Objectifs et champs disciplinaires :
La voie Mathématiques Appliquées vise à fournir des bases mathématiques de haut niveau dans les grands domaines des mathématiques appliquées (modélisation déterministe et stochastique, optimisation, commande des systèmes, statistique, science des données, calcul scientifique) en mettant à la fois l'accent sur les aspects théoriques et pratiques.
Le cursus propose un tronc commun important avec une orientation progressive durant l'année de M1 autour de quatre voies :
- Modélisation et simulation numérique,
- Optimisation,
- Probabilité,
- Statistique.
La possibilité est donnée d'une spécialisation statistique et sciences des données dès le premier semestre.
Pertinence du programme :
Le M1 Mathématiques Appliquées conduit naturellement vers des parcours ou finalités de M2 relevant des mathématiques appliquées qu'elles soient théoriques ou plus proches des applications : Modélisation et simulation, Analyse numérique des EDP, Probabilité, Statistique, Data Science, MVA, Optimisation, Recherche opérationnelle, Sciences du vivant, ...
Les UEs optionnelles de M1 proposent une orientation progressive pour préparer la deuxième année, sans que ces choix soient obligatoires ou exclusifs, par exemple :
- la voie Modélisation et simulation numérique en M1 est bien adaptée à la poursuite en M2 Analyse Modélisation Simulation ou M2 Mathématiques pour les Sciences du Vivant ;
- la voie Optimisation est bien adaptée à la poursuite en M2 Optimisation ;
- la voie Probabilités est bien adaptée à la poursuite en Mathématiques pour les Sciences du Vivant ou M2 Finance Quantitative,
- la voie Statistique est bien adaptée à la poursuite en M2 Data Sciences, Mathématiques pour les Sciences du Vivant ou M2 Finance Quantitative.
L'année se termine par un stage de trois à quatre mois.
Pré-requis, profil d’entrée permettant d'intégrer la formation
Le M1 Mathématiques appliquées s'adresse à un public ayant un bon bagage scientifique de niveau L3 en mathématiques ou mathématiques appliquées, qui doit montrer d'excellentes bases en analyse (dont intégration et analyse hilbertienne), algèbre linéaire, probabilité ou statistique entre autres. Une bonne maîtrise d'un outil de programmation est également demandée.
Compétences
Maîtriser et mettre en oeuvre des outils et méthodes mathématiques de haut niveau.
Comprendre et modéliser mathématiquement un problème afin de le résoudre.
Maîtriser des outils numériques et langages de programmation de référence.
Analyser des données et mettre en oeuvre des simulations numériques.
Concevoir et rédiger une preuve mathématique rigoureuse.
Expliquer clairement une théorie et des résultats mathématiques.
Débouchés de la formation
A l'issue du M2, ces parcours ont des débouchés dans de nombreux secteurs d'activités où la modélisation, la simulation la science des données ou l'optimisation jouent un rôle (secteur R&D de grandes entreprises, laboratoires universitaires ou des grands instituts de recherche), soit directement, soit en poursuivant en thèse.
Programme
Le semestre 1 pose les bases mathématiques appliquées.
La théorie des chaînes de Markov fournit un cadre mathématique rigoureux pour décrire la classe d'évolutions aléatoires pour lesquelles (la loi) du futur de la chaîne ne dépend que de son état présent.
Si on raisonne à temps discret et à espace d’état finis, une telle chaîne est caractérisée par la donnée d’une matrice stochastique, et on montre grâce aux outils de l’algèbre linéaire que, sous des conditions peu restrictives, on a existence et unicité d’une mesure invariante vers laquelle la loi de la chaîne converge en temps long.
Hormis cette notion de loi limite, on s’intéressera aussi aux probabilités et aux temps d’atteinte de sous-ensembles de l’espace d’états. Dans le cas de chaînes dites réversibles, il existe une connection riche avec la théorie des réseaux électriques, qui permet de ramener ces questions à des calculs de résistances équivalentes.
