Le but de la formation (AAG) est de préparer au mieux les étudiants à une thèse en mathématiques fondamentales. La plupart des cours (cours spécialisés du second semestre) et enseignants sont renouvelés à fréquence de deux années pour permettre de couvrir un champ disciplinaire assez vaste. Les étudiants construisent leur formation avec un choix de cours varié.
Les disciplines représentées incluent : théorie des nombres, géométrie algébrique, théorie de Lie, géométrie différentielle, théorie géométrique des groupes, systèmes dynamiques, analyse harmonique, équations aux dérivées partielles, etc.
Pré-requis, profil d’entrée permettant d'intégrer la formation
M1 en mathématiques fondamentales ou une formation de niveau équivalent. Sur concours.
Informations complémentaires
Regardez la vidéo ci-dessous pour en savoir plus sur le M2 Analyse, arithmétique, géométrie.
Compétences
Maitriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques de haut niveau.
Concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse.
Analyser un document de recherche en vue de sa synthèse et de son exploitation.
Expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques.
Comprendre et modéliser mathématiquement un problème afin de le résoudre.
Profil de sortie des étudiants ayant suivi la formation
Les étudiants auront acquis les connaissances de base de maths modernes et étudié un domaine particulier en profondeur, suffisamment pour commencer la recherche (en général dans le cadre de la préparation de la thèse).
Débouchés de la formation
Le principal débouché de ce parcours est la préparation d'un doctorat en mathématiques fondamentales.
Collaboration(s)
Laboratoire(s) partenaire(s) de la formation
Laboratoire de mathématiques d'Orsay.
CMLS (Ecole Polytechnique).
Programme
Seul un groupe des UEs, "Cours Fondamentaux, compte au 1er semestre. On peut les choisir comme on veut, à condition de valider 30 ECTS. De plus on peut compléter par certains cours de AMS ("cours communs AAG-AMS, à préciser dans la maquette AMS)AMS).
L'objectif du cours est de donner une formation générale en groupes de Lie et géométrie riemannienne. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle.
On abordera les sujets suivants :
- Groupes et algèbres de Lie, classification des groupes de Lie semi-simples, espaces homogènes.
- Fibrés vectoriels, tenseurs, connexions linéaires, torsion et courbure ; fibrés principaux
- Géométrie riemannienne : Connexion de Levi-Civita, géodésiques, théorème de Hopf-Rinow, courbures, formules de variation, champs de Jacobi, théorème de Cartan-Hadamard, théorèmes de comparaison, sous-variétés riemanniennes, géométrie à l'infini des variétés riemanniennes de courbure négative ou nulle
- Espaces symétriques et classification des espaces symétriques de type non compact.
- Structures géométriques, rigidité et déformations.
Prérequis :
Les étudiants devront maîtriser le contenu du cours accéléré "Variétés différentielles et formes différentielles".
Bibliographie :
- S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine : Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag, 1990
- W.P.A. Klingenberg : Riemannian geometry. 2nd edition. De Gruyter Studies in Mathematics 1. 1995
- J. Cheeger, D.G. Ebin : Comparison theorems in Riemannian.
AAG - Systèmes Dynamiques topologiques et différentiables
Langues d’enseignement :
FR/AN
Intitulé de l’UE en anglais :
Topological and Differentiable Dynamical Systems
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Cours :25
Travaux dirigés :12.5
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :RUGH Hans
Déroulement et organisation pratique :
Cours + TD : 2h + 1h par semaine pendant environ 12 à 13 semaines. Examen écrit ou en forme de devoir maison.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
• Dynamique symbolique et rotations sur le cercle. Dynamique uni-modale et théorème de Sarkovski. Dynamique et entropie topologique.
• Contraction des cônes. Théorème(s) de type Perron-Frobenius, Formalisme thermodynamique de Ruelle: Pression, mesures ergodiques, mélange exponentielle.
• Dimension de Hausdorff. Repulseurs conformes est fractales. Formule de Bowen. Dynamiques complexes : Ensemble de Julia et Fatou.
• Systèmes dynamiques hyperboliques. Variétés stable/instable.
Applications de type Anosov. L'application 'chat' d'Arnold.
• Dynamique des flots. Théorème de Poincaré-Bendixon. Exposante de Lyapunov.
• Petits diviseurs et rotation irrationnelle. Théorème d'Arnold.
• Dynamique Hamiltonienne. Systèmes intégrables et théorie de KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser).
Prérequis :
Analyse fonctionnelle de base (Topologie, Calcul différentiel, Théorie de la mesure). Connaissances rudimentaire en géométrie différentielle.
