Cet élément de formation a une double visée :
1) acquérir, comprendre et maîtriser un grand nombre d'outils et de méthodes mathématiques d'un haut niveau sans aucun cloisonnement, en proposant un spectre étendu de cours classiques, mais aussi originaux dans l'ensemble des domaines des mathématiques,
2) permettre aux étudiants de découvrir de l'intérieur, l'activité de recherche en mathématiques en se confrontant à des problématiques ouvertes et actuelles à l'occasion des journées de rentrée, d'une activité de recherche sous forme de stages, mais aussi de cours proposant des mini-projets.
Cette formation proposera un cursus individualisé conçu pour aider l'étudiant à formaliser et concrétiser un projet doctoral. Le public visé est celui des élèves de deuxième année de l'ENS Paris-Saclay ou du magistère de mathématiques d'Orsay ou du parcours Recherche de l'Ecole Centrale-Supelec ainsi que des étudiants étrangers, notamment ceux sélectionnés par les bourses de mobilité entrante de l'Idex ou de la FMJH. Ce parcours se positionne donc comme un programme conduisant à une thèse et ce dans toutes les branches des mathématiques.
Pré-requis, profil d’entrée permettant d'intégrer la formation
Une très bonne maîtrise des concepts mathématiques abordés dans une licence de mathématiques.
Compétences
Acquérir et maîtriser des concepts et des théories mathématiques de haut niveau.
Mettre en oeuvre des calculs, des outils et des méthodes mathématiques.
Se documenter et résumer l'état des connaissances actuelles concernant un problème mathématique.
Analyser un document de recherche en vue de sa synthèse et de son exploitation, afin d'en juger de sa pertinence.
Développer son intuition mathématique, formuler des conjectures, en vérifier la pertinence et les confronter à l'état des connaissances actuelles.
Concevoir et construire de façon autonome une preuve mathématique rigoureuse.
Maîtriser des outils numériques et langages de programmation de référence.
Communiquer ses résultats de recherche.
Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.
Structurer un exposé oral mettant en avant l'état de l'art, le travail original produit, les techniques mathématiques utilisées.
Débouchés de la formation
M2 Recherche
Collaboration(s)
Laboratoire(s) partenaire(s) de la formation
Centre Borelli
Laboratoire de mathématiques d'Orsay
Mathématiques et Informatique pour la Complexité et les Systèmes.
Centre de mathématiques Laurent Schwartz
Centre de mathématiques appliquées (Institut Polytechnique de Paris).
Programme
Le S1 est constitué de 4 UE fondamentales au choix.
4h30 de cours et 3h de TD par semaine + 2 projets.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1) Groupes finis : groupes cycliques, p-groupes, simplicité.
2) Anneaux et modules :
2.1) Généralités. Modules libres et déterminants.
2.2) Anneaux de polynômes et noethérianité.
2.3) Diviseurs élémentaires et modules sur les anneaux principaux.
3) Théorie des corps :
3.1) Extensions finies et algébriques.
3.2) La correspondance de Galois.
Corps algébriquement clos.
3h30 de cours par semaine sur 11 semaines
3h30 de TD par semaine sur 11 semaines.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours est une introduction à l'analyse fonctionnelle, à l'analyse harmonique et à l'analyse des équations aux dérivées partielles. Nous montrerons pour chaque thème des résultats majeurs qui pourront intéresser ceux qui se destinent à étudier l'analyse comme ceux qui désirent passer l'agrégation. Un polycopié sera distribué, contenant l'ensemble des énoncés, des démonstrations ainsi que des rappels et des compléments.
1 Théorèmes classiques en Topologie
2 Théorèmes de Baire et de Banach
3 Dualité et Convexité
4 Espaces de Sobolev
5. Analyse de Fourier
6. Fonction maximale et applications
7 Fonctions harmoniques
8. Equation d'Hamilton-Jacobi.
Prérequis :
Analyse de Fourier, Analyse de Hilbert.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont communiquées en cours.
Julien Duval, Kevin Destagnol, Ramanujan Santharoubane.
Déroulement et organisation pratique :
4h30 de cours et 3h de TD par semaine + 2 projets.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1) Revêtements et groupe fondamental. Théorème de van Kampen.
2) Calcul différentiel. Applications à la topologie générale : théorème de Brouwer, invariance du domaine,
3) Variétés topologiques.
4) Sous-variétés et variétés. Théorème de Whitney et de Sard.
Prérequis :
Calcul différentiel.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
Alain Trouvé, Laure Quivy, Xavier Fontaine, Valentin de Bortoli, Miguel Colom, Argyris kalogeratos.