Objectifs pédagogiques
Être capable, grâce à la connaissance des principaux éléments de la théorie des chaînes de Markov :
•d’analyser ce type de modèle (discrets en temps et en espace);
•d’apporter des résultats qualitatifs et quantitatifs, ces derniers de façon exacte ou approchée.
Prérequis :
Maîtrise d'un cours de probabilités L3 et algèbre linéaire.
Il s'agit d'un cours de probabilités avancées qui s'inscrit dans le prolongement du cours de chaînes de Markov.
On s'intéressera à deux types de processus aléatoires remarquables à temps discret : les martingales et les chaînes de Markov à espaces d'états dénombrables. Nous en étudierons certaines propriétés, en particulier le comportement asymptotique. Nous appliquerons alors cette partie théorique à l'étude de quelques algorithmes stochastiques.
Objectifs pédagogiques:
Savoir étudier le comportement asymptotique de la théorie en temps discret des martingales et des chaînes de Markov à états dénombrables.
Savoir appliquer l’algorithme de Robins-Monro.
La modélisation statistique permet de définir un modèle stochastique pour expliquer ou prédire un phénomène à partir de données observées en quantifiant l'accord du modèle avec les données. Ce cours révise les principes de base de la statistique inférentielle (estimateur, tests, intervalle de confiance) et apporte des compléments en théorie de l'estimation paramétrique (recherche d'estimateurs optimaux, estimation par maximum de vraisemblance, tests de Wald et du rapport de vraisemblance). Il illustre le cadre de la modélisation statistique et détaille le cas du modèle linéaire.
L'enseignement comporte une part de travaux dirigés sur ordinateurs qui permettent de transformer le savoir théorique en une pratique de la modélisation de données réelles et de l'estimation de modèles avec un logiciel (logiciel R).
Objectifs pédagogiques
Être capable, en utilisant les bases théoriques de la modélisation statistique et les méthodes statistiques dans le cas du modèle linéaire de :
- définir une modélisation adaptée à un jeu de données réelles;
- estimer un modèle statistique (linéaire) avec un logiciel (R) et interpréter les résultats obtenus;
- utiliser un modèle à des fins explicatives ou prédictives;
- prendre en compte le risque de toute décision statistique.
Ce cours présente les concepts, résultats et algorithmes principaux de l'optimisation "différentiable" (par opposition à l'optimisation "combinatoire" ou "discrète", qui ne sera pas abordée) en "dimension finie" (on ne parlera pas de "commande optimale" ou de problèmes de "forme optimale"). On s'intéresse donc à la fois aux aspects théoriques (existence et unicité de solution, conditions d'optimalité, technique de pénalisation, dualité) et aux aspects algorithmiques (algorithmes à directions de descente et à régions de confiance, algorithmes du gradient, du gradient conjugué, de Newton, de quasi-Newton, pénalisation, lagrangien augmenté, optimisation quadratique successive, algorithmes de dualité, algorithmes du simplexe et de points intérieurs en optimisation linéaire).
Objectifs pédagogiques
Être capable grâce aux techniques de base de l’optimisation différentiable en dimension finie :
- d’écrire les conditions d'optimalité ;
- de manipuler les notions essentielles de l'analyse convexe ;
- de mettre en œuvre l'algorithmique des problèmes d'optimisation sans contrainte et la pénalisation.
La Recherche Opérationnelle (R.O.) est la discipline des méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de meilleures décisions. Elle permet de rationaliser, de simuler et d’optimiser l’architecture et le fonctionnement des systèmes de production ou d’organisation. La R.O. apparaît comme une discipline-carrefour associant les mathématiques, l’économie et l’informatique.
La RO traite de problème de nature discrète ou combinatoire. Si l'existence d'une solution optimale est en général triviale, sa recherche de manière énumérative, même effectuée par les ordinateurs les plus puissants, pourrait demander plusieurs siècles de calcul.
Le but du cours est de familiariser les élèves avec l’optimisation combinatoire et de leur faire connaître des outils qui permettent de résoudre les problèmes les plus faciles, en particulier les graphes et la programmation mathématique.