Bibliographie :
• Viviane Baladi : Positive transfer operators and decay of correlations, vol 16, Advances Series in Nonlinear Dynamics. World Sci Publ, River Edge, NJ, 2000.
• Robert Devaney : An introduction to chaotic dyn systems, Addison-Wesley, Reading MA 1989.
• Boris Hasselblatt, Anatole Katok : Introduction to the Modern Theory of Dyn Systems, 1999.
Two classes of 2 hours, and one exercise session (Laurent Moonens) per week, for about 13 weeks. Written final exam, maybe with an oral.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
We will study collection of results of Analysis and Geometric Measure theory.
Covering lemmas, Maximal functions, Sobolev spaces, Whitney extension theorem,
BMO and John-Nirenberg's theorem, Rectifiability, results on Lipschitz and BV functions, and the such.
Prérequis :
Certainly, some measure theory. We'll try not to rely on much more.
Bibliographie :
To give an idea of the subject:
E. M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions,
Princeton university press 1970;
P. Mattila, Geometry of sets and measures in Euclidean space,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics 44, Cambridge University Press 1995.
4h de cours magistraux par semaine, 2h de TD. Un examen partiel (novembre) et un examen final (janvier).
Des notes (en français) et des résumés (en anglais) de cours seront donnés.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Il s'agit d'un cours qui couvre les bases de la théorie algébrique des nombres.
-algèbres simples centrales, groupe de Brauer d'un corps
-anneaux d'entiers de corps de nombres
-corps p-adiques, théorie du corps de classe local
-fonctions zeta et fonctions L, applications.
Prérequis :
-théorie de Galois
-algèbre linéaire
-un cours élémentaire de théorie des nombres, sans être un prérequis strict, est utile.
-éléments d'analyse complexe.
Bibliographie :
-Neukirch, Algebraic Number Theory
-Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory
-Weil, Basic Number Theory
-Serre, Corps locaux
-Kato-Kurokawa-Saito, Number Theory 2.
Cours 4h/semaine, TD 2h/semaine pendant 12 semaines, avec un partiel au mi-chemin. examen autour du 20-25 janvier.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Il s'agit surtout d'introduire le vocabulaire et les outils principaux de la géométrie algébrique moderne,
avec quelques théorèmes remarquables comme illustrations.
Plan:
1) Le spectre d'un anneau commutatif, notion d'un schéma, exemple: Proj A. Polynome de Hilbert, théorème de Bezout.
2) Propriétés de base de schémas et de leurs morphismes. Produits fibrés, changement de base, fibre d'un morphisme.
3) Faisceaux (quasi)cohérents, propriétés et applications. Faisceaux amples et morphismes projectifs. Diviseurs de Weil et de Cartier. Groupe de Picard.
4) Cohomologie de faisceaux. Théorèmes d'annulation. Calculs pour l'espace projectif. Invariants cohomologiques.
Théorème de Riemann-Roch pour courbes.
Prérequis :
Algèbre commutative, éléments de la théorie de faisceaux et de l'algèbre homologique.
Cours: 2h semaine pendant environ 12 à 13 semaines.
TD : une séance de 2h une semaine sur deux.
Examen écrit ou en forme de devoir maison.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
•Transformations qui préserve la Mesure, invariance, ergodicité, mélange.
•Récurrence de Poincaré, théorème de Kac, temps de retour,…
•Théorèmes ergodiques en moyenne et ponctuel.
•Entropie d'une mesure invariante. Théorie de l'information de Shannon.
•Invariants spectraux
•Théorème ergodique sub-additif et théorème ergodique multiplicatif.
Prérequis :
Théorie de la mesure.
Analyse fonctionnelle de base (espace de fonctions)
Connaissance en probabilité peuvent être utiles.
Bibliographie :
Marcelo Viana and Krerley Oliveira. Foundations of ergodic theory, vo-
lume 151 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge
University Press, Cambridge, 2016.
Karl Petersen. Ergodic theory, volume 2 of Cambridge Studies in
Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge,
1989. Corrected reprint of the 1983 original.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Septembre - Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
On introduira les notions de bases de l'algèbre homologique, en suivant le programme suivant
1- Catégories, foncteurs. Catégories abéliennes.
2- Injectifs et projectifs. Résolutions.
3- Foncteurs dérivés. Exemples.
4- Méthodes simpliciales.
Tout au long du cours, on utilisera des exemples provenant de divers domaines (théorie des groupes, géométries riemannienne ou algébrique, topologie).
Prérequis :
Seules des bases d'algèbre sont nécessaires (modules sur un anneau, représentations de groupes, produit tensoriel).