Déroulement et organisation pratique :
3h de cours par semaine
3h de TD ou TP (+1h) par semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
L'optimisation est une branche importante des mathématiques au regard des outils théoriques qu’elle propose mais aussi bien sûr du son rôle clé pour les applications des mathématiques dans un grand nombre de secteurs scientifique et technologique. Ce cours est une introduction à l'optimisation destiné à fournir un bagage minimal (et un peu plus !) à tout futur mathématicien. Il traite essentiellement des problèmes en dimension finie mais couvre un certain nombre de concepts essentiels, depuis l'optimisation sans contrainte jusqu'aux problèmes à contraintes égalités et/ou inégalités ainsi que le point de vue important de la dualité pour les problèmes convexes. L'accent sera mis aussi sur les algorithmes d'optimisation numérique. Quelques séances de travaux pratiques permettront à l'étudiant de mettre en pratique ces algorithmes. Des séances de TD accompagneront le cours.
Chap 1: Premiers éléments d'optimisation.
Chap 2: Méthodes de descentes, gradient à pas optimal.
Chap 3: Méthodes de Newton et quasi-Newton.
Chap 4: Optimisation sous contraintes d'égalité.
Chap 5: Optimisation sous contraintes mixtes.
Chap 6: Dualité pour les problèmes convexe.
Chap 7: Algorithmes proximaux.
Chap 8: Topologie faible sur les Hilbert.
Prérequis :
Calcul différentiel, analyse.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont communiquées en cours.
Edouard Maurel-Segala, Sophie Lemaire, Nathanael Enriquez.
Déroulement et organisation pratique :
4h30 de cours et 6h de TD par semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1) Espace de probabilité, variables aléatoires, distribution. Théorème de classe monotone.
2) Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli.
3) Convergence presque sûre, en probabilités, Lp. Convergence en loi, Théorème de P. Levy. Théorèmes limites : Loi forte des grandes nombres et théorème de la limite centrale. Vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires. Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires.
4) Espérances conditionnelles
5) Modèles de Galton-Watson
6) Chaîne de Markov associée à temps et espace discrets. Propriété de Markov forte. Théorie du potentiel. Récurrence et transience.
7) Martingales, sur martingales (à temps discret), inégalités de Doob. Théorème d’arrêt, théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
L’objectif de ce cours est de présenter un panorama des méthodes d’étude des équations aux dérivées partielles dites d’évolution, c’est-à-dire décrivant les phénomènes hors équilibre, en se limitant aux problèmes linéaires. I
1) Théorie des semi-groupes linéaires. Théorème de Hille-Yosida. Exemples d’applications : équations de la chaleur et des ondes dans un domaine, opérateurs autoadjoints et mécanique quantique.
2) Méthode des caractéristiques pour les équations d’advection. Applications à l’équation des cordes vibrantes et aux systèmes hyperboliques à une dimension et à coefficients constants. Usage de l’analyse de Fourier dans la résolution de problèmes d’évolution à coefficients constants. Equations de la chaleur, de Schrödinger, des ondes dans tout l’espace.
3) Equations de transport, méthode des caractéristiques.
Prérequis :
Distributions.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
Statistiques mathématiques, apprentissage et méthodes stochastiques
Langues d’enseignement :
FR
ECTS :
7.5
Détail du volume horaire :
Cours :43
Travaux dirigés :22
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
Alain Durmus, Antoine Mazarguil.
Déroulement et organisation pratique :
2h de cours par semaine sur 4 semaines
5h de cours par semaine sur 7 semaines
2h de TD par semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Les statistiques donnent un cadre mathématique à l’analyse de données et sont devenues de
nos jours un outil essentiel dans de nombreuses domaines telles que la biologie, le traitement
du signal ou la publicité. Pour cela, elles supposent un modèle probabiliste sur ces données
qu’il faut ensuite inférer. Ce cours présentera les bases de la modélisation statistique
paramétrique ainsi que les outils d’estimations classiques associées. Dans une seconde partie
du cours, nous traiterons de l’apprentissage statistique et des statistiques non-paramétriques.
En particulier, nous nous intéresserons au problème de classification supervisée.
Les algorithmes stochastiques jouent un rôle important dans les algorithmes d'apprentissage modernes et dans l'analyse et le contrôle des systèmes complexes. Aussi, ce cours présentera certaines méthodes fondamentales d'optimisation et de simulation stochastique. Ces méthodes seront illustrées par de nombreux cas pratiques en statistique, apprentissage et informatique. Puis elles seront pour certaines, l'objet d'une étude théorique approfondie.
Prérequis :
Probabilités.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont communiquées en cours.
Les étudiants auront la possibilité de choisir une UE d'un M1 ou d'un M2 de la mention mathématiques et applications de l'Université Paris-Saclay sous réserve qu'elle ne soit pas proposée dans le M1, qu'elle soit cohérente avec le cursus doctoral envisagé et qu'elle soit acceptée dans le contrat pédagogique par le responsable pédagogique.