Objectifs pédagogiques
Être capable, grâce à ses connaissances en optimisation combinatoire, de mettre en œuvre:
- les outils basiques de résolution de problèmes d’optimisation combinatoire;
- les rudiments de la théorie des graphes;
- la programmation mathématique.
Ce cours fait suite au cours de tronc commun sur la méthode des éléments finis. Il a pour principal objectif de présenter la méthode des éléments finis dans des situations moins "habituelles". Dans la première partie du cours, on étudiera l'approximation de problèmes aux valeurs propres, modélisant les vibrations "libres" de systèmes isolés. Une deuxième partie concernera les éléments finis pour des problèmes instationnaires, plus précisément pour les problèmes de propagation d'ondes (équations hyperboliques linéaires) et on indiquera les différences et les analogies pour l'équation de la chaleur (équations paraboliques). Dans une troisième partie, on s'intéressera aux éléments finis utilisés dans le cadre de formulation avec contraintes, dites "mixtes" (typiquement problème de Stokes).
Objectifs pédagogiques
Être capable :
- d’étudier l'approximation de problèmes aux valeurs propres ;
- d’appliquer la méthode des éléments finis à des problèmes instationnaires ;
- d’utiliser les éléments finis dans le cadre de formulation avec contraintes, dites "mixtes".
Prérequis :
Cours de tronc commun sur la méthode des éléments finis.
Ce cours est une introduction aux propriétés topologiques des espaces vectoriels de dimension infinie, plus spécifiquement des espaces de Banach et de Hilbert, en vue de leur application a l'étude d’espaces de fonctions, de la théorie des équations aux dérivées partielles, de l'analyse convexe et de l’optimisation en dimension infinie.
Objectifs: Être capable d’appliquer les principales propriétés topologiques des espaces vectoriels de dimension infinie à l'étude d’espaces de fonctions, de la théorie des équations aux dérivées partielles, de l'analyse convexe et de l’optimisation en dimension infinie.
Au coeur des technologies de traitement de l'information, les bases de données forment un moyen d'organiser de grandes quantités de données, et d'y accéder efficacement. Ce cours présente les principes du modèle relationnel, qui domine largement l'ensemble des applications disponibles.
Son objectif est de former les étudiants aux tâches de conception, mise en oeuvre et utilisation des bases de données relationnelles.
Objectifs pédagogiques:
Etre capable de concevoir un modèle conceptuel de données avec le modèle Entité-Association, et un modèle logique correspondant sous forme relationnelle.
Etre capable d'utiliser une base de données, par écriture de requêtes SQL d’interrogation et de mise à jour, par interfaçage d'un programme Java à la base avec JDBC, et par écriture et invocation de fonctions et procédures stockées en PL/SQL Oracle.
Etre capable d'administrer une base de données en vue d’en optimiser les performances, par une bonne gestion de la concurrence des accès, par la création d'index, ou encore par la réécriture de requêtes SQL pour obtenir un plan d’exécution plus performant.
Ce cours présente les fondements mathématiques, ainsi que les aspects pratiques, de la méthode des éléments finis, qui permet notamment de résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP) issues de la physique, de la mécanique, de la finance, et de bien d'autres domaines.
Dans sa partie la plus fondamentale, nous commencerons par positionner brièvement la méthode des éléments finis par rapport à d'autres méthodes numériques, avant d'aborder la classification des EDP (elliptique, parabolique, hyperbolique). Dans la suite, nous nous concentrerons sur la discrétisation des EDP elliptiques.
Nous développerons les outils théoriques permettant de résoudre ces EDP, avec en particulier la théorie variationnelle.
Nous passerons ensuite à la discrétisation de ces EDP à l'aide de la méthode dite de Galerkin, qui englobe notamment la méthode des éléments finis (l'analyse de convergence sera réalisée à cette occasion).
Dans la partie la plus concrète du cours, nous proposerons une présentation algorithmique de la méthode, intimement liée à son l'implémentation sur ordinateur. La mise en oeuvre informatique sera expérimentée lors de plusieurs séances de TP, réalisées en Matlab. L'accent sera mis sur la résolution numérique de problèmes "tests".