Bibliographie :
An introduction to homological algebra. C. Weibel
Categories and homological algebra. Lecture note of P. Schapira.
Chaque semaine, quatre heures de cours et deux heures de "travaux dirigés". Pendant ceux-ci, sont souvent présentés des "compléments" concernant des théories sur lesquelles s'appuie le cours (théorie du groupe fondamental, cohomologie des faisceaux, etc.); ces deux heures de travaux dirigés constituent donc une part essentielle de cette UE.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours constitue une introduction à la géométrie analytique complexe, mettant l'accent sur la théorie des surfaces de Riemann et des variétés abéliennes complexes. Notamment, les grands théorèmes classiques sur les courbes algébriques et les surfaces de Riemann, comme le théorème de Riemann-Roch et le théorème d'uniformisation, y sont présentés dans une perspective moderne.
Ce cours s'adresse en premier lieu à des étudiants souhaitant s'orienter vers la géométrie algébrique et la théorie des nombres (les connaissances requises concernant l'analyse sur les variétés y sont minimales), mais devrait intéresser tous les étudiants intéressé par la géométrie, entendue dans le sens le plus large.
Prérequis :
Maîtrise de Mathématiques Pures.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Octobre - Novembre - Décembre - Janvier.
Lieu(x) :
ORSAY
Au second semestre, comptent deux groupes d'UE: Cours Spécialisés (6 ECTS) et Cours complémentaires (3 ECTS). Le reste, soit 21 ECTS, est acquis en effectuant un stage de recherche et soutenant un mémoire de M2. En outre, les étudiants peuvent suivre des cours de langues/FLE, histoire de maths ou séminaire des étudiants (ce dernier pouvant exceptionnellement remplacer un cours accéléré).
Algèbre commutative, algèbre homologique et théorie des faisceaux. Comme l’indique son titre, ce cours poursuit un triple but : 1. Rappeler et approfondir les connaissances d’algèbre commutative acquises en master 1 (localisation dans les anneaux commutatifs, produit tensoriel, idéaux premiers et maximaux, théorème des zéros de Hilbert, dimension et correspondance algèbre/géométrie). 2. Proposer une brève introduction aux outils essentiels d’algèbre homologique (complexes, cohomologies, résolutions injectives et projectives, foncteurs dérivés). 3. Développer les rudiments de théorie des faisceaux.
Prérequis :
Algèbre de M1.
Bibliographie :
Introduction to commutative algebra, Atiyah-Macdonald
Introduction to the theory of schemes, Manin
Commutative algebra with a view towards Algebraic Geometry, Eisenbud
Commutative Ring Theory, Matsumura
Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Godement
An introduction to homological algebra, Weibel.
Intitulé de l’UE en anglais :
Introduction to differential geometry
ECTS :
3
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Leclercq Rémi
Déroulement et organisation pratique :
Ce cours dure 20 heures, réparties sur une semaine, avec un examen (écrit) à la fin de la semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours commence par la définition des variétés différentiables et de leurs fibrés tangent et cotangent. Il présente ensuite les champs de vecteurs et leurs flots, ainsi que leurs dérivations et crochet. Vient ensuite la théorie des formes différentielles avec pour applications la cohomologie de de Rham d'une variété différentiable (en particulier son invariance et la suite exacte de Mayer-Vietoris). Il se termine avec la notion d'orientation des variétés différentiables, l'intégration des formes différentielles et la dualité de Poincaré (de la cohomologie de de Rham).
Prérequis :
Les techniques de base de calcul différentiel dans les espaces vectoriels réels de dimension finie ; les théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites.
Bibliographie :
Pré-requis:
H. Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann, 2nde édition 1977 [English translation by A.J. Silberger]
Contenu:
F. Paulin Variétés différentielles et formes différentielles, Notes de cours [printed and given to students]
M. Spivak, Differential geometry, Publish or perish, 1979.
C. H. Taubes, Differential geometry, Oxford University Press, 2011. [Chapitres 1-6 et 12.].
Cours accéléré de 10 séances (dont examen) de 2h, lors d'une semaine de septembre.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Les objets de départ en Analyse Complexe à Plusieurs Variables sont les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, que l'on peut définir comme des fonctions continues, et holomorphes par rapport à chacune de leurs variables.
Comme en dimension 1 (complexe), une formule de Cauchy (itérée ici) donne l'analyticité de telles fonctions. On peut en conséquence définir, par analogie avec le cas réel, la catégorie des variétés complexes (ou holomorphes) en toute dimension complexe.
