans un milieu anisotrope, Polarisation et ondes planes, Biréfringence circulaire

Ce cours propose une introduction aux formulations lagrangienne et hamiltonienne de la mécanique, dont les concepts et le formalisme sont utilisés dans de nombreux autres cours. Y sont introduits : les équations d'Euler-Lagrange et d'Hamilton, les principes variationnels, la prise en compte des contraintes, les grandeurs conservées et le rôle des symétries.

Après une discussion générale sur l'évolution temporelle pour un système conservatif, les techniques de résolution des équations sont abordées, comme les transformations canoniques, l'équation de Hamilton-Jacobi, les crochets de Poisson ou les méthodes d'approximation.

Parmi les applications proposées, on trouve le traitement des petites oscillations, la rotation des solides, le problème à deux corps, et les liens avec la mécanique quantique.

Attendus de l'UE Langue-Anglais4 : Niveau B2+/C1 dans les 5 compétences linguistiques.

ANGLAIS DE SPÉCIALITÉ. Cette UE s'inscrit dans la continuité de l'UE Langue-Anglais3 et le travail sur la langue de spécialité (scientifique et/ou à visée professionnelle) : on prolongera l'approche actionnelle dans les 5 compétences et on s'attachera à la préparation de l'étudiant aux différentes tâches liées à son activité scientifique telles que la rédaction d'un compte rendu d'expérience, le commentaire d'un graphique, la desciption d'un processus mais aussi à son insertion dans le monde professionnel : rédaction d'un CV ou d'une lettre de motivation en vue d'un stage... On proposera une initiation au débat ainsi qu'un entraînement à la certification CLES 2.

Le travail se fera par groupes de niveau.

Pré-requis : Topologie de R^N, compacité, application contractante, intégration numérique.

Théorie des Equations différentielles ordinaires (EDO).
EDO du premier ordre linéaire et à variables séparées. EDO d’ordre supérieur et systèmes d’EDO.
Théorème de Cauchy-Lipschitz, Théorème des bouts, Continuité de la solution vis-à-vis des paramètres.
Exercices sur des résolutions d’EDO, calcul de temps d’existence, propriétés des solutions.
Schémas numériques pour les EDOs : étude des méthodes à un pas, notion de convergence (consistance, stabilité et convergence, ordre des schémas).
Travaux dirigés sur ordinateurs avec programmation en python.

Comprendre ce qu’est une EDO et savoir représenter les champs de vecteurs, portraits de phase et les solutions pour différentes données et paramètres. Comprendre et savoir appliquer les principaux résultats d’analyse concernant l’existence, l’unicité et la régularité des solutions. Maîtriser les outils permettant de résoudre exactement les edo linéaires et à variables séparées. Maîtriser les outils d’analyse numérique et de calcul scientifique pour résoudre numériquement une edo et étudier les propriétés de convergence de la solution approchée vers la solution exacte.