Objectifs :
- Maîtriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques de haut niveau,
- Expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques,
- Maîtriser des outils numériques et langages de programmation de référence.
Champs disciplinaires enseignés : tous domaines des mathématiques.
Pertinence scientifique du programme : les étudiants ayant validé ce M1 seront bien préparés pour :
1) Un M2 de préparation à l'agrégation de mathématiques
2) Un M2 recherche en mathématiques pures ou appliquées
Pré-requis, profil d’entrée permettant d'intégrer la formation
L3 de mathématiques fondamentales ou équivalent
Compétences
Maîtriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques de haut niveau.
Expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques.
Maîtriser des outils numériques et langages de programmation de référence.
Profil de sortie des étudiants ayant suivi la formation
Etudiants avec une compétence solide dans tous les domaines des mathématiques fondamentales, avec une expérience des simulations numériques (MAO) et ayant bénéficié d'une introduction à la recherche (via le TER).
Débouchés de la formation
- Préparation à l'agrégation de mathématiques
- M2 recherche en mathématiques pures ou appliquées
Guy Henniart (cours), Maria Gomez Aparicio (TD), Pierre-Guy Plamondon(TD).
Déroulement et organisation pratique :
50h de cours + 65h de TD (variante A) ou 30h de TD (variante B)
Pour les travaux dirigés, l’étudiant choisira :
Soit la variante A (2 séances de travaux dirigés par semaine). La qualité de la participation à ces séances fournit la note C de contrôle continu.
Ou la variante B (1 séance de travaux dirigés par semaine avec obligation de rendre 2 devoirs faits à la maison qui seront dûment corrigés. La moyenne de ces 2 devoirs fournit la note C de contrôle continu)
Modalités de contrôle : sup (E,(E+P+C)/3) Eexamen (commun aux variantes A et B), Ppartiel (commun aux variantes A et B) , Ccontrôle continu.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1. Groupes finis : groupes cycliques, p-groupes, simplicité.
2. Anneaux et modules : Généralités. Modules libres et déterminants.
Anneaux de polynômes et noethérianité. Diviseurs élémentaires et modules sur les anneaux principaux.
3. Théorie des corps : Extensions finies et algébriques. La correspondance de Galois. Corps algébriquement clos.
Patrick Gérard (cours), Konstantin Pankrashkin (TD).
Déroulement et organisation pratique :
Cours + TD.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1) Distributions à une variable : fonctions d'essai, régularisation,
dérivée d'une distribution, multiplication par une fonction régulière,
restriction et support, convergence. Espaces de Sobolev sur un intervalle.
2) Distributions à plusieurs variables. Mesure superficielle sur une hypersurface fermée,
formule des sauts pour un ouvert régulier et formule d'intégration par tranches.
Espaces de Sobolev sur un ouvert et formulation variationnelle du problème de Dirichlet.
3) Transformation de Fourier des distributions tempérées. Convolution de distributions.
Application à l'étude de solutions d'équations aux dérivées partielles.
Cas des fonctions harmoniques.
Prérequis :
Intégration niveau L3, topologie et calcul différentiel niveau L3.
Les étudiants sont tenus de faire une présentation orale et de participer à des jeux de rôle pendant le semestre.
Un travail sur la phonologie est effectué en parallèle.
MCC : Participation en cours (20%) Présentation orale (20%) Mini tests et travaux écrits divers (QCM, phonologie, chiffres...) (30%) Test de fin de semestre (30%).
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Consolidation et approfondissement des cinq compétences langagières autour d’un thème hebdomadaire choisi par l’enseignant (à titre indicatif, l’an dernier : comment définir les mathématiques, de l’utilité des mathématiques, le monde des chiffres, le Big Data, le Temps, les prix et récompenses scientifiques, Léonard de Vinci: l’homme et son œuvre (à l’occasion du 500e anniversaire de sa mort) à travers l'étude d'articles de presse, de documents audio et vidéo.
Eduard Maurel-Segala, Nathanael Enriquez, Sophie Lemaire.
Déroulement et organisation pratique :
Cours+TD.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1. Espace de probabilité, variables aléatoires, distribution. Théorème de classe monotone.
2. Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli.
3. Convergence presque sûre, en probabilités, Lp. Convergence en loi, Théorème de P. Levy. Théorèmes limites : Loi forte des grandes nombres et théorème de la limite centrale. Vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires. Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires.
4. Espérances conditionnelles
5. Modèles de Galton-Watson
6. Chaîne de Markov associée à temps et espace discrets. Propriété de Markov forte. Théorie du potentiel. Récurrence et transience.