On va alors disposer de méthodes géométriques, reposant en particulier sur le formalisme des courants (généralisation aux variétés de la notion de distribution), adaptées à l'étude d'un phénomène nouveau par rapport à la dimension 1, à savoir la possibilité dans de nombreux cas de pouvoir prolonger toutes les fonctions holomorphes d'un ouvert donné de $\mathbb{C}^n$ ($n\geq 2$). Il s'agira plus précisément dans ce cours d'aborder la résolution de ce problème, consistant en une caractérisation des domaines d'holomorphie, ainsi que sa généralisation aux variétés.
À travers son contenu, cet enseignement donnera l'occasion de se familiariser avec la Géométrie différentielle,
– et plus précisément la Géométrie complexe, utile avant une orientation vers la Géométrie algébrique. Les notions d'Analyse harmonique abordées en feront également une première introduction aux thématiques liées à l'étude des EDP (elliptiques).
Prérequis :
• Analyse complexe en une variable ;
• Théorie des distributions ;
• Rudiments de géométrie différentielle.
Bibliographie :
Complex Analytic and DIfferential Geometry de J.-P. Demailly (disponible sur la page web de l'auteur).
Ce module optionnel sera organisé, dans la proportion de moitié/moitié, en cours et TD. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche secondaire (partiellement en langue anglaise).
L'évaluation se fait sur base d'un travail personnel (individuel ou en tandem), constitué d'un exposé et d'une rédaction écrite finale (env. 10 pages). Chaque étudiant/couple d'étudiants travaillera sur un autre texte d'origine chinoise (traduit en français ou en anglais) et l'analysera en comparaison avec une thématique équivalente provenant de la tradition occidentale ou des mathématiques modernes.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera dans une perspective comparative entre tradition occidentale et tradition chinoise des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs culturels.
Prérequis :
- curiosité et volonté de se plonger dans des textes mathématiques d'une autre époque et d'une autre tradition,
- pas de connaissance en histoire des mathématiques requises,
- bonne connaissance de l'anglais à la lecture.
Bibliographie :
---. Bréard, Andrea. Nine Chapters on Mathematical Modernity. Springer, 2019.
---. Gray, Jeremy J. Plato’s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2008).
---. Lloyd, G.E.R. “The Conception and Practi.
Soutenance en présence de deux membres du jury, en principe courant juillet, au pire autour du 1er septembre.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Chaque étudiant doit choisir un directeur du stage, normalement courant février. Ensemble ils choisissent un sujet,
l'étudiant l'apprend en profondeur (ce qui peut mener à des résultats nouveaux, mais ce n'est pas requis), il écrit un mémoire et le soutient.
On introduira le problème de rigidité et les techniques de base pour l'aborder, on expliquera ensuite comment traiter plusieurs cas, en particulier en dimension 2 où l'on sait maintenant résoudre une grande partie des questions sur le sujet.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Un problème ancien en géométrie Riemannienne est de savoir si les longueurs des géodésiques permettent de déterminer/identifier la métrique Riemannienne. Cet ensemble de longueurs s'appelle le spectre des longueurs de la métrique Riemannienne. Ce problème se pose par exemple pour une variété compacte sans bord, où dans ce cas les géodésiques dont on peut mesurer la longueur sont les géodésiques fermées, mais elle se pose aussi dans le cas d'une variété à bord où on peut considerer les longueurs des géodésiques qui relient les points du bord.
On dit qu'une métrique est rigide si elle est la seule à isométrie près à avoir son spectre de longueurs (par exemple pour la sphere canonique c'est $2\pi N$). On expliquera comment aborder ces problèmes, qui sont aussi liés à des questions de tomographie et on traitera plusieurs exemples où des résultats positifs sont connus.
Prérequis :
Les pré-requis sont: géométrie différentielle et métriques riemanniennes, des techniques d'analyse de niveau master, éventuellement quelques connaissances de systèmes dynamiques élémentaires.
Bibliographie :
* S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry - Gallot-Hulin-Lafontaine, Springer Universitext
* G. Paternain, Inverse Problems in geometry and dynamics - Lecture notes by Gabriel Paternain (https://www.dpmms.cam.ac.uk/~gpp24/ipgd(3).pdf)
* G. Paternain, Geodesic Flows, Birkhauser Progress in Math 180
* C. B. Croke, Rigidity and the distance between boundary points, J. Differential Geom. 33 (1991), no. 2, 445–464.
* J-P. Otal. Le spectre marqué des longueurs des surfaces à courbure négative. Ann. of Math. (2), 131(1):151–162, 1990.