Ce cours fait suite au cours d'optimisation du tronc commun et aborde des concepts plus avancés de l'analyse convexe et de l'optimisation (conjugaison, sous-différentiabilité, dualité), permettant une meilleure compréhension des problèmes qui se posent dans ces disciplines. L'algorithmique des problèmes d'optimisation avec contraintes est aussi décrite et analysée.
Objectifs pédagogiques
Être capable :
- de manipuler des concepts avancés de l'analyse convexe et de l'optimisation (conjugaison, sous-différentiabilité, dualité) ;
- de mettre en œuvre l'algorithmique des problèmes d'optimisation avec contrainte.
Le cours présente les principes fondamentaux de la théorie du contrôle des systèmes dynamiques. Les notions de stabilité, commandabilité, et observabilité sont étudiées. Deux séances double de TP informatique permettent de familiariser avec la notion de plan de phase, d'attraction locale, de stabilisation, de planification et de suivi de trajectoires, et de reconstruction d'état pour des systèmes non linéaires généraux. Les outils considérés sont l'étude par le linéarisé tangent, et l'observateur contrôleur. Un examen écrit sert d'évaluation.
Objectifs pédagogiques:
Être capable, grâce à la connaissance des principes fondamentaux de la théorie du contrôle des systèmes dynamiques :
- d’étudier la stabilité, la commandabilité, et l’observabilité de systèmes linéaires;
- d’étudier un système non linéaire au moyen du linéarisé tangent;
- de mettre en œuvre un observateur-contrôleur;
Être capable d’expliquer les notions de plan de phase, d'attraction locale, de stabilisation, de planification et de suivi de trajectoires, et de reconstruction d'état pour des systèmes non linéaires généraux.
Etude des processus aléatoires à temps continu : Processus à Accroissements Indépendants Stationnaires (PAIS) généraux (dont l'exemple particulier du processus de Poisson), mouvement brownien (PAIS à espace d'états continu (R ou R^d)). L’établissement des propriétés permet la familiarisation avec certaines techniques classiques liées au mouvement brownien. Dans un second temps, l'intégrale stochastique sera définie. Elle débouchera naturellement sur le calcul d'Itô, dont une application sera l'étude de certaines équations différentielles stochastiques.
Ce cours donne une base théorique pouvant déboucher sur de nombreuses applications (Physique, Biologie, Mathématiques financières, étude et analyse probabiliste des EDPs). Il est indispensable pour suivre les modules 'Modèles Stochastiques pour la Finance' et 'Méthodes Numériques Probabilistes'
Objectifs pédagogiques: Être capable, grâce aux connaissances acquises en calcul stochastique, intégrale stochastique, calcul d’Itô:
- de mettre en œuvre les techniques classiques liées au mouvement brownien;
- d’étudier les équations différentielles stochastiques.
Prérequis :
'Martingales et Algorithmes Stochastiques' du tronc commun.
Ce cours est une introduction à l'analyse de séries temporelles. Une série temporelle est une suite d’observations indicées par le temps pour lesquelles l’ordre d’acquisition a donc une importance particulière, par exemple la suite du cours en bourse d'une matière première, la consommation électrique française, les données climatiques etc. L’objectif du cours est d’acquérir les notions mathématiques de base ainsi que les outils logiciels permettant l'analyse de ce type de données.
Objectifs pédagogiques
Être capable, à partir de la connaissance des grandes étapes de la modélisation des séries chronologiques -- spécification du processus, estimation du modèle, validation et prévision -- de:
- décomposer une série chronologique (tendance, saisonnalité, bruit);
- modéliser et identifier des séries stationnaires linéaires à l’aide de processus ARMA;
- estimer des processus ARIMA et SARIMA;
- prédire de nouvelles observations et leur variabilité dans le cadre de ces modèles.
Introduction à la statistique non paramétrique.
Estimation d'une fonction de régression
Tests non paramétriques: adéquation (test du Chi-deux et test de Kolmogorov-Smirnov), tests de signe et de rang
Estimation par noyaux et par projection. Application à la densité et à la fonction de régression.