7. Martingales, sur martingales (à temps discret), inégalités de Doob. Théorème d’arrêt, théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp.
Cette UE optionnelle fait partie du M1 d'Informatique. La note finale est obtenue par le processus défini dans le M1 d'Informatique.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Paquet 1
Rappels de notions de complexité
Structure de données avancées de graphes + structures de données
permettant des algorithmes efficaces optimaux (union-find)
Parcours (notions avancées)
Flots (Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp)
Arbre couvrant de poids Min, Plus Court Chemin
Paquet 2
Base de théorie de la complexité (P, NP, NPC, réduction
polynomiale). A priori sans introduire les machines de Turing et en
admettant SAT comme NP-complet.
Paquet 3
Programmation Linéaire : Simplexe/Dualité
Programmation Dynamique : Problème du Sac à dos
Paquet 4
Crypto (sensibilisation aux méthodes de chiffrement, les
aspects protocoles sont vus en cours de sécurité, en L, M et en
réseau).
1. Etude approfondie de Z/nZ,
2. Fonctions arithmétiques classiques, convolution,
3. Séries de Dirichlet, fonction zéta, fonctions L, applications aux nombres premiers,
4. Fractions continues, équation de Pell,
5. Formes quadratiques binaires, nombres de classes,
6. Groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres, lien avec les formes quadratiques.
L’objectif de ce cours est de présenter un panorama des méthodes d’étude des équations aux dérivées partielles dites d’évolution, c’est-à-dire décrivant les phénomènes hors équilibre, en se limitant aux problèmes linéaires. Il s’agit donc d’un cours d’analyse, faisant suite au cours « Distributions et équations aux dérivées partielles ».
1. Théorie des semi-groupes linéaires. Théorème de Hille-Yosida. Exemples d’applications : équations de la chaleur et des ondes dans un domaine, opérateurs autoadjoints et mécanique quantique.
2. Méthode des caractéristiques pour les équations d’advection. Applications à l’équation des cordes vibrantes (formule de d’Alembert) et aux systèmes hyperboliques à une dimension et à coefficients constants.Usage de l’analyse de Fourier dans la résolution de problèmes d’évolution à coefficients constants. Exemples :équations de la chaleur, de Schrödinger, des ondes dans tout l’espace.
3. Equations de transport, méthode des caractéristiques.
Prérequis :
Analyse fonctionnelle niveau L3 et un cours d'introduction aux distributions.
Julien Duval, Kevin Destagnol et Ramanujan Santharoubane.
Déroulement et organisation pratique :
Cours + TD
Au cours du semestre, les étudiants devront rédiger obligatoirement deux devoirs faits en temps libre chez eux et rendus aux dates fixées par l’enseignant.
Modalités de contrôle : au cours du semestre, les étudiants devront rédiger deux devoirs faits en temps libre chez eux. La note finale est donnée par sup (E, (E+P+(D1+D2)/2)/3)
Eexamen, Ppartiel, D1, D2 devoir.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
1. Revêtements et groupe fondamental. Théorème de van Kampen.
2. Calcul différentiel. Applications à la topologie générale : théorème de Brouwer, invariance du domaine,
3. variétés topologiques.
4. Sous-variétés et variétés. Théorème de Whitney et de Sard.
Modalités de contrôle des connaissances : rapport écrit de 5 à 10 pages.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs. Une partie de la formation sera consacrée à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche (la plupart en langue anglaise)culturels.
Le but de ce cours introductif est de présenter un panorama des différentes branches de la logique.
1 Calcul des prédicats. Logique du premier ordre, formules, théories, modèles.
2 Théorie des ensembles. Axiomes de Zermelo-Fraenkel. Axiome du choix. Ordinaux. Cardinaux.
3 Théorie des modèles.Théorème de complétude. Théorème de compacité et applications. Ultra-produits.
4 Récursivité. Fonctions primitives récursives, récursives. Machines de Turing.
5 Arithmétique. Axiomes de Péano. Théorème d’incomplétude de Gödel.
Ce cours couvre les éléments de plusieurs domaines mathématiques fondamentaux utilisés pour l’apprentissage automatisé. La première partie du cours Mathématiques pour l’Intelligence Artificielle couvrira une introduction aux méthodes d’apprentissage statistique et à leur analyse mathématique. Les thèmes traités seront :
Introduction à la théorie de la décision : fonction de perte, risque, fonction de prédiction, erreur optimale, prédiction optimale. Aperçu des méthodes de classification linéaire. Introduction à la théorie de l’apprentissage statistique : estimation de l’erreur de généralisation, méthode de Chernoff, borne de Hoeffding, échantillon hold-out. Analyse statistique de la méthode des plus proches voisins. Méthodes à noyau : espaces à noyau autoreproduisants et applications. Théorie de l’apprentissage statistique : inégalité d’Azuma-Mcdiarmid, complexité de Rademacher, applications, dimension de Vapnik-Chervonenkis.