* V. Guillemin and D. Kazhdan, Some inverse
Intitulé de l’UE en anglais :
Introduction to compact quantum groups
ECTS :
6
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Freslon Amaury
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Les groupes quantiques compacts généralisent à la fois les groupes compacts et les groupes discrets. De ce fait, il sont reliés à de très nombreux domaines des mathématiques : algèbres d'opérateurs, catégories tensorielles, théorie des noeuds, théorie quantique de l'information et probabilités libres. L'objectif de ce cours est de donner une introduction détaillée à la théorie sous-jacente et d'explorer des classes d'exemples centrales dans la recherche actuelle. L'étude de ces exemples nous mènera à développer des outils combinatoires inspirés des probabilités libres, dont nous illustrerons certaines applications. Ensuite, nous verrons comment décrire la structure topologique et mesurée (au sens de la géométrie non-commutative) de ces objets.
Prérequis :
Aucun.
Bibliographie :
S. Neshveyev and L. Tuset, "Compact quantum groups and their representation categories", SMF, 2013
T. TImmermann, "An invitation to quantum groups and duality", EMS, 2008.
Intitulé de l’UE en anglais :
Metric number theory
ECTS :
6
Détail du volume horaire :
Cours :20
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :Durand Arnaud
Déroulement et organisation pratique :
20h de cours (8 séances hebdomadaires de 2h30).
Le cours pourra être donné en français ou en anglais selon l'auditoire.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
La théorie métrique des nombres a pour objet de décrire la taille, ainsi que la géométrie, des ensembles de nombres réels décrits par certaines propriétés arithmétiques, comme par exemple la qualité de leur approximation diophantienne par des nombres rationnels ou algébriques, ou la nature de leur développement décimal ou dans d'autres bases.
Le cours présentera les outils principaux pour mener ce genre d'étude, et les illustrera par plusieurs exemples. On abordera en particulier les thèmes suivants :
- notions de théorie géométrique de la mesure, mesures et dimension de Hausdorff et de packing ;
- exemples d'ensembles obtenus par des restrictions sur les fréquences des digits dans le développement en base b ;
- notions d'ubiquité et de principe de transfert de masse, propriétés de taille et de grande intersection, cas des ensembles de type limsup ;
- problèmes issus de la théorie métrique de l'approximation diophantienne, approximation par des nombres rationnels ou des nombres algébriques.
Selon l'auditoire, on pourra aussi traiter de l'analyse multifractale de la fonction de Riemann et des séries de Davenport, ou des ensembles exceptionnels en dynamique.
Prérequis :
Le cours nécessite peu de pré-requis : juste des connaissances élémentaires en analyse réelle, théorie de la mesure et en arithmétique.
Bibliographie :
V. Beresnevich, D. Dickinson, and S. Velani. Measure theoretic laws for limsup sets. Mem. Amer. Math. Soc., 179(846):1–91, 2006.
V. Beresnevich and S. Velani. A mass transference principle and the Duffin-Schaeffer conjecture for Hausdorff measures. Ann. of Math. (2), 164(3):971–992, 2006.
A. Durand, Topics in Metric Number Theory, livre en préparation disponible sur https://www.math.u-psud.fr/~durand/
K. Falconer. Fractal geometry: Mathematical foundations and applications. John Wiley & Sons Inc., Chichester, 2nd edition, 2003.
C. Rogers. Hausdorff Measures. Cambridge University Press
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Janvier - Février - Mars - Avril.
Lieu(x) :
ORSAY
Modalités de candidatures
Période(s) de candidatures
Du 01/03/2024 au 30/06/2024
Pièces justificatives obligatoires
Lettre de motivation.
Tous les relevés de notes des années/semestres validés depuis le BAC à la date de la candidature.
Curriculum Vitae.
Pièces justificatives complémentaires
Descriptif détaillé et volume horaire des enseignements suivis depuis le début du cursus universitaire.
Fiche de choix de M2 (obligatoire pour les candidats inscrits en M1 à l'Université Paris-Saclay) à télécharger sur https://urlz.fr/i3Lo.
Document justificatif des candidats exilés ayant un statut de réfugié, protection subsidiaire ou protection temporaire en France ou à l’étranger (facultatif mais recommandé, un seul document à fournir) :
- Carte de séjour mention réfugié du pays du premier asile
- OU récépissé mention réfugié du pays du premier asile
- OU document du Haut Commissariat des Nations unies pour les réfugiés reconnaissant le statut de réfugié
- OU récépissé mention réfugié délivré en France
- OU carte de séjour avec mention réfugié délivré en France
- OU document faisant état du statut de bénéficiaire de la protection subsidiaire en France ou à l’étranger.