Le traitement du signal, d'abord utilisé en télécommunications est devenu omniprésent dans le traitement des données numériques (son, images...). Le codage, filtrage, compression repose sur des outils mathématiques principalement issues de l'analyse, des probabilités et des maths discrètes. Nous découvrirons quelques uns de ces outils en motivant leur introduction par des problèmes de théorie du signal.
PROGRAMME
Traitement de signaux discret, codage d'un signal en fréquence, utilisation des séries de Fourier
Traitement de signaux continus, transformée de Fourier
Théorie de l'information, liens entre entropie de la théorie de l'information et l'entropie en probabilité.
Applications de la théorie de l'information au codage et à la compression.
Ce cours s’adresse aux étudiants qui seront amenés à travailler dans un environnement où le développement logiciel, bien que n’étant pas nécessairement le cœur de métier, est très présent : il s’agit de développer un code « durable » ou d’intégrer de nouvelles fonctionnalités dans un code existant reposant sur des concepts informatiques avancés.
Le cours proposé a pour objectif de fournir aux étudiants quelques clés importantes du développement logiciel et les bases pour développer du code objet.
Une place importante sera donnée à la pratique importante pour apprendre à bien programmer.
Objectifs pédagogiques
•Être capable de prendre en compte les problèmes spécifiques d’un code de calcul scientifique : rapidité, efficacité, optimalité, stabilité des calculs.
•Être capable de développer du code objet (héritage, programmation générique).
L'objectif est de donner aux étudiants les clés de la recherche de stage et d'emploi: comment définir son profil, connaître le bassin de recrutement lié à ses compétences, élaborer des stratégies de prospection, savoir se présenter efficacement. En particulier, le module permettra de (re)-travailler le CV, la lettre de motivation, et l'entretien d'embauche.
Dans un deuxième temps, des outils de communication scientifique seront abordés: comment élaborer une bibliographie, comment utiliser le langage LaTeX pour rédiger des documents scientifiques.
Mise en oeuvre des concepts de programmation dans le cadre de la réalisation d'un projet conséquent faisant appel à diverses compétences : modélisation, algorithmique, développement informatique et analyse des résultats. Les projets seront réalisés en groupe (2 à 4 étudiants). Durant le déroulement du projet, plusieurs aspects seront mis en avant : partage des taches à réaliser, organisation et structuration du code, démarche de développement, efficacité du code, pertinence de l'analyse de résultats. Les projets proposés seront en lien avec des problèmes issus de divers domaines : mécanique, physique, économie, ... dépendant des compétences du chargé de td.
Les étudiants souhaitant continuer en statistique ou data science pourront faire le projet avec le langage R
Objectifs pédagogiques
Être capable de :
- réaliser un projet de simulation numérique (resp. analyse de jeux de données) faisant appel à diverses compétences: modélisation, algorithmique, développement en C++ (resp. R) et analyse des résultats de simulation (resp. études statistiques);
- gérer un projet en groupe (partage des taches, synthèse des développements);
- organiser et structurer un code efficace;
- analyser de façon pertinente les résultats d’un code.
Prérequis :
Cours de programmation du tronc commun.
Période(s) et lieu(x) d’enseignement :
Période(s) :
Janvier - Février - Mars.
Lieu(x) :
PALAISEAU
Le semestre 2 permet l'approfondissement d'un thème des mathématiques appliquées mis en application dans un stage de fin d'année.
Au coeur des technologies de traitement de l'information, les bases de données forment un moyen d'organiser de grandes quantités de données, et d'y accéder efficacement. Ce cours présente les principes du modèle relationnel, qui domine largement l'ensemble des applications disponibles.
Son objectif est de former les étudiants aux tâches de conception, mise en oeuvre et utilisation des bases de données relationnelles.
Objectifs pédagogiques:
Etre capable de concevoir un modèle conceptuel de données avec le modèle Entité-Association, et un modèle logique correspondant sous forme relationnelle.
Etre capable d'utiliser une base de données, par écriture de requêtes SQL d’interrogation et de mise à jour, par interfaçage d'un programme Java à la base avec JDBC, et par écriture et invocation de fonctions et procédures stockées en PL/SQL Oracle.