Prérequis :
Il est indispensable d'avoir suivi un cours de probabilités de base.
Un familiarité avec des notions élémentaires de statistiques (modèle statistique, intervalle de confiance, régression linéaire) peut aider, mais n'est pas indispensable.
Ce cours couvre les éléments de plusieurs domaines mathématiques fondamentaux utilisés pour l’apprentissage automatisé.
Cette UE correspondant à la deuxième partie de ce cours comporte deux sous-parties.
La première sous-partie traite de l'analyse mathématique de problèmes d'apprentissage séquentiel dans différents cadres. On y introduit les thèmes communs à ceux-ci: apprentissage en environnement inconnu, compromis exploration/exploitation, apprentissage basé sur des experts, bornes inférieures utilisant des outils de la théorie de l'information.
La deuxième partie se concentrera sur des aspects théoriques de l'apprentissage utilisant des outils d'analyse et d'algèbre linéaire, avec des applications à la détection de motifs ou de structures dans les données.
Prérequis :
Bases en probabilités, analyse convexe, algèbre linéaire.
Il est recommandé, mais pas indispensable, d'avoir suivi la première partie du cours Mathématiques pour l'intelligence artificielle (cette partie traitant de thèmes différents).
A la fin du projet, l’étudiant doit avoir rédigé un petit texte de 10 à 15 pages (en LaTeX) et faire un exposé résumant ce qu’il a appris. Il faut une note au moins égale à 10 pour valider son travail. Les points pris en compte pour l’évaluation sont — qualité de la soutenance orale (choix et organisation du matériel, exemples, arguments clefs, existence d’un but à l’exposé, aisance d’expression, ...) — quantité de travail (régularité, progression, automonie, profondeur de la compréhension, originalité des arguments, recul, développement d’exemples, recherches bibliographiques, ...) — qualité de la rédaction (mathématique, linguistique et typographique).
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Le projet est l’occasion d’approfondir sa culture mathématique et d’effectuer une initiation à la recherche. L’objectif est d’apprendre un sujet accessible ou même original, via la lecture d’articles ou de chapitres de livres, sous la direction d’un enseignant-chercheur. Le travail (qui s’effectuera suivant les années en binôme) a lieu du début à la fin du second semestre, en rencontrant régulièrement l’encadrant. Une liste de projets sera disponible sur DOKEOS en fin de premier semestre, mais il est possible de contacter le responsable de l’UE Projet pour des suggestions d’encadrants dans une thématique spécifique.
Cours+ TD
Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
Eexamen, Ppartiel.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Contenu : En probabilité, on s’intéresse au comportement d’un processus aléatoire dont on connait la loi. En statistique, on considère donné (ou observé) un processus (ou une variable aléatoire), et l’on cherche à en déduire quelque chose de sa loi.
L’objectif du cours est de donner les fondements de la théorie mathématique statistique.
1. Théorie de la décision : formalisme général de la Statistique, fonction de perte, risque, décisions admissibles, bayésiennes, minimax... Modèle dominé, vraisemblance, exhaustivité, modèle exponentiel. Modèle gaussien.
2. Estimation ; Estimateur bayésien, estimateur du maximum de vraisemblance, inégalité de Cramer-Rao, information de Fisher, consistance.
3. Tests : Erreurs de première et seconde espèce, régions de confiance. Hypothèses simples et Lemme de Neyman-Pearson. Familles à rapport de vraisemblance monotone, tests UPP et UPPB. Tests non paramétriques. Analyse de la variance, régression.
Document justificatif des candidats exilés ayant un statut de réfugié, protection subsidiaire ou protection temporaire en France ou à l’étranger (facultatif mais recommandé, un seul document à fournir) :
- Carte de séjour mention réfugié du pays du premier asile
- OU récépissé mention réfugié du pays du premier asile
- OU document du Haut Commissariat des Nations unies pour les réfugiés reconnaissant le statut de réfugié
- OU récépissé mention réfugié délivré en France
- OU carte de séjour avec mention réfugié délivré en France
- OU document faisant état du statut de bénéficiaire de la protection subsidiaire en France ou à l’étranger.