Les étudiants auront la possibilité de choisir une UE d'un M1 ou d'un M2 de la mention mathématiques et applications de l'Université Paris-Saclay sous réserve qu'elle ne soit pas proposée dans le M1, qu'elle soit cohérente avec le cursus doctoral envisagé et qu'elle soit acceptée dans le contrat pédagogique par le responsable pédagogique.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Janvier - Février - Mars - Avril.
Le S2 est constitué d'un tronc commun (langue et stage) et 3 UE aux choix.
L'objectif de ce cours est de présenter des méthodes mathématiques permettant de modéliser, de caractériser et d'analyser les incertitudes dans des simulations numériques.
Prérequis :
Il est requis des connaissances en programmation sous python ou matlab ou scilab ou R.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont communiquées au fur et à mesure des thèmes abordés.
L’étude des groupes de matrices compacts permet à la fois d’illustrer la théorie générale mais également de la raffiner en obtenant une classification complète des représentations irréductibles. Cette théorie est centrale aussi bien en arithmétique (via les représentations automorphes et le programme de Langlands) qu’en physique.
-théorie générale des représentations des groupes compacts.
-classification précise des représentations irréductibles de deux groupes compacts non abéliens
-applications à la théorie des représentations des groupes non compacts
-théorie des groupes et des algèbres de Lie vus comme outil pour la théorie des représentations
-groupes de Lie compacts.
Prérequis :
Groupes, anneaux, modules et représentations.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
Mathématiques du traitement et de l’analyse des images, et leurs surprenantes applications
Langues d’enseignement :
FR
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :24
Travaux dirigés :14
Travaux pratiques :6
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
Jean-Michel Morel, Enric Meinhardt, Valery Dewil, Miguel Colom.
Déroulement et organisation pratique :
2h de cours par semaine
2h de TD ou TP par semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Les activités humaines reposent en grande part sur la perception visuelle de l’environnement. Ceci est vrai dans les médias où images et vidéo coulent à flot, mais cette dépendance de la vision est encore plus frappante dans toutes les activités scientifiques, sociales et techniques : médecine, astronomie, biologie, science des matériaux, contrôle vidéo, etc.
Cette dépendance a changé de caractère avec la généralisation de l’imagerie digitale il y a 25 ans. L’image, représentée numériquement laisse le champ libre aux mathématiciens et ingénieurs pour inventer des théories et des algorithmes la manipulant et l’analysant pour une gamme toujours plus étendue d’applications. Aussi le traitement et l’analyse d’images sont-ils devenus une science mathématique dans laquelle on retrouve des reformulations et usages nouveaux de nombreux outils mathématiques, ainsi que plusieurs modèles mathématiques nouveaux.
Prérequis :
Le cours introduira toutes ses notions mais les étudiants en retireront une perspective plus large s’ils ont des notions de : analyse fonctionnelle, théorie des distributions, calcul différentiel, probabilité discrète, analyse numérique des EDP.
Bibliographie :
1- Web : www.ipol.im (sections sur contrast and color, image comparison, denoising)
2- J.M. Morel and G. Yu: is SIFT scale invariant? IPI 2011
3- D. Lowe Object recognition from local scale-invariant features IJCV 2004
4- P. Pérez, M. Gangnet, A. Blake, Poisson image editing ACM TOG 2003
5- R. C. Gonzalez, R.E. Woods, Digital Image Processing, Prentice Hall (3rd edition, 2007).
Réseaux sociaux et de communication : modèles et algorithmiques probabilistes
Langues d’enseignement :
FR
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :18
Travaux dirigés :18
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
Laurent Massoulie.
Déroulement et organisation pratique :
2h de cours et 2h de TD par semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Ce cours a pour but de fournir des outils pour mieux appréhender les réseaux au sens large, allant des réseaux de communications qui sous-tendent l'Internet aux réseaux sociaux (en ligne ou non). Il s'agit de proposer :
-des modèles des systèmes et des phénomènes d'intérêt,
-des méthodes algorithmiques pour leur contrôle (idéalement décentralisé),
-des outils mathématiques pour l’analyse du comportement et de la performance de ces systèmes.
Prérequis :
Connaissances en probabilités.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont communiquées au fur et à mesure des thèmes abordés.
Les statistiques donnent un cadre mathématique à l’analyse de données et sont devenues de
nos jours un outil essentiel dans de nombreuses domaines telles que la biologie, le traitement
du signal ou la publicité. Pour cela, elles supposent un modèle probabiliste sur ces données
qu’il faut ensuite inférer. Ce cours présentera les bases de la modélisation statistique
paramétrique ainsi que les outils d’estimations classiques associées. Dans une seconde partie
du cours, nous traiterons de l’apprentissage statistique et des statistiques non-paramétriques.