Etre capable d'administrer une base de données en vue d’en optimiser les performances, par une bonne gestion de la concurrence des accès, par la création d'index, ou encore par la réécriture de requêtes SQL pour obtenir un plan d’exécution plus performant.
Ce cours fait suite au cours d'optimisation du tronc commun et aborde des concepts plus avancés de l'analyse convexe et de l'optimisation (conjugaison, sous-différentiabilité, dualité), permettant une meilleure compréhension des problèmes qui se posent dans ces disciplines. L'algorithmique des problèmes d'optimisation avec contraintes est aussi décrite et analysée.
Objectifs pédagogiques
Être capable :
- de manipuler des concepts avancés de l'analyse convexe et de l'optimisation (conjugaison, sous-différentiabilité, dualité) ;
- de mettre en œuvre l'algorithmique des problèmes d'optimisation avec contrainte.
Etude des processus aléatoires à temps continu : Processus à Accroissements Indépendants Stationnaires (PAIS) généraux (dont l'exemple particulier du processus de Poisson), mouvement brownien (PAIS à espace d'états continu (R ou R^d)). L’établissement des propriétés permet la familiarisation avec certaines techniques classiques liées au mouvement brownien. Dans un second temps, l'intégrale stochastique sera définie. Elle débouchera naturellement sur le calcul d'Itô, dont une application sera l'étude de certaines équations différentielles stochastiques.
Ce cours donne une base théorique pouvant déboucher sur de nombreuses applications (Physique, Biologie, Mathématiques financières, étude et analyse probabiliste des EDPs). Il est indispensable pour suivre les modules 'Modèles Stochastiques pour la Finance' et 'Méthodes Numériques Probabilistes'
Objectifs pédagogiques: Être capable, grâce aux connaissances acquises en calcul stochastique, intégrale stochastique, calcul d’Itô:
- de mettre en œuvre les techniques classiques liées au mouvement brownien;
- d’étudier les équations différentielles stochastiques.
Prérequis :
'Martingales et Algorithmes Stochastiques' du tronc commun.
Ce cours est une introduction à l'analyse de séries temporelles. Une série temporelle est une suite d’observations indicées par le temps pour lesquelles l’ordre d’acquisition a donc une importance particulière, par exemple la suite du cours en bourse d'une matière première, la consommation électrique française, les données climatiques etc. L’objectif du cours est d’acquérir les notions mathématiques de base ainsi que les outils logiciels permettant l'analyse de ce type de données.
Objectifs pédagogiques
Être capable, à partir de la connaissance des grandes étapes de la modélisation des séries chronologiques -- spécification du processus, estimation du modèle, validation et prévision -- de:
- décomposer une série chronologique (tendance, saisonnalité, bruit);
- modéliser et identifier des séries stationnaires linéaires à l’aide de processus ARMA;
- estimer des processus ARIMA et SARIMA;
- prédire de nouvelles observations et leur variabilité dans le cadre de ces modèles.
Course objectives:
The course develops and consolidates the different language skills of the students as well as providing a solid grounding in debating.
Course content:
Research & reflection on general knowledge topics
Speech writing techniques
Use of rhetorical devices
Speech delivery techniques
Phonology
Speech analysis
Work on video extracts from famous speeches
Teamwork
Debating (role plays and debates)
Debate assessment.
Le stage se déroule entre la fin des cours du second semestre et la fin août.
Un point d'étape a mi-stage a lieu en juin.
Le stage donne lieu a un rapport écrit et une soutenance orale fin août.
Objectifs pédagogiques visés :
Contenu :
Le stage de M1 permet de prendre un premier contact avec le monde professionnel, dans une entreprise ou un laboratoire de recherche, en France ou à l’étranger. Il doit durer au moins trois mois, et peut s’étendre de la fin des cours (début mai) à la rentrée des M2, au plus tard à la fin de la première semaine de septembre.