En particulier, nous nous intéresserons au problème de classification supervisée.
Prérequis :
Probabilités.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont communiquées en cours.
L’ambition de ce cours est de présenter les notions de bases de la théorie moderne des systèmes dynamiques en lien avec quelques questions de géométrie et de théorie des nombres.
-Théorie ergodique
-Dynamique topologique
-Théorie des nombre
-Dynamique des homéomorphismes du cercle
-Dynamique des automorphismes hyperboliques linéaires du tore.
Prérequis :
Notions de base de la topologie.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont communiquées en cours.
Systèmes dynamiques pour la modélisation et la simulation des milieux réactifs multi-échelles
Langues d’enseignement :
FR
ECTS :
5
Détail du volume horaire :
Cours :18
Travaux dirigés :18
Modalités d'organisation et de suivi :
Coordinateur :
Equipe pédagogique :
R. Di Battista, M. Massot, T. Sayadi, L. Series.
Déroulement et organisation pratique :
2h de cours et 2h de TD par semaine.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Dans ce cours, nous étudierons des exemples de systèmes dynamiques multi-échelles dont l'évolution en temps et les domaines de stabilité/instabilité gouvernent les propriétés qualitatives des solutions. Ces exemples seront pris dans de nombreux domaines d'application comme la combustion, la mécanique des fluides, la dynamique des populations, la dynamique chimique non-linéaire ou le génie biomédical, que l'on rassemble sous le vocable de « milieux réactifs ».
Prérequis :
Il est requis des connaissances en programmation sous python ou matlab ou scilab ou R.
Bibliographie :
Les références bibliographiques sont fournis dans la page wen du cours.
La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation, unique des éléments comme produits d’éléments premiers. Quelques notions abordées : loi de réciprocité quadratique, géométrie des nombres de Minkowski, formes quadratiques binaires arithmétique des anneaux, corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d’idéaux, fonctions L, formules du nombre de classes et du nombre de genre.
Prérequis :
Groupes et anneaux.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
1) Théorie spectrale des opérateurs bornés des espaces de Hilbert
2) Analyse harmonique des ouverts du plan
3) Spectre du laplacien des ouverts bornés euclidiens
4) Introduction à l’analyse harmonique des sphères : harmoniques sphériques et décomposition spectrale du laplacien sphérique.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
Dans ce cours, nous verrons les bases de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie, et nous donnerons quelques applications choisies à la mécanique quantique, avec une attention particulière aux opérateurs décrivant les atomes et les molécules.
- auto-adjonction, exemples et contre-exemples
- spectre
- théorie de Rellich-Kato et de Weyl
- formes quadratiques, théorèmes de Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs
- théorème spectral et calcul fonctionnel
- équation de Schrödinger
- opérateurs de Schrödinger pour une particule, oscillateur harmonique, atome d'hydrogène
- propriétés spectrales des opérateurs décrivant plusieurs particules, atomes et molécules.
Prérequis :
Eléments d'analyse de Fourier et de la théorie des distributions.
Bibliographie :
Les références bibliographiques seront communiquées en cours.
Les étudiants auront la possibilité de choisir une UE d'un M1 ou d'un M2 de la mention mathématiques et applications ou d'un M1 d'une autre mention de l'Université Paris-Saclay sous réserve qu'elle ne soit pas proposée dans le M1, qu'elle soit cohérente avec le cursus doctoral envisagé et qu'elle soit acceptée dans le contrat pédagogique par le responsable pédagogique.
Les étudiants auront la possibilité de choisir une UE d'un M1 ou d'un M2 de la mention mathématiques et applications ou d'un M1 d'une autre mention de l'Université Paris-Saclay sous réserve qu'elle ne soit pas proposée dans le M1, qu'elle soit cohérente avec le cursus doctoral envisagé et qu'elle soit acceptée dans le contrat pédagogique par le responsable pédagogique.
Document justificatif des candidats exilés ayant un statut de réfugié, protection subsidiaire ou protection temporaire en France ou à l’étranger (facultatif mais recommandé, un seul document à fournir) :
- Carte de séjour mention réfugié du pays du premier asile
- OU récépissé mention réfugié du pays du premier asile
- OU document du Haut Commissariat des Nations unies pour les réfugiés reconnaissant le statut de réfugié
- OU récépissé mention réfugié délivré en France
- OU carte de séjour avec mention réfugié délivré en France
- OU document faisant état du statut de bénéficiaire de la protection subsidiaire en France ou à l’étranger.