Le stage de M1 doit permettre à l’étudiant.e de travailler dans l’un des domaines étudiés pendant l’année. Il peut aborder des sujets théoriques (recherche bibliographique, études de nouvelles propriétés, preuves de nouveaux théorèmes, etc), méthodologiques (proposition d’algorithmes de résolution par exemple), ou appliqués (étude d’une problématique à résoudre autour d’un jeu de données, implémentation d’une solution logicielle, etc).
Le stage doit permettre de découvrir une structure professionnelle (laboratoire de recherche, entreprise) et un domaine d’application (biologie, assurance, marketing, fiabilité, environnement, physique, contrôle, modélisation, etc), de développer des compétences métiers et de vivre un projet dans un contexte réel. En particulier, l’informatique jouant un rôle important en mathématiques appliquées, le stage est l’occasion de pratiquer un logiciel ou langage informatique dans un environnement professionnel.
L'apprentissage statistique développe un ensemble de méthodes et algorithmes pour extraire des informations pertinentes à partir de données de plus en plus volumineuses.
La première partie du cours (apprentissage non supervisé) abordera les méthodes factorielles (Analyse en composantes principales, Analyse factorielle de correspondances, ACM) et les méthodes de classification non supervisée (clustering)
La deuxième partie développera les problématiques et méthodes d'apprentissage supervisé: régression (linéaire, nonlinéaire, régression logistique, modèles linéaires généralisés), arbres de décision, régularisation en régression multiple, choix de modèle.
Les concepts théoriques seront mis en application dans des TDs informatiques avec un logiciel statistique.
Objectifs pédagogiques
- Faire la différence entre situation supervisée et non supervisée
- Décrire le principe des méthodes factorielles et savoir les appliquer
- Choisir une modélisation adaptée à un problème posé
- Valider la performance d'une méthode
- Mettre en oeuvre la sélection de variables
- Utiliser un logiciel statistique pour mettre en oeuvre la méthode choisie
- Interpréter et discuter les résultats
- Rédiger un rapport sous forme informatique pour rendre compte d'une étude statistique.
Le calcul à haute performance (HPC) est aujourd'hui un outil essentiel dans la recherche et l'industrie pour re?soudre une large gamme de proble?mes d'ingénierie (ex. en ae?ronautique, e?nergie, e?lectronique, environnement, …). Les ressources de calcul croissantes permettent de traiter des proble?mes scientifiques de plus en plus complexes, mais les algorithmes et les codes doivent e?tre conc?us en tenant compte des spe?cificite?s des machines afin tirer parti au maximum de leur puissance de calcul.
Ce cours offre un aperc?u d’algorithmes du calcul scientifique à haute performance (ex. génération de maillage, arbres couvrants, méthodes d'ordre élevé pour les EDPs, …) et de techniques de programmation (ex. vectorisation, programmation parallèle avec OpenMP, profilage, …). Une large partie du cours est consacrée aux projets de programmation.
Objectifs pédagogiques
analyser la pertinence d'algorithmes scientifiques pour le calcul à haute performance ;
programmer efficacement des algorithmes scientifiques sur des processeurs multi-cœurs standards ;
analyser la performance et les résultats de codes de calcul optimisés.
Ce cours comporte deux parties reliées par un thème commun: les jeux !
(1) résolution de jeux solitaires ou à deux joueurs à l'aide de la théorie des graphes et de la programmation linéaire. Ces outils seront présentés avant d'être utilisés pour trouver des stratégies gagnantes dans plusieurs jeux: jeu de Marienbad, Sudoku, divers casse-tête, jeux à deux joueurs à somme nulle (concurrence)... Un projet s'appuyant sur le logiciel commercialisé Cplex illustrera le cours.
(2) théorie des jeux. La théorie des jeux a pour objectif de développer les concepts aussi bien que les modèles formalisés en vue de l’analyse du conflit et de sa résolution. Les applications sont nombreuses : en Economie, politique, négociations mais aussi bien théorie de l’évolution et équilibres évolutionnistes. Seront abordés le modèle stratégique, le modèle extensif et quelques aspects du modèle coopératif. Nous définirons pour chacun des modèles les principaux concepts d’équilibre, les liens éventuels entre les modèles et nous donnons des éléments pour le calcul.
Objectifs pédagogiques
- Modélisation de problèmes (graphes ou programmes en nombres entiers)
- Initiation à la théorie des jeux
- Réalisation concrète de problèmes via l'implémentation d'un projet.
La première partie du cours introduit les méthodes de Monte-Carlo introduites qui1 sont de portée générale et interviennent dans de nombreux domaines. Cela étant, les applications en finance ont des spécificités qui ont conduit à l'essor d'une nouvelle branche du calcul stochastique.
En deuxième partie, le projet a pour objectif d'approfondir les outils développés sur des situations prototypes d'ingénierie financière.
Les thèmes abordés seront les suivants :
- méthodes numériques de valorisation des options dites "vanille"
- présentation des techniques spécifiques pour le pricing des options exotiques
- calcul des portefeuilles de couverture et des sensibilités en finance
Chaque élève devra réaliser, en binôme, un projet informatique en langage C++.
Ce module comporte deux parties :
(1) Méthode de Monte-Carlo : méthode numérique utilisant le tirage de nombres aléatoires. L'objectif de ce cours est de comprendre l'analyse mathématique de ces algorithmes et d'en maîtriser la programmation:
- Procédés généraux de simulation des variables aléatoires
- Principe de la méthode de Monte-Carlo et techniques de réduction de variance associées
- Discrétisation en temps de processus de diffusion : schémas d'Euler et de Milhstein
(2) ré-echantillonage bootstrap : Les méthodes de simulation statistiques sont des outils performants pour analyser et résoudre des modèles mathématiques, en particulier lorsque des solutions sont inaccessibles d'un point de vue analytique. L'enseignement présentera les méthodes de ré-echantillonage bootstrap, leurs fondements théoriques ainsi que leur mise-en-pratique à travers l'étude de cas avec le logiciel R.
- Ré-échantillonage bootstrap: principe et mise-en-oeuvre. Estimation du biais et de la loi d'un estimateur, construction d'intervalles de confiance et de tests.
- Apprentissage statistique par agrégation d'arbres de décisions : bagging, forêts aléatoires, boosting.
Les praticiens des marchés financiers ont recours depuis une quinzaine d'années à des outils mathématiques de plus en plus sophistiqués pour la description des phénomènes et la mise au point des méthodes de calcul. La maîtrise des techniques de modélisation quantitative n'est désormais plus un luxe mais une nécessité et les mathématiques appliquées - en particulier la théorie des probabilités - sont devenus la voie d'accès privilégiée aux métiers de la finance de marché.
Ce cours introduit les méthodes générales d'évaluation et de couverture d'une classe importante de produits dérivés : les options; ils constituent les enseignements de base de modélisation mathématique en finance.
Nous introduirons dans ce cours les principales notions mathématiques relatives à l'étude du spectre d'un opérateur autoadjoint. Ce spectre peut comporter à la fois une partie continue et une partie discrète, formée de valeurs propres. Nous montrerons que le Principe du Min-Max permet d'accéder à des informations qualitatives et quantitatives très précises sur ces valeurs propres (résultats d'existence, encadrement).
Tout au long du cours, nous montrerons comment cette théorie s'applique à divers problèmes physiques, notamment à l'étude des guides d'ondes. Nous nous intéresserons plus particulièrement à l'étude des guides dits ouverts, dont la fibre optique constitue un exemple important.
Objectifs pédagogiques:
Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes de la théorie spectrale sur divers modèles de propagation d'ondes.
Document justificatif des candidats exilés ayant un statut de réfugié, protection subsidiaire ou protection temporaire en France ou à l’étranger (facultatif mais recommandé, un seul document à fournir) :
- Carte de séjour mention réfugié du pays du premier asile
- OU récépissé mention réfugié du pays du premier asile
- OU document du Haut Commissariat des Nations unies pour les réfugiés reconnaissant le statut de réfugié
- OU récépissé mention réfugié délivré en France
- OU carte de séjour avec mention réfugié délivré en France
- OU document faisant état du statut de bénéficiaire de la protection subsidiaire en France ou à l’étranger.
